文档文本内容
1
2
∠1 与∠2
第五章 相交线与平行线
5.5 《相交线与平行线》章末复习（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
有公共顶点
∠1 的两边与∠2 的
两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
有公共顶点
∠3 与∠4 有一条边公
共，另一边互为反向延
长线.
邻补角互补即
∠3+∠4=180°
要点诠释：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共
顶点，角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α 与∠β 是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α
与∠β 不一定是对顶角.
⑶如果∠α 与∠β 互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180° ；反之如果
∠α+∠β=180°，则∠α 与∠β 不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公
共边，另一边互为反向延长线．
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其
中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1 所示，符号语言记作：
AB⊥CD，垂足为O.
要点诠释：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，
两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理
相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段
最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P
到直线AB 的距离是垂线段PO 的长.
要点诠释：垂线段PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.
知识点二、平行线
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线
平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB 于E，EF⊥CD 于F，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与
CD 间的距离.
要点诠释：
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距
离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的
线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一
条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长
度，是一个量，它们之间不能等同.
知识点三、命题及平移
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设
是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平
移．
要点诠释：平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、相交线
例1. a、b、c 是平面上任意三条直线，交点可以有（ ）
A．1 个或2 个或3 个
B．0 个或1 个或2 个或3 个
C．1 个或2 个
D．都不对
【思路点拨】根据三条直线两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直
线相交，三条直线两两相交不交于同一点，可得答案．
【答案】B
【解析】
解：三条直线两两平行，没有交点；
三条直线交于一点，有一个交点；
两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；
三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点，
故选B.
【总结升华】本题考查了相交线，分类讨论是解题关键：①三条直线两两平行，②三
条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点
注意不要漏掉任何一种情况．
举一反三：
【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC 的补角,邻补角及对顶
角.
【答案】
解： 因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,
所以∠AOC 是∠BOC 的补角.
因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,
∠AOD=∠BOC（已知）,
所以∠BOC＋∠BOD=180º.
所以∠BOD 是∠BOC 的补角．
所以∠BOC 的补角有两个：∠BOD 和∠AOC.
而∠BOC 的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC 没有对顶角.
例2. 已知：如图，直线a、b、c 两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求
∠4 的度数.
【答案与解析】
解：根据对顶角相等,
∴∠1＝∠2＝86°.
又∵∠1＝2∠3，∴86°＝2∠3，∴∠3＝43°,
又∠3 与∠4 对顶角，
所以∠3=∠4＝43°.
【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（对顶角）是解题的
关键．
性质是解答此类问题的关键.
类型二、平行线的性质与判定
例3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG 吗？并说明理由.
【答案与解析】
解：平行，理由如下：
因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠1=∠2（已知），
所以∠BCD=∠2.
所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.
【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直
线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.
举一反三：
【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并
说明理由．
【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,
∴∠2＝∠4.
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠5＝∠3.
又∠3=∠B,
∴∠5＝∠B.
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
类型三、命题及平移
例4.如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．
【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互
补两直线平行来补充条件．
【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.
【解析】
解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝
∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角
互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．
【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据
平行线的判定方法，逐一寻找即可.
举一反三：
【变式】下列说法中正确的个数是（ ）
（1）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
∥，b c
∥，则a c
∥
（2）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
⊥，b c
⊥，则a c
⊥
（3）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
∥，a c
⊥，则b c
⊥
（4）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
⊥，b c
⊥，则a c
∥．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
例5.如图(1)，线段AB 经过平移有一端点到达点C，画出线段AB 平移后的线段CD．
【思路点拨】连接AC 或BC 便得平移的方向和距离．
【答案与解析】
解：如图(2)，线段CD 有两种情况：(1)当点A 平移到点C 时，则点D 在点C 的下方，
因此下边线段CD 即为所求；(2)当点B 平移到点C 时，则点D 在点C 的上方，上边线段CD
即为所求．
【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A 还是B)移
动到点C，故应有两种情况：即点A 平移到点C 或点B 平移到点C．
举一反三：
【变式】下列说法错误的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小
B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同
C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等
D．经过平移，图形对应点的连线段相等
【答案】B
类型四、实际应用
例6.如图，107 国道
上有一个出口M，想在附近公路
旁建一个加油站，欲使通道
最短，应沿怎样的线路施工？
【答案与解析】
解：如图，过点M 作MN⊥
，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN 施工.
【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.
【巩固练习】
一、选择题
1．下列图中,∠1 和∠2 是对顶角的有( )个.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.
其中正确的有( )．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
4．∠1 和∠2 是直线AB 和CD 被直线EF 所截得到的同位角，那么∠1 和∠2 的大小关
系是( )．
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定
5．如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是( )．
6．一个人从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到
C 点，那么∠ABC 等于( )．
A．75° B．105° C．45° D．135°
7．下列说法中，正确的是( )．
A．过点P 画线段AB 的垂线.
B．P 是直线AB 外一点，Q 是直线AB 上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.
C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.
