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让更多的孩子得到更好的教育
【巩固练习】
一.选择题
1. 在正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH 中，
是正方形的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．4 个 D．无穷多个
2.（2015•南湖区一模）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这
个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD 的长为
．当∠B=60°时
（如图乙），则对角线BD 的长为（ ）
A.
B.
C. 2
D.
3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积
为S，则 ( )
A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S 与BE 长度有关
4. （2016•毕节市）如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的
点E 处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5. 如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为
1S ，
2
S ，则
1
2
S
S
的值为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
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6. 如图，四边形ABCD 中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，
则DE 的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．8
二.填空题
7．延长正方形ABCD 的BC 边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD 于F，那么∠AFC 的度数为
______，若BC＝4cm ，则△ACE 的面积等于______．
8． 在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果
cm
2
5
AB
，
那么EF＋EG 的长为______．
9．已知：如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F 分别是垂足，且BC＝8cm ，CA＝6cm ，则点O 到三边AB，AC 和
BC 的距离分别等于______cm ．
10.如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A，分别过顶点B、D 作DE⊥a 于点E、BF⊥a 于
点F，若DE＝4，BF＝3，则EF 的长为_____.
11. （2016•南京）如图，菱形ABCD 的面积为120cm2，正方形AECF 的面积为50cm2，则菱形
的边长为
cm．
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12.（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形
ACEF，再以AE 为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD 的面积S1=1，按上述
方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n 为正整数），那么第8 个正方形面积S8=
．
三.解答题
13．（2015•西城区二模）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点，若点
A 的坐标为（1，
），则点C 的坐标？
14.如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连结EB、EA，延长BE 交边AD 于点
F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB 的度数．
15．如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连结DP 交AC 于点Q．
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(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6
1
；
(3)若点P 从点A 运动到点B，再继续在BC 上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运
动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH 为正方
形，则说明可以得到无穷个正方形．
2.【答案】B；
【解析】解：如图甲，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD 是正方形，
连接BD，则AB2+AD2=BD2，
∴AB=AD=1，
如图乙，∠B=60°，连接BD，
∴△ABD 为等腰三角形，
∴AB=AD=1，
∴BD=
故选B．
3. 【答案】A；
【解析】设正方形EFGB 的边长是a ，则S＝
ABC
CFG
AFGB
S
S
S
△
△
梯形
＝
×（a ＋2）×a ＋
×2×2－
×（a ＋2）×a ＝2.
4.【答案】B
【解析】由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9
x
﹣）cm，
∵BE：EC=2：1，
∴CE=
BC=3cm
∴在Rt△ECH 中，EH2=EC2+CH2，
即（9
x
﹣）2=32+x2，
解得：x=4，即CH=4cm．
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5.【答案】B；
【解析】设正方形
2
S 的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝
2x ，
2
x
CD
，
∴AC＝2CD，CD＝6
2
3
.EC＝2 2 ，2
8
S
，∵
1S 的边长为3，1S 的面积为3×3＝
9，∴
1
2
S
S
＝8＋9＝17．
6.【答案】C；
【解析】如图，过点D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又
∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS 可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，
ABCD
S四边形
＝S正方形DEBF ＝16，DE＝4．
二.填空题
7．【答案】112.5°，8
2
2
cm ；
【解析】∠AEC＝∠CEA＝180 135
22.5
2
°，∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°，面积等于
2
1
4 2
4
8 2
2
cm
.
8．【答案】5cm ；
【解析】AC＝BD＝5 2
2
10
，EF＋EG＝1
2 BD＝5.
9．【答案】2；
【解析】OD＝OE＝OF，可知四边形ODCE 是正方形，设CD＝CE＝x ，BD＝BF＝y ，AE＝AF＝z
，所以
8
x
y
，
10
y
z
，
6
x
z
，解得
2
x
，即O 点到三边的距离.
10.【答案】7；
【解析】因为ABCD 是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为
DE⊥a 、BF⊥a ，根据AAS 易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则
EF 的长＝7．
11.【答案】13.
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【解析】因为正方形AECF 的面积为50cm2，
所以AC=
cm，
因为菱形ABCD 的面积为120cm2，
所以BD=
cm，
所以菱形的边长=
cm．
故答案为：13．
12.【答案】128；
【解析】根据题意可得：第n 个正方形的边长是第（n
1
﹣）个的
倍；故面积是第（n
1
﹣）个
的2 倍，已知第一个面积为1；则那么第8 个正方形面积S8=27=128．
故答案为128．
三.解答题
13.【解析】
解：作AD⊥轴于D，作CE x
⊥轴于E，如图所示：
则∠ADO= OEC=90°
∠
，
1+ 2=90°
∴∠
∠
，
∵点A 的坐标为（1，
），
OD=1
∴
，AD=
，
∵四边形OABC 是正方形，
AOC=90°
∴∠
，OC=AO，
1+ 3=90°
∴∠
∠
，
3= 2
∴∠
∠，
在△OCE 和△AOD 中，
，
OCE
AOD
∴△
△
≌
（AAS），
OE=AD=
∴
，CE=OD=1，
∴点C 的坐标为（﹣
，1）.
14.【解析】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC．
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．
∴∠ADE＝∠BCE＝30°．
∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE．
（2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE．
∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠AFB．
∵AD＝CD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA．
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∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，
∴∠AFB＝75°．
15．【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；
(2)以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE⊥y 轴于点E，QF⊥x 轴于点F．
2
1
AD×QE＝6
1
ABCD
S正方形
＝3
8
∴QE＝3
4
∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为
)
3
4
,
3
4
(
∴过点D(0，4)，
)
3
4
,
3
4
(
Q
两点的函数关系式为：
2
4
y
x
，当y ＝0 时，x ＝2，即
P 运动到AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6
1
；
(3)若△ADQ 是等腰三角形，则有QD＝QA 或DA＝DQ 或AQ＝AD
①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知QD＝QA 此时△ADQ 是等腰
三角形；
②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA＝DQ，△ADQ 是等腰三角形；
③如图，设点P 在BC 边上运动到CP＝x 时，有AD＝AQ
∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x ．
∵AC＝
2
4
，AQ＝AD＝4．
∴x ＝CQ＝AC－AQ＝
2
4
－4．
即当CP＝
2
4
－4 时，△ADQ 是等腰三角形．
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