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第五章 相交线与平行线
5.4 平行线的性质及平移（能力提升）
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内
容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，
是平行线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂
线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而
改变，即平行线间的距离处处相等．
要点三、命题、定理、证明
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由
已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的
另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理
过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，
学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列
举一个反例即可．
要点四、平移
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平
移．
要点诠释：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、
角的大小，具体来说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
要点诠释：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前
后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3. 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、
找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
【典型例题】
类型一、平行线的性质
例1、如图，AB∥CD，AE 平分∠CAB 交CD 于点E，若∠C=50°，则∠AED=
（ ）
A．65°
B．115°
C．125°
D．130°
【答案】B．
【解析】
解：∵AB CD
∥
，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=50°，
∴∠CAB=180°－50°=130°，
∵AE 平分∠CAB，
∴∠EAB=65°，
AB CD
∵
∥
，
∴∠AED=180°﹣∠EAB=180°－65°=115°．
【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记
性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3 的度数是( )
A．75° B．65° C．55° D．50°
【答案】B
类型二、两平行线间的距离
例2、下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是
拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形
的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的
长短，得出平行四边形面积的大小.
【答案】图3，图2
【解析】
解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，
（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3 平行四边形的面积最大，图2 三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形
底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.
举一反三：
【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1 厘米，则螺线总长度是 厘米.
【答案】35
类型三、命题
例3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论．
(1)同位角相等；
(2)对顶角相等；
（3）画一条5 厘米的线段.
【答案与解析】
解：（1）是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，
这个命题是一个错误的命题，即假命题．
（2）是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命
题是一个正确的命题，即真命题．
（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句．
【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如疑问句、
反问句等不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题．判断一个命题是正确的，必须经
过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
举一反三：
【变式】下列命题是假命题的是（ ）
A．锐角小于90° B．平角等于两直角
C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a2≠b2，则a≠b
【答案】C
类型四、平移
例4.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移
得到?
【答案与解析】
解：图①DE 和AC 平行，但不相等，DE 和BC 相等，但不平行，不符合平移的特征，
无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR
沿射线PM 方向移动PM 长即可得到三角形MNO．所以，图②中一个三角形可以经过另一
个三角形平移得到．
【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否
则就不是平移变换．
举一反三：
【变式】如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为
16cm，则四边形ABFD 的周长为
．
【答案】20cm．
解：∵△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF，
CF=AD=2cm
∴
，AC=DF，
ABC
∵△
的周长为16cm，
AB+BC+AC=16cm
∴
，
∴四边形ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
例5、如图所示，在长为50m，宽为22m 的长方形地面上修筑宽度都为2 m 的道路，
余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．
【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积
较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部
分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．
【答案与解析】
解：如图所示②把几条2 米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植
花草部分汇集成一个长方形，
显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝
20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．
【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅
速求解．
举一反三：
【变式】如图①，在宽为20m、长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余
下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【答案】B
类型五、平行的性质与判定综合应用
例6、如图所示，∠ABC 的边BC 与∠DEF 的边DE 交于点K，下面给出三个论断：
①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，
以一个论断为结论，填入 “试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述
出来．
已知：如图所示，∠ABC 的边BC 与∠DEF 的边DE 交于点K，________，________，试
说明________．
【答案与解析】
解：三个论断分别可以组成①②
③；①③
②；②③
①三种不同情形的命题
选择其中任何一个即可．
以①②
③为例，说明如下
已知：如图所示，∠ABC 的边BC 与∠DEF 的边DE 交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试
说明BC∥EF．
理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．
又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．
【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结
果，再判断其是否正确．
举一反三：
【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .
【答案】115°
例7、如图，AB∥CD，点M，N 分别为AB，CD 上的点.
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ；
（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB 平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1
P2N 与∠MP1 P2+∠P2ND 的关系，并证明你的结论；
（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，
P2P3不与AB 平行，直接写出你得到的结论.
【答案与解析】
解：（1）75°；
（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND
证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.
又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.
∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.
（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.
【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.