8．如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲
和乙的初始位置如何)，则甲和乙是( )．
A．两个点
B．两个半径相等的圆
C．两个点或两个半径相等的圆
D．两个能够完全重合的多边形
二、填空题
9．如图所示，AB∥CD，EF 分别交AB、CD 于G、H 两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝
________．
10．平行用符号
表示，直线AB 与CD 平行，可以记作为
．
11．每天小明上学时，需要先由家向东走150 米到公共汽车站点，然后再乘车向西
900 米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．
12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB 的一个条件，这个条件是；
①：________ ②：________ ③：________
13．如图，已知AB∥CD，EF 与AB、CD 分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD 的平分
线FP 相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=________度.
北
北
甲
乙
14．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a________c．若a∥b，
b∥c，则a________c．若a∥b，b⊥c，则a________c．
15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东
48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏
西 ．
16．如图所示，AC⊥BC 于点C，CD⊥AB 于点D，DE⊥BC 于点E，能表示点到直线（或
线段）的距离的线段有 条．
三、解答题
17．把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：
18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC 平分∠DAB，你能推断哪两条线段平行?说明理由．
19.如图，在一块长为a 米，宽为b 米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的
任何地方的水平宽度都是2 米，其它部分都是草地．求草地的面积．
20．如图所示，点P 是∠ABC 内一点．
(1)画图：①过点P 画BC 的垂线，垂足为D；②过点P 画BC 的平行线交AB 于点
E，过点P 画AB 的平行线交BC 于点F．
(2)∠EPF 等于∠B 吗?为什么?
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】A；
【解析】只有第三个图中的∠1 与∠2 是对顶角.
2. 【答案】D．
3. 【答案】B；
【解析】（1）只有两条直线平行时，同位角相等，错误；（2）正确；（3）不符
合对顶角的定义，错误；（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距
离，故错误.故选：B.
4. 【答案】D；
【解析】因为不知道直线AB 和CD 是否平行，平行时同位角相等，不平行时同位
角不相等，所以无法确定同位角是否相等，故选D．
5. 【答案】D
【解析】易见A、B、C 都可以通过基本图形平移得到，只有D 不能．
6. 【答案】C；
【解析】根据直线平行，内错角相等，从A 点北偏东60°方向等于从B 点南偏西
60°，再从B 点向南偏西15°方向到C 点，∠ABC 应等于这两个角的差，故C 正确．
7.【答案】C；
【解析】应是过一点画线段所在直线的垂线，不能是画线段的垂线，故A 错误；P
是直线AB 外一点，Q 是直线AB 上一点，如果P 点不在过Q 点与AB 垂直的直线上，或Q 点
不在过P 点与AB 垂直的直线上，连接PQ，不可能有PQ⊥AB，故B 错误；过一点画直线的
平行线，这点不能在直线上，否则是同一条直线，故D 错误；只有C 是垂线的性质，故C
正确．
8.【答案】C
【解析】分析：两个能够完全重合的多边形，如果把其中一个多边形旋转一个角度，
那么另一个多边形不论怎样平移，也不可能和这个多边形(指旋转一个角度的多边形)完全
重合在一起，只有两个点或两个半径相等的圆总能完全重合在一起，故选C．
二、填空题
9. 【答案】50°
【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF 与∠EGB 是对顶角，所以
∠EGB＝∠AGF，故∠EGB＝50°．
10.【答案】∥，AB CD
∥
．
11.【答案】向西，750 米 ；
【解析】移动的方向是起点到终点的方向，移动的距离是起点到终点的线段的长度.
12．【答案】∠DCE＝∠A，∠ECB＝∠B，∠A+∠ACE＝180°；
【解析】根据平行线的判定，CE∥AB 成立的条件可以是∠DCE＝∠A 或∠ECB＝∠B
或∠A+∠ACE＝180°．
13．【答案】70°；
【解析】∠EFD+∠FEB＝180°，∠EFD=180°-50°-90°=40°，
∴∠EFP=20°，则∠EPF=180°-90°-20°=70°.
14.【答案】∥，∥，⊥；
15.【答案】48°；
【解析】内错角相等，两直线平行.
16.【答案】8；
【解析】表示点到直线或线段距离的垂线段有：线段AC、BC、DE、CE、BE、CD、CB、
AD.
三、解答题
17.【解析】
解：AB CD
∥
，MN OP
∥
，EF GH
∥
；
AB GH
⊥
，AB EF
⊥
，CD EF
⊥
，CD GH
⊥
．
18.【解析】
解：AB∥CD，理由如下：
因为AC 平分∠DAB(已知)，所以∠1＝∠3(角平分线定义)．又因为∠1＝∠2(已知)，
所以∠2＝∠3(等量代换)，所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
19.【解析】
解：将马路的一边向另一边平移到重合，则此时草地的形状为：长为（a－2）米，宽
为b 米的长方形，所以面积为：（a－2）b＝(ab-2b)平方米．
20.【解析】
解：如图所示，(1)①直线PD 即为所求；②直线PE、PF 即为所求．
(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位
角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝
∠B(等量代换)．
