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第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点诠释：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电
影院的座位是6 排7 号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7 排6 号．
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x
轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向，
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数
a，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P 的坐标，记作:P(a,b)，
如图2.
要点诠释：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y 轴的距离；|b|表示点到x 轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任
意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与
有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点诠释：
（1）坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左
下方，第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、
第四象限. 这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没
有公共点.
要点四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
要点诠释：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在
坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x 轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y 轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.
【典型例题】
类型一、有序数对表示位置
例1．如图是小刚的一张笑脸，他对妹妹说：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表
示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）．
A．（1，0） B．（-1，0） C．（-1，1） D．（1，-1）
【思路点拨】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以确定平面直角坐标系
中x 轴与y 轴的位置，从而可以确定嘴的位置．
【答案】A．
【解析】
解：根据（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，
可得嘴的坐标是（1，0），
故答案为A．
【总结升华】此题考查了坐标确定位置，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本
题的关键．
类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
例2.有一个长方形ABCD，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系
下求出A，B，C，D 各点的坐标.
【答案与解析】
解：本题答案不唯一，现列举三种解法.
解法一：以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，边AD 所在直线为y 轴，建立
平面直角坐标系，如图（1）：
A（0，0），B（5，0）， C（5，3）， D （0，3）.
解法二：以边AB 的中点为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点和CD 的中
点所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：
A（﹣2.5，0），B（2.5，0）， C（2.5，3）， D （-2.5，3）.
解法三：以两组对边中点所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图（3）：
A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5）， C（2.5，1.5）， D （-2.5，1.5）.
【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与
绝对性，即只要原点、x 轴和y 轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x 轴、y 轴
改变，每一个点的位置也相对应地改变.
举一反三：
【变式】如图所示，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(-1，1)，A4(-1，-1)，A5(2，-
1)，……，则点A2008的坐标为________．
【答案】(-502，-502)．
例3.平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(-3，-1)，B(1，3)，
C(2，-3)．求△ABC 的面积．
【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将
三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角
形的面积．
【答案与解析】
解：如图所示，过点A、C 分别作平行于y 轴的直线与过B 点平行于x 轴的直线交于点
D、E，则四边形ACED 为梯形，根据点A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD＝4，CE
＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC 的面积为：
1
1
1
(
)
2
2
2
ABC
S
AD
CE
DE
AD DB
CE
BE
△
1
1
1
(4
6) 5
4 4
6 1
14
2
2
2
．
【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面
积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积
计算公式求解．
类型三、坐标平面及点的特征
例4. 已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P 的坐标．
（1）点P 在x 轴上；
（2）点P 在y 轴上；
（3）点Q 的坐标为（1，5），直线PQ∥y 轴；
（4）点P 到x 轴、y 轴的距离相等．
【思路点拨】根据点的坐标特征一一求解.
【答案与解析】
解：（1）∵点P（a
2
﹣，2a+8），在x 轴上，
∴2a+8=0，
解得：a=
4
﹣，
故a
2=
4
2=
6
﹣
﹣﹣
﹣，
则P（﹣6，0）；
（2））∵点P（a
2
﹣，2a+8），在y 轴上，
∴a
2=0
﹣
，
解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，
则P（0，12）；
（3）∵点Q 的坐标为（1，5），直线PQ∥y 轴；，
∴a
2=1
﹣
，
解得：a=3，
故2a+8=14，
则P（1，14）；
（4）∵点P 到x 轴、y 轴的距离相等，
∴a
2=2
﹣
a+8 或a
2+2
﹣
a+8=0，
解得：a1=
10
﹣
，a2=
2
﹣，
故当a=
10
﹣
则：a
2=
12
﹣
﹣
，2a+8=
12
﹣
，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a=
2
﹣则：a
2=
4
﹣
﹣，2a+8=4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于
坐标轴的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面．
举一反三：
【变式】若点C(x,y)满足x+y＜0，xy＞0，则点C 在第_____象限.
