文档文本内容
1
2
∠1 与∠2
第五章 相交线与平行线
5.5 《相交线与平行线》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
有公共顶点
1
∠的两边与∠2 的
两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1= 2
∠
邻补角
有公共顶点
3
∠与∠4 有一条边公
共，另一边互为反向延
长线.
邻补角互补即
3+ 4=180°
∠
∠
要点诠释：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶
点，角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α 与∠β 是对顶角，那么一定有∠α= β
∠；反之如果∠α= β
∠，那么∠α 与∠β
不一定是对顶角.
⑶如果∠α 与∠β 互为邻补角，则一定有∠α+ β=180°
∠
；反之如果∠α+ β=180°
∠
，则
∠α 与∠β 不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延
长线．
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其
中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1 所示，符号语言记作：
AB CD
⊥
，垂足为O.
要点诠释：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，
两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相
比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段
最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO AB
⊥
，点
P 到直线AB 的距离是垂线段PO 的长.
要点诠释：垂线段PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.
知识点二、平行线
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线
平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB CD
∥
，EF AB
⊥
于E，EF CD
⊥
于F，则称线段EF 的长度为两平行线
AB 与CD 间的距离.
要点诠释：
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距
离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线
段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条
直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长
度，是一个量，它们之间不能等同.
知识点三、命题及平移
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设
是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平
移．
要点诠释：平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、相交线
例1. (1)如图（1）已知直线AB，CD 相交于点0．
(2)如图（2）已知直线AE，BD 相交于点C．
分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角?
【答案与解析】
解： (1)邻补角是∠DOA 与∠AOC，∠AOE 与∠EOB，∠BOC 与∠COA，∠COE 与
∠DOE，∠DOA 与∠DOB，∠DOB 与∠BOC；对顶角是∠AOD 与∠COB，∠AOC 与
∠DOB.
(2)邻补角是∠ACB 与∠ACD，∠ECD 与∠DCA，∠DCE 与∠ECB，∠ECB 与
∠ACB；对顶角是∠ACB 与∠DCE，∠BCE 与∠ACD．
【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.
例2.直线AB、CD 相交于点O，OE AB
⊥
于点O，∠COE＝40°，求∠BOD 的度数.
【答案与解析】
解：分两种情况.
第一种：如图1，直线AB，CD 相交后，∠BOD 是锐角，
∵OE AB,
⊥
∴∠AOE＝90°，即∠AOC+ COE
∠
＝90°.
∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°
第二种：如图2，直线AB、CD 相交后，∠BOD 是钝角，
∵OE AB,
⊥
∴∠AOE＝90°.
∵∠COE＝40°,
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°.
【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：
一种情况为∠BOD 是锐角，第二种情况是∠BOD 是钝角.此外关于两条直线相交，应想到
邻补角、对顶角的定义及性质.
举一反三：
【变式1】如图所示，O 是直线AB 上一点，射线OC、OD 在AB 的两侧，且∠AOC＝
∠BOD，试证明∠AOC 与∠BOD 是对顶角．
【答案】
证明：因为∠AOC+ COB
∠
＝180°(平角定义)，
又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，
所以∠BOD+ COB
∠
＝180°，即∠COD＝180°．
所以C、O、D 三点在一条直线上(平角定义)，
即直线AB、CD 相交于点O，
所以∠AOC 与∠BOD 是对顶角(对顶角定义)．
提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．
【变式2】已知: 如图, 1 =
∠
∠B, 2 = 3,
∠
∠
EF⊥AB 于F ， 求证: CD⊥AB .
【答案】
证明：∵∠1＝∠B，∴MD BC
∥
（同位角相等，两直线平行）.
2
∴∠＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）,
又∵∠2 ＝∠3（已知）,
∴3
∠＝∠BCD.
EF CD
∴
∥
（同位角相等，两直线平行）.
又∵EF⊥AB（已知）,
CD
∴
⊥AB.
类型二、平行线的性质与判定
例3. 如图，将直线l1沿着AB 的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2 的度数是（
）
A．40°
B．50°
C．90°
D．130°
【思路点拨】根据平移的性质得出l1 l
∥2，进而得出∠2 的度数．
【答案】B．
【解析】
解：∵将直线l1沿着AB 的方向平移得到直线l2，
l
∴1 l
∥2，
1=50°
∠
∵
，
2
∴∠的度数是50°．
【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，根据已知得出l1 l
∥2是解
题关键．
举一反三：
【变式1】如图，AB CD
∥
，直线EF 与AB，CD 分别交于点M、N，过点N 的直线GH
与AB 交于点P，则下列结论错误的是 ( ).
A．∠EMB＝∠END
B．∠BMN＝∠MNC
C．∠CNH＝∠BPG
D．∠DNG＝∠AME
【答案】D
【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC，且∠1
＝∠3.
求证：AB DC.
∥
【答案】
证明：∵∠ABC＝∠ADC,
∴
（等式性质）.
又∵BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC,
1
∴∠＝
，∠2＝
（角平分线的定义）.
