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分式的加减（提高）
【学习目标】
1．能利用分式的基本性质通分．
2．会进行同分母分式的加减法．
3．会进行异分母分式的加减法．
【要点梳理】
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用
括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分
子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
要点二、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解
因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是
针对多个分式而言.
要点三、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
.
要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成
同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，
③把结果化成最简分式.
要点四、分式的混合运算
与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后
算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运
算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
要点诠释：
（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确
进行分式运算的基础，要牢牢掌握..
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.
能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.
【典型例题】
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类型一、同分母分式的加减
1、计算：（1）
；（2）
；
（3）
； （4）
．
【答案与解析】
解：（1）原式
．
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【总结升华】根据乘法交换律有
，所以本题是三个同分母分式的加减
法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再
加减．仔细观察分母中
与
，
与
、
与
的互相转化中符号的变化．
类型二、异分母分式的加减
2、计算：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
【答案与解析】
解：（1）原式
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；
（2）原式
；
（3）原式
.
【总结升华】各个分式同时通分，运算比较复杂，容易出现错误．应仔细观察题目的特点，对于
特殊题型，可选择适当的方法，使问题化繁为简，化难为易．第（1）小题可以两项两项
逐层递进，计算较简捷，第（2）小题采用裂项相消法进行计算．第（3）小题可以运用
分组的方法先分别把同分母的两个分式相加减，然后再通分，计算两个异分母分式
的加减．
举一反三：
【变式】计算（1）
；
（2）
．
【答案】
解：（1）
；
（2）原式
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．
3、 化简
【答案与解析】
解：原式
．
【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：所
有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然
后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察
分式的特点，然后选择合适的计算方法．
举一反三：
【变式】某商场文具专柜以每支（
为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支
加价2 元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一空，
结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399
＋805)元．你能根据上面的信息
求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?
【答案】
解：设文具专柜共购进了钢笔
支，
则
．
因为
为正整数，
也为正整数，所以
＋2 是7 的正约数，
所以
＋2＝7 或
＋2＝1．
所以
＝5 或
＝－1(不合题意，舍去)．
所以当
＝5 时，
＝400．
即文具专柜共购进了400 支钢笔，每支进价为5 元．
类型三、分式的加减运算的应用
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4、 已知
，求整式A，B．
【答案与解析】
解法一：由已知得
，
即
．
所以
所以
解法二：等式两边同时乘以
，得
，
令
，则A＝1．令
，则B＝2．
所以A＝１，B＝2．
【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A，B 的
值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与
取值无关，故令
＝1，＝2 简化
式子，求出A，B 的值．
类型四、分式的混合运算
5、先化简，再求值．
，其中
满足
．
【答案与解析】
解： 原式
．
当
时，
．所以原式
．
【总结升华】带有括号的分式的混合运算，应先算括号里的，同时在化简后应把
看成
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一个整体来处理．
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