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第五章 相交线与平行线
5.1 相交线、垂线（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有
这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，
“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
2.邻补角与对顶角对比：
角的名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对顶角
①两条直线相交形成
的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
对顶角
相等.
①都是两条直线相交
而成的角；
②都有一个公共顶
点；
③都是成对出现的.
①有无公共边；
②两直线相交
时，对顶角只有
2 对；邻补角有4
对.
邻补角
①两条直线相交而
成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.
邻补角
互补.
3.对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，
互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的
反向延长线.
知识点二、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线
互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
要点诠释：
(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a
b
；
直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
90
AOC
°
判定
性质
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直
角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已
知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在
射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最
短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯
一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实
际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．
在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度
量垂线段的长度．
【典型例题】
类型一、邻补角与对顶角
例1．如图所示，AB 和CD 相交于点O，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，试说明OM 和ON
成一条直线。
【答案与解析】
解：∵ OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM 和ON 共线。
【总结升华】要得出OM 和ON 成一条直线，就要说明∠MON 是平角，从图中可以看出
∠AON 是∠MON 和平角∠AOB 的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM
和∠BON 相等，本题得证。
例2.如图所示，已知直线AB、CD 相交于点O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COE，∠2:∠1
＝4:l，求
AOF
．
【答案与解析】
解：设∠1＝x，则∠2＝4x．
∵ OE 平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF 平分∠COE，∴ ∠COF＝1
2
∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设a
mx
，b
nx
，
这是常用的用方程思想解题的方法．
举一反三：
【变式】已知α 的补角是一个锐角，有3 人在计算2
5时的答案分别是32°、87°、
58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．
【答案】
解法1：∵ α 的补角是一个锐角，
∴ α 是一个钝角，即90°＜α＜180°，
∴
2
36
72
5
°
° ．
由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，
可知2
58
5
° ．
∴
145
° ．
解法2：由题意可知是一个钝角，即90
180
°
°．
如果2
32
5
° ，那么
80
° ，不满足90
180
°
°；
如果2
87
5
°，那么
217.5
° ，不满足90
180
°
°；
如果2
58
5
° ，那么
145
° ，满足90
180
°
°，
所以此人计算的答案正确．所以
145
° ．
【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法
2：先利用假设求出相应的α 的度数，再验证是否正确．
例3.（1）如图（1），已知直线a、b 相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几
对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d 是经过点O 的四条直线，则图（2）中共有几
对对顶角（不含平角）?几对邻补角？
【答案与解析】
解：（1）2 对对顶角，4 对邻补角。
（2）将图（2）拆分为下图：
通过观察图形．不难发现a、b、c、d 四条直线两两相交，最多有6 个交点，而由
（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，
对顶角的对数：2 6
12
（对）；邻补角的对数:4 6
24
(对)
答：图中共有12 对对顶角，24 对邻补角
【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线
两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n 条直线两两相交，最多有(
1)
2
n n
个交点．每个交点处有两组对顶角，故n 条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，
2n(n-1)对邻补角。
举一反三：
【变式】如图，直线AB 与CD 相交所成的四个角中，∠1 的邻补角是
，∠1 的
对顶角是
．
【答案】∠ 2 和∠ 4；∠ 3.
由图形可知，∠1 的对顶角是∠3，∠1 的邻补角是∠2 和∠4．
类型二、垂线
例4．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】①②
【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过
平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来
作判断。
①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为
空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错
误，必须是两个邻角相等，如下图：
【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：
①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是
否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；
②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性
质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意
一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。
举一反三：
【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯
一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质
例5.如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD 为∠BOC 的平分线，∠BOE=20°，
求∠DOE 的度数．
【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD 的度数，进而得出
∠DOE 的度数．
【答案与解析】
解：∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°，
∵∠BOE=20°，
∴∠COB=90°+20°=110°，
∵OD 为∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=55°，
∴∠DOE=55°﹣20°=35°．
【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB 的度数
是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，若OM 平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON 平分∠BOC.
【答案】
解：如图，
∵OM 平分∠AOB ∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2
由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON 平分∠BOC
例6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M、N 分别是位于公路两
侧的村庄．
(1)设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离
村庄N 最近，请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置(保留作图痕迹)．
(2)当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段路上距离M、N 两村庄都越来越近?
在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远?(分别用文字表述你的结论，不
必说明)
【答案与解析】
解：(1)过点M 作MP⊥AB，垂足为P，过点N 作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q 就是要画的
两点，如图所示．
(2)当汽车从A 向B 行驶时，在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，
离村庄M 越来越远，离村庄N 越来越近．
【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．
举一反三：
【变式1】如图所示，过A 点作AD⊥BC，垂足为D 点．
【答案】
解：如图所示
【变式2】点P 为直线l 外一点：点A、B、C 为直线l 上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，
PC＝2 cm，则点P 到直线l 的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D.