1
∴∠＝∠2 （等量代换）.
又∵∠1＝∠3（已知）,
2
∴∠＝∠3（等量代换）.
AB DC(
∴
∥
内错角相等，两直线平行).
类型三、命题及平移
例4.在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等于
180°，现在学习了平行线性质以后，你能说出这是为什么吗?
【答案与解析】
已知：三角形ABC，
求证：∠A+ B+ C=180°
∠
∠
．
证明：过A 点作EF BC
∥
．
则∠EAB= B
∠，∠FAC= C
∠（两直线平行，内错角相等）．
B+ BAC+ C= EAB+ BAC+ CAF=180°(
∵∠
∠
∠
∠
∠
∠
平角定义)，
A+ B+ C=180°
∴∠
∠
∠
．
【总结升华】准确写出题设和结论后，再进行证明.
例5.如图所示，把边长为2 的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤
的面积是( )
A．18 B．16 C．12 D．8
【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面
积不变，则⑤面积可求．
【答案】B
【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的
小长方形平移到左侧，所以图④中阴影部分的面积与边长为2 的正方形的面积是相等的，
图⑤是由4 个图④组成的，所以图⑤的面积是4×4＝16．
【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形
状、大小不变.
举一反三：
【变式】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到C
的方向平移到△DEF 的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A.48
B.96
C.84
D.42
【答案】A
类型四、实际应用
例6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条
边BC 的夹角∠EFB=30°，你能说出∠EGF 的度数吗？
【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD BC
∥
，可得∠DEF= EFG=30°
∠
，又因
为折后重合部分相等，所以∠GEF= DEF=30°
∠
，所以∠DEG=2 DEF=60°
∠
，又因为两直线
平行，同旁内角互补，所以∠EGC=180°－∠DEG，问题可解.
【答案与解析】
解：因为AD BC
∥
（已知），
所以∠DEF= EFG=30°
∠
（两直线平行，内错角相等）.
因为∠GEF= DEF=30°
∠
（对折后重合部分相等），
所以∠DEG=2 DEF=60°.
∠
所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）.
【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．
举一反三：
【变式】如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．
为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．90°
【答案】C
【提升练习】
一、选择题
1.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（ ）个．
A．1 或3
B．0、1 或3
C．0、1 或2
D．0、1、2 或3
2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次
拐弯的角度可能是( ) .
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°.
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°.
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
.
D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°.
3．已知：如图，AB DE
∥
，∠E=65°，则∠B+ C
∠
的度数是( ) .
A．135° B．115° C．65° D．35°
4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角
是（ ）.
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D. 同位角或内错角
5.如图，AB EF
∥
，CD EF
⊥
于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝（ ）．
A．140° B. 130° C. 120° D. 110°
6. 如图，已知∠A= C
∠，如果要判断AB CD
∥
，则需要补充的条件是（ ）．
A．∠ABD= CEF B
∠
．∠CED= ADB
∠
C．∠CDB= CEF D
∠
．∠ABD+ CED=180°
∠
(第5 题) (第6 题) (第7 题)
7.如图，
，则
AEB=
（ ）．
A．
B．
C．
D．
8. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若∠EFB=32°，则下列结论
不正确的有（ ）．
A.
B. AEC=148°
∠
C. BGE=64°
∠
A
B
F
E
D
C
D. BFD=116°
∠
二、填空题
9. 如图，点E 在AC 的延长线上，对于给出的四个条件：
（1）∠3= 4
∠；（2）∠1= 2
∠；（3）∠A= DCE
∠
；（4）∠D+ ABD=180°.
∠
能判断AB CD
∥
的有 个.
10. 如图所示，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，则从C
岛看A、B 两岛的视角∠ACB 等于________．
11. 如图所示，AB CD
∥
，MN 交AB、CD 于E、F，
EG 和FG 分别是∠BEN 和∠MFD 的平分线，那么EG 与FG 的位置关系是 ．
12．如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若∠A＝
125°，∠D＝107°，则打碎部分的两个角的度数分别为
.
13.如图所示，已知AB CD
∥
，∠BAE＝3 ECF
∠
，∠ECF＝
28°，则∠E 的度数 ．
14.如图，某个窗户上安装有两扇可以滑动的铝合金玻璃窗ABCD 和A/B/C/D/，当玻璃
窗户ABCD 和A/B/C/D/重合时窗户是打开的；反之窗户是关闭的。若已知AB＝10，BC＝
6，重叠部分四边形A/B/CD 的面积是10，则该窗户关闭时两玻璃窗户展开的最大面积是
.
