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【巩固练习】
一.选择题
1. 在正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH 中，
是正方形的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．4 个 D．无穷多个
2. 如图，将一边长为12 的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E，使DE＝5，折痕
为PQ，则PQ 的长为( )
A.12 B.13 C.14
D.15
3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积
为S，则 ( )
A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S 与BE 长度有关
4. 如图，点
(0,0)
O
，(0,1)
B
是正方形
1
OBB C 的两个顶点，以它的对角线
1
OB 为一边作正方形
1
2
1
OB B C ，以正方形
1
2
1
OB B C 的对角线
2
OB 为一边作正方形
2
3
2
OB B C ，再以正方形
2
3
2
OB B C 的对角线
3
OB 为一边作正方形
3
4
3
OB B C ，…，依次进行下去，则点
6
B 的坐标是（
）
A．( 8,0)
B．(0, 8)
C．( 4 2,0)
D．( 8 2,0)
5. 如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为
1S ，
2
S ，则
1
2
S
S
的值为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
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6. 如图，四边形ABCD 中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，
则DE 的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．8
二.填空题
7．延长正方形ABCD 的BC 边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD 于F，那么∠AFC 的度数为
______，若BC＝4cm ，则△ACE 的面积等于______．
8． 在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果
cm
2
5
AB
，
那么EF＋EG 的长为______．
9．已知：如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F 分别是垂足，且BC＝8cm ，CA＝6cm ，则点O 到三边AB，AC 和
BC 的距离分别等于______cm ．
10.如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A，分别过顶点B、D 作DE⊥a 于点E、BF⊥a 于
点F，若DE＝4，BF＝3，则EF 的长为_____.
11.点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋
转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE＝_____°
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12. 如图，平面内4 条直线
1
2
3
4
l
l
l
l
，，，
是一组平行线，相邻2 条平行线间的距离都是1 个
单位长度，正方形ABCD 的4 个顶点A、B、C、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直
线
1l 和
4l 上，该正方形的面积是 平方单位．
三.解答题
13．如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求
证：EF＝AP
14.如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连结EB、EA，延长BE 交边AD 于点
F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB 的度数．
15．如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连结DP 交AC 于点Q．
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(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6
1
；
(3)若点P 从点A 运动到点B，再继续在BC 上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运
动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH 为正方
形，则说明可以得到无穷个正方形．
2.【答案】B；
【解析】过P 作PF⊥BC 于F，可证△PFQ≌△ADE，则PQ＝
2
2
12
5
13
.
3. 【答案】A；
【解析】设正方形EFGB 的边长是a ，则S＝
ABC
CFG
AFGB
S
S
S
△
△
梯形
＝
×（a ＋2）×a ＋
×2×2－
×（a ＋2）×a ＝2.
4.【答案】A；
【解析】
，
4(0, 4)
B
，
6( 8,0)
B
.
5.【答案】B；
【解析】设正方形
2
S 的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝
2x ，
2
x
CD
，
∴AC＝2CD，CD＝6
2
3
.EC＝2 2 ，2
8
S
，∵
1S 的边长为3，1S 的面积为3×3＝
9，∴
1
2
S
S
＝8＋9＝17．
6.【答案】C；
【解析】如图，过点D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又
∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS 可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，
ABCD
S四边形
＝S正方形DEBF ＝16，DE＝4．
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二.填空题
7．【答案】112.5°，8
2
2
cm ；
【解析】∠AEC＝∠CEA＝180 135
22.5
2
°，∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°，面积等于
2
1
4 2
4
8 2
2
cm
.
8．【答案】5cm ；
【解析】AC＝BD＝5 2
2
10
，EF＋EG＝1
2 BD＝5.
9．【答案】2；
【解析】OD＝OE＝OF，可知四边形ODCE 是正方形，设CD＝CE＝x ，BD＝BF＝y ，AE＝AF＝z
，所以
8
x
y
，
10
y
z
，
6
x
z
，解得
2
x
，即O 点到三边的距离.
10.【答案】7；
【解析】因为ABCD 是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为
DE⊥a 、BF⊥a ，根据AAS 易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则
EF 的长＝7．
11.【答案】45；
【解析】过E 点作EF⊥AB 的延长线于F，易证△ADP≌△FPE；BF＝EF，所以∠CBE＝
∠EBF＝45°.
12.【答案】5；
【解析】过D 点作直线EF 与平行线垂直，与
1l 交于点E，与
4l 交于点F．易证△ADE≌△DFC，
得CF＝1，DF＝2．根据勾股定理可求
2
5
CD
得正方形的面积．
三.解答题
13.【解析】
证明：连接PC
∵正方形ABCD
∴AB＝BC ，∠ABD＝∠DBC ＝45° ∠BCD＝90°
∵BP＝BP
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∴△ABP≌△CBP
∴AP ＝ CP
∵PE⊥BC，PF⊥DC
∴四边形PECF 为矩形
∴EF＝PC
∴EF＝AP
14.【解析】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC．
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．
∴∠ADE＝∠BCE＝30°．
∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE．
（2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE．
∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠AFB．
∵AD＝CD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，
∴∠AFB＝75°．
15．【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；
(2)以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE⊥y 轴于点E，QF⊥x 轴于点F．
2
1
AD×QE＝6
1
ABCD
S正方形
＝3
8
∴QE＝3
4
∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为
)
3
4
,
3
4
(
∴过点D(0，4)，
)
3
4
,
3
4
(
Q
两点的函数关系式为：
2
4
y
x
，当y ＝0 时，x ＝2，即
P 运动到AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6
1
；
(3)若△ADQ 是等腰三角形，则有QD＝QA 或DA＝DQ 或AQ＝AD
①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知QD＝QA 此时△ADQ 是等腰
三角形；
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②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA＝DQ，△ADQ 是等腰三角形；
③如图，设点P 在BC 边上运动到CP＝x 时，有AD＝AQ
∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x ．
∵AC＝
2
4
，AQ＝AD＝4．
∴x ＝CQ＝AC－AQ＝
2
4
－4．
即当CP＝
2
4
－4 时，△ADQ 是等腰三角形．
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