文档文本内容
第六章 实数
6.1 平方根（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x 的平方等于a ，即
2x
a
,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定
0 的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作
a ，读作“ a 的算术平方根”，a 叫做被
开方数.
要点诠释：当式子
a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即
a ≥0，a ≥0.
2.平方根的定义
如果
2x
a
，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方
与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为
(
0)
a a
，其中
a 是a 的算
术平方根.
知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
a
和
a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0 的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数
没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平
方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质
2
0
|
|
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
2
0
a
a
a
知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或
者向左移动1 位.例如：
62500
250
，
625
25
，
6.25
2.5
，
0.0625
0.25
.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
例1、下列说法错误的是（ ）
A.5 是25 的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根
C.
2
4
的平方根是－4 D.0 的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为
25 ＝5，所以本说法正确；
B.因为± 1 ＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.因为±
2
4
＝± 16 ＝±4，所以本说法错误；
D.因为
0
＝0，
0 ＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解
决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）9
没有平方根．（ ）
（2）16
4
．（ ）
（3）
2
1
(
)
10
的平方根是
1
10
．（ ）
（4）
2
5
是4
25
的算术平方根．（ ）
【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）16
4
；（4）2
5 是4
25 的算术平方根．
例2、 填空：
（1）4
是 的负平方根．
（2）
1
16
表示 的算术平方根，
1
16 ．
（3）
1
81
的算术平方根为 ．
（4）若
3
x
，则x ，若
2
3
x
，则x ．
【思路点拨】（3）
1
81
就是1
81
的算术平方根＝1
9
，此题求的是1
9
的算术平方根.
【答案与解析】(1)16；(2) 1
1
;
16
4 (3) 1
3 (4) 9；±3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转
化.
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的有（ ）：
①3 是9 的平方根． ② 9 的平方根是3．
③4 是8 的正的平方根．④ 8
是64 的负的平方根．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B；
提示：①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值：
（1）3
25 （2）81
36
（3）
0.04
0.25
（4）
4
0.36
121
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6
55
例3、使代数式
1
x
有意义的x 的取值范围是______________．
【答案】x ≥1
；
【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1
.
【总结升华】当式子
a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即
a ≥0，a ≥0.
举一反三：
【变式】若
+（3x+y
1
﹣）2=0，求5x+y2的平方根．
【答案】解：∵
+（3x+y
1
﹣）2=0，
∴
，
解得，
，
5x+y
∴
2=5×1+（﹣2）2=9，
5x+y
∴
2的平方根为±
=±3．
类型二、利用平方根解方程
例4、求下列各式中的x 值
（1）169x2=144
（2）（x
2
﹣）2
36=0
﹣
．
【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x
2
﹣）看成一个整体，
移项后，根据平方根定义求解．
【答案与解析】
解：（1）169x2=144，
两边同时除以169，得
2
144
169
x
开平方，得
x=
（2）（x
2
﹣）2
36=0
﹣
，
移项，得 （x
2
﹣）2=36
开平方，得 x
2
﹣=±6，
解得：x=8 或x=
4
﹣．
【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．
类型三、平方根的应用
例5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3 倍，面积是1323 平方米．
求长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为x ，长为3 x ，
由题意得，x ·3 x ＝1323
3
2x ＝1323
21
x
x ＝－21(舍去)
答：长为63 米，宽为21 米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.
【巩固练习】
一.选择题
1. 16的平方根是（ ）
A.－4 B.4 C.± 4 D. 256
2．下列各数中没有平方根的是（ ）
A．
2
3
B．0 C．
8
1 D．
36
3．下列各等式中，正确的是（ ）
A．﹣
=﹣3
B．±
=3 C．（
）2=﹣3
D．
=±3
4. 要使代数式
有意义，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
5. 下列语句不正确的是（ ）
A．0 的平方根是0
B．正数的两个平方根互为相反数
C．－
2
2
的平方根是±2
D．a 是
2
a 的一个平方根
6.一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8 数是（ ）
A．a ＋8
B．a －4
C．
2
8
a
D．
2
8
a
二.填空题
7．计算：（1）121 ______；（2）
256
______；（3）
2
12
______；
（4）
43 ______；（5）
2
( 3)
______；（6）
1
2 4
______．
8.
25 的算术平方根的相反数是________.
9. 11
125 的平方根是______；0.0001 算术平方根是______；0 的平方根是______．
10．
2
( 4)
的算术平方根是______；81 的算术平方根的相反数是______．
11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______．
12．已知
，
，则
=
．
三.解答题
13．求下列各式中的x ．
（1）
2
143
1
x
；
（2）
2
4
1
0
x
；
（3）
2
4(
2)
25
x
．
14．小丽想在一块面积为36m2正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为30m2的长
方形纸片，并且使它的长宽的比为2：1．问：小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的
长方形纸片，为什么？
15.思考题：估计与35 最接近的整数．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.
2. 【答案】D；
【解析】负数没有平方根.
3. 【答案】A；
【解析】解：A、﹣
=﹣3，故A 正确；
B、
3，故B 错误；
C、被开方数是非负数，故C 错误；
D、
=3，故D 错误；
故选：A．
4. 【答案】B；
【解析】被开方数为非负数.
5. 【答案】C；
【解析】－
2
2 没有平方根.
6. 【答案】D；
【解析】一个数的算术平方根是a ，则这个数是
2
a .
二.填空题
7. 【答案】11；－16；12
；9；3；
3
2
.
8. 【答案】
5
；
9. 【答案】
6
5
；0.01；0.
10.【答案】2；－3；
【解析】
2
( 4)
＝4，81 ＝9，此题就是求4 的算术平方根和9 的算术平方根的
相反数.
11.【答案】16；
【解析】一个数的平方根是±2，则这个数是4，4 的平方是16.
12.【答案】578.9；
【解析】解：∵
，
∴
=578.9．
故答案为：578.9．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）
2
144
x
（2）
2
1
= 4
x
（3）
5
2=
2
x
12
x
1
2
x
1
2
9
1
=
=
2
2
x
x
－，
14.【解析】
解：不能，设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm，则：
2x•x=30，
2x2=30，
x2=15，
x=
，
则长方形纸片的长为2
cm，
因为2
＞6，而正形纸片的边长为
cm=6cm，所以不能裁剪出符合要求的长方形．
15.【解析】
解：∵25＜35＜36
∴
25
35
36
即5＜
35 ＜6
∵35 比较接近36，
∴35 最接近的整数是6.