15．如图所示，直线AD、BE、CF 相交于一点O，∠BOC 的同位角有________，
∠OED 的同旁内角有________，∠ABO 的内错角有________，由∠OED＝∠BOC 得
________ ________
∥
，由∠OED＝∠ABO 得________ ________
∥
，由AB DE
∥
，CF DE
∥
可得
AB________CF．
16. 如图，AB CD
∥
，则α、β、γ 之间的关系为 ．
三、解答题
17.如图，已知∠A= F
∠，∠C= D
∠，试说明BD CE
∥
．
18. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a b
∥，b c
∥，
d e
∥，a c
∥．
19. 如图所示，已知AB CD
∥
，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x 的大小．
20.河的两岸成平行线，A,B 是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，
使桥垂直于河岸，并且使A，B 间的路程最短。确定桥的位置的方法是：作从A 到河岸的
垂线，分别交河岸PQ，MN 于F，G.在AG 上取AE＝FG，连接EB，EB 交MN 于D.在D
处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC 就是造桥的位置．试说出桥造在CD 位置时路
程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D．
【解析】如图，三条直线的交点个数可能是0 或1 或2 或3．
2. 【答案】A；
【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线
平行，即可得出答案.
3. 【答案】C；
【解析】∠CFA＝∠E＝65°，再由三角形的内角和为180°，可得答案.
4. 【答案】D；
【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两
角是同旁内角.
5. 【答案】B；
【解析】过点C 作CG AB
∥
，由题意可得：AB EF CG
∥
∥
，故∠B= BCG
∠
，
∠GCD=90°，则∠BCD=130°.
6. 【答案】B；
7. 【答案】B；
【解析】
∠EAB＝75°－25°＝50°.
8. 【答案】B
二、填空题
9. 【答案】3；
【解析】（1）如果∠3= 4
∠，那么AC BD
∥
，故（1）错误；
（2）∠1= 2
∠，那么AB CD
∥
；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3）∠A= DCE
∠
，那么AB CD
∥
；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4）∠D+ ABD=180°
∠
，那么AB CD
∥
；同旁内角相等，两直线平行，故（4）
正确；
故正确的有（2）（3）（4）
10.【答案】90°；
【解析】过点C 作CD AE
∥
，由AE BF
∥
，知CD AE BF
∥
∥
，则有∠ACD＝∠EAC＝
50°，∠BCD＝∠CBF＝40°，从而有∠ACB＝∠ACD 十∠BCD＝50°+40°＝90°．
11.【答案】垂直；
【解析】
解：EG FG
⊥
，理由如下：
AB CD
∵
∥
，∴ ∠BEN+ MFD
∠
＝180°．
EG
∵
和FG 分别是∠BEN 和∠MFD 的平分线，
GEN+ GFM
∴∠
∠
＝
( BEN+ MFD)
∠
∠
＝
×180°＝90°．
EGF
∴∠
＝180°- GEN- GFM
∠
∠
＝90°．
EG FG
∴
⊥
．
12．【答案】55°，73°；
【解析】如图，将原图补全，根据平行线的性质可得答案。
.
13.【答案】56°；
【解析】
解：过点F 作FG EC
∥
，交AC 于G，
ECF
∴∠
＝∠CFG，
AB CD
∵
∥
，∴ ∠BAE＝∠AFC．
又∵ ∠BAE＝3 ECF
∠
，∠ECF＝28°，
BAE
∴∠
＝3×28°＝84°．
CFG
∴∠
＝28°，∠AFC＝84°．
AFG
∴∠
＝∠AFC- CFG
∠
＝56°．
又 FG EC
∥
，∴ ∠AFG＝∠E．
E
∴∠＝56°．
14.【答案】110；
15.【答案】∠AFO、∠OED，∠EOD、∠EOC、∠OBC、∠EDO、∠EDC，
COB
∠
、∠DEB、∠DOB， OC、DE， DE、AB，∥；
【解析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的识别和平行线的判定和性质．
16.【答案】α+β-γ=180°；
【解析】通过做平行线或构造三角形得解．
三、解答题
17.【解析】
解：∵∠A= F
∠（已知），
AC DF
∴
∥
（内错角相等，两直线平行），
C= CEF
∴∠
∠
（两直线平行，内错角相等），
C= D
∵∠
∠（已知），
D= CEF
∴∠
∠
（等量代换），
BD CE
∴
∥
（同位角相等，两直线平行）．
18.【解析】
解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，
所以∠1+ 2
∠＝180°．
所以a b(
∥
同旁内角互补，两直线平行)．
所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠4＝50°(已知)，
所以∠3＝∠4(等量代换)．
所以d e(
∥同位角相等，两直线平行)．
因为∠5+ 6
∠＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，
所以∠5＝50°(等式的性质)．
所以∠4＝∠5(等量代换)．
所以b c(
∥内错角相等，两直线平行)．
因为a b
∥，b c(
∥已知)，
所以a c(
∥平行于同一直线的两直线平行)．
19.【解析】
解：过E 点作EF AB
∥
，则∠3＝180°- 1
∠＝70°．
因为EF AB
∥
，AB CD
∥
，
所以EF CD
∥
．
所以∠4＝180°- 2
∠＝55°．
所以∠x＝180°- 3- 4
∠
∠＝55°．
20.【解析】
解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：
.
而CD 的长度又是平行线PQ 与MN 之间的距离，所以AC+CD+DB 最短.