举一反三：
【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A 是
120°，第二次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前
的道路平行，则∠C 是( ) ．
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D；提示：如图，过点B 作BE∥AM．
【提升练习】
一、选择题
1. 若∠1 和∠2 是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2 的度数是 ( )
A．45° B．135° C．45°或135° D．不能确定
2. 如图，在平行线
之间放置一块直角三角板，三角板的顶点
分别在直线
上，则∠1+ 2
∠的值为（ ）
A．90°
B．85°
C．80°
D．60°
3．如图所示，已知直线AB∥CD，BE 平分∠ABC，交CD 于D，∠CDE＝
150°，则∠C 的度数为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是( )
A．∠1+∠2-∠3＝90°
B．∠2+∠3-∠1＝180°
C．∠1-∠2+∠3＝180°
D．∠1+∠2+∠3＝180°
5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC 平分∠BAD，且交EF 于点O，则与∠AOE 相等的
角有( )
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
6．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE 等于（ ）
A．23°
B．16°
C．20°
D．26°
7. 如图所示，在一个由4×4 个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF 向右平移3
个单位，向下平移1 个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是( )
A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2
8. 有下列语句中，真命题的个数是( )
①画直线AB 垂直于CD；②若|x|＝|y|，则x2＝y2．
③两直线平行，同旁内角相等；④直线a、b 相交于点O；⑤等角的余角相等．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
二、填空题
9．如图所示，直线a ∥b ．直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM
b
，
垂足为点M ，若
1
58
，则
2
＝ _____，直线
之间的距离_____．
10.如图，AB∥CD，EF 与AB、CD 分别相较于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD 的平分线FP
相较于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF＝________度．
11. 如图，直线l1 l
∥2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3= ．
12. 如图，AB CD
∥
，CB 平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D 的度数为_______.
13.如图所示，在长方形ABCD 中，AB＝10cm，BC＝6cm，将长方形ABCD 沿着AB 方向
平移________cm，才能使平移后的长方形HEFG 与原来的长方形ABCD 重叠部分的面积为
24cm2．
14.如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：
①∠A＝∠EDF；②∠1+∠2＝180°；
③∠A+∠B+∠C＝180°；④∠1＝∠3．
其中，正确的是________．(填序号)
三、解答题
15．如图，AB CD
∥
，EF 分别交AB、CD 与M、N，∠EMB=50°，MG 平分∠BMF，
MG 交CD 于G，求∠MGC 的度数．
16．已知 如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴ ∠ACD＝∠1+∠2＝
∠A+∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD 内引一条和边平
行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D 的度数．
17．对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；
③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成真命题，试写
出所有的真命题．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的.
2. 【答案】A．
【解析】过点C 作CD∥
，则∠1=∠ACD．因
∥
，得CD∥
，∴∠2=∠DCB.
又∠ACD＋∠DCB=90°，则∠1+∠2=90°.
3. 【答案】C；
【解析】解：如图，
∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°.
4. 【答案】B；
【解析】反向延长射线ST 交PR 于点M,则在△MSR 中，
180°－∠2+180°－∠3+∠1＝180°，即有∠2+∠3-∠1＝180°.
5. 【答案】A
【解析】与∠AOE 相等的角有：∠DCA，∠ACB，∠COF，∠CAB，∠DAC．
6. 【答案】C；
【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°．
7. 【答案】B；
【解析】
，
，
所以
．
8. 【答案】A；
【解析】②⑤为真命题．
二.填空题
9. 【答案】32°，线段AM 的长；
【解析】因为
//
a
b ，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥b ，所以∠2＋∠ABM＝
90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．
10.【答案】70；
【解析】∵AB∥CD，得∠EFD=180－∠FEB；由EP⊥EF， FP 是∠EFD 的角平分线，
∴∠EFD=180°－50°－90°=40°，∴∠EFP=20°，∴∠EPF=70°.
11.【答案】60°；
【解析】解：如图所示：∵l1 l
∥2 ，∠2=65° ，∴∠6=65° ，∵∠1=55° ，
∴∠1= 4=55°
∠
，在△ABC 中，∠6=65°，∠4=55°，∴∠3=180°
65°
55°=60°
﹣
﹣
．
12.【答案】100°
【解析】∵AB CD
∥
，∠C=40°，∴∠ABC=40°，∵CB 平分∠ABD，∴∠ABD=80°，
∴∠D=100°．
13.【答案】6；
【解析】重叠部分长方形的一边长为6cm，另一边长为：24÷6＝4 cm，所以平移的距
离为：AE＝10－4＝6 cm.
14.【答案】①②③④；
【解析】由已知可证出：∠A＝∠1＝∠3＝∠EDF，又∠EDF 与∠1 和∠3 互补.
三.解答题
15.【解析】
解：∵∠EMB=50°，
BMF=180°
50°=130°
∴∠
﹣
．
MG
∵
平分∠BMF，
BMG=
∴∠
BMF=65°
∠
．
AB CD
∵
∥
，
MGC= BMG=65°
∴∠
∠
．
16.【解析】
解：如图，过点D 作DE∥AB 交BC 于点E．
∴ ∠A+∠2＝180°，∠B+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵ ∠3＝∠1+∠C，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
即∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°．
17.【解析】
解：(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c；
(3)如果b∥c，a∥c，那么a∥b；(4)如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；
(5)如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；(6)如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．