【提升练习】
一、选择题
1．a、b、c 是平面上任意三条直线，交点可以有（ ）
A．1 个或2 个或3 个
B．0 个或1 个或2 个或3 个
C．1 个或2 个
D．都不对
2．下列说法正确的有 ( )
①因为∠1 与∠2 是对顶角，所以∠1＝∠2；
②因为∠1 与∠2 是邻补角，所以∠1＝∠2；
③因为∠1 和∠2 不是对顶角，所以∠1≠∠2；
④因为∠1 和∠2 不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．如图，直线AB、CD 相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF 相等的角还有（
）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．如图，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT 等于（ ）
A．42° B．64° C．48° D．24°
5．如图，直线AB、CD 相交于点O，OE 平分∠BOC，OF⊥OE 于O，若∠AOD=70°，则
∠AOF 等于（ ）
A．35° B．45°
C．55°
D．65°
6．已知关于距离的四种说法：
①连结两点的线段长度叫做两点间的距离；
②连结直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离；
③以直线外一点所引的这条直线的垂线叫做点到直线的距离；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
其中正确命题的个数 （ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D． 3 个
二、填空题
7.如图所示：直线AB 与CD 相交于O，已知∠1=30°，OE 是∠BOC 的平分线，则∠2=
°，∠3= °．
8．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD 的取值范围是________．
9．请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直．
(1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为 ；
(2)一天24 小时，时针与分针互相垂直________次．
10. 在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB 在同一直线线上，理由是
________________．
11. 100 条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角
________对。
12．如图，工厂A 要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A 沿________方向铺设水
管用料最省，这是因为________．
三、解答题
13. 如图，直线AB、CD 相交于点O，OE 把∠BOD 分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC 的对顶角为
，∠BOE 的邻补角为
；
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE 的度数．
14．如图，已知A、O、B 三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE 分别是∠AOC，
∠BOC 的平分线．
(1)判断OD 与OE 的位置关系；
(2)当∠AOC 大小发生变化时，OD、OE 仍分别是∠AOC、∠BOC 的平分线，则OD 与OE 的
位置关系是否改变? 请说明理由．
15．如图，AOB 为一条在O 处拐弯的河，要修一条从村庄P 通向这条河的道路，现在有
两种设计方案：一是沿PM 修路，二是沿PO 修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一
个经济一些?它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】三条直线两两平行，没有交点；三条直线交于一点，有一个交点；两条直线
平行与第三条直线相交，有两个交点；三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点.
2. 【答案】B
【解析】只有①正确。
3. 【答案】B
【解析】与∠EOF 相等的角还有：∠BOC，∠AOD．
4．【答案】A
【解析】∠PQS=138°－90°＝48°，∠SQT＝90°－48°＝42°．
5. 【答案】C；
【解析】解：∵∠B0C=∠AOD=70°，
又∵OE 平分∠BOC，
∴∠BOE=
∠BOC=35°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°．
∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°．故选C．
6. 【答案】B
【解析】只有①正确．
二、填空题
7.【答案】30，75．
【解析】∵∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，∠BOC=180°﹣∠1=150°，∵OE 是∠BOC 的
平分线，∴∠3= ∠BOC=75°.
8. 【答案】bcm＜BD＜a cm
9．【答案】(1)3 时或9 时； (2)44
【解析】一天24 小时中时针转2 圈，分针转24 圈，所以分针要超过时针的圈数是：
24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24 小时中分针与时
针垂直的次数是：（24-2）×2=22×2=44（次）．
10．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
11．【答案】9900，19800。
【解析】100 条直线两两相交，最多有100(100 1)
4950
2
个交点．每个交点处有两
组对顶角，4 对邻补角，故100 条直线相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，
有4950×4＝19800（对）邻补角。
12．【答案】垂直于PQ 的，垂线段最短。
三、解答题
13.【解析】
解：（1）∠AOC 的对顶角为∠BOD，∠BOE 的邻补角为∠AOE；
（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD 及∠BOE：∠EOD=2：3，
∴得
，
∴
，
∴∠BOE=28°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．
14．【解析】
解：(1)OD⊥OE．
(2)不变，理由如下：
∵ OD，OE 分别是∠AOC，∠BOC 的平分线，
∴ ∠COD＝1
2
∠AOC，∠COE＝1
2
∠COB．
∴ ∠DOE＝1
2
(∠AOC+∠COB)＝1
2
×180°＝90°，
∴ OD⊥OE．
15．【解析】
解：本题所给出的两
种方案中，沿PO 修路这种方案更经
济一些，因为PO 是OA 的
垂线段，PM 是OA 的斜线段，根据垂
线段最短可知，PO＜PM，
但它仍不是最佳方案，最经济的方
案应为沿如图所示的线段
PN 修路．因为垂线段最短得知，线
段PN 是P 与OB 上的各点
的连线中最短的，PO 是P 与OA 上的
各点的连线中最短的，即
PN＜PO＜PM．所以沿线段PN 修路是
最经济的方案．