【答案】三．
5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A 的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶
点的坐标是什么．
【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位
置不确定，所以应按不同位置分类去求．
【答案与解析】
解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC 是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．
且OC∥AB，OA∥BC，则：
(1)当顶点B 在第一象限时，如图所示，显然 B 点坐标为(4，4)，C 点坐标为(0，
4)．
(2)当顶点B 在第四象限时，如图所示，显然B 点坐标为(4，-4)，C 点坐标为(0，-
4)．
【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），
点P（0，2）关于A 的对称点为P1，P1关于B 的对称点P2，P2关于C 的对称点为P3，按此规
律继续以A、B、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐
标是（ ）
A.（0，0）
B.（0，2）
C.（2，﹣4） D.（﹣4，2）
【答案】A．
【提升练习】
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象
限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
2.点A（a，-2）在二、四象限的角平分线上，则a 的值是（ ）.
A．2
B．-2
C．1
2
D．
1
2
3．已知点M 到x 轴、y 轴的距离分别为4 和6，且点M 在x 轴的上方、y 轴的左侧，则
点M 的坐标为( ) .
A．(4，-6) B．(-4，6) C．(6，-4) D．(-6，4)
4．已知A(a，b)、B(b，a)表示同一个点，那么这个点一定在( ) .
A．第二、四象限的角平分线上 B．第一、三象限的角平分线上
C．平行于x 轴的直线上 D．平行于y 轴的直线上
5. 已知点
(
M a ，)
b ，过M 作MH
x
轴于H ，并延长到N ，使NH
MH
，
且N 点坐标为( 2
，3)
，则
(
)
a
b
.
Ａ．0
Ｂ．1
Ｃ．—1
Ｄ．—5
6. 如图，一个粒子在第一象限和x，y 轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运
动到（0，1），接着它按图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，
1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒运动一个单位长度，那么2010 秒时，
这个粒子所处位置为（ ）
A．（14，44）
B.（15，44）
C.（44，14）
D.（44，15）
二、填空题
7.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①△（a，b）=（﹣a，b）；
②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；
Ω
③（a，b）=（a，﹣b），
按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于
．
8.线段AB 的长度为3 且平行x 轴，已知点A 的坐标为（2，-5），则点B 的坐标为
.
9.如果点
(0
A
，1) ，
(3
B
，1) ，点C 在y 轴上，且
ABC
△
的面积是5，则C 点坐标
____．
10.设x、y 为有理数，若｜x＋2y－2｜＋｜2x－y＋6｜＝0，则点（x，y）在第______
象限.
11．如图，在一个单位为1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜
边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别
为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2013的坐标为
．
12．在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别为：A(-2，1)、B(-3，-1)，
C(-1，-1)，且D 在x 轴上方. 顺次连接这4 个点得到的四边形是平行四边形， 则D 点的
坐标为_______．
三、解答题
13．如图，棋子“马”所处的位置为(2，3)．
(1)你能表示图中“象”的位置吗？
(2)写出“马”的下一步可以到达的位置(象棋中“马”走“日”字或“
”字)
14．如图，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C 三点不在同一条
直线上.
(1) 求△OBC 的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）；
(2) 如图，若三个点的坐标分别为A（2,5），B（7,7），C（9,1），求四边形OABC
的面积.
15.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“识别距
离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|x1﹣
x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|y1﹣y2|；
（1）已知点A（﹣1，0），B 为y 轴上的动点，
①若点A 与B 的“识别距离为”2，写出满足条件的B 点的坐标
．
②直接写出点A 与点B 的“识别距离”的最小值
．
（2）已知C 点坐标为C（m，3
4
m+3），D（0，1），求点C 与D 的“识别距离”的最小
值及相应的C 点坐标．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D.
2. 【答案】A；
【解析】因为（a，-2）在二、四象限的角平分线上，所以a+(-2)=0，即a=2.
3. 【答案】D；
【解析】根据题意，画出下图，由图可知M（-6，4）.
4. 【答案】B；
【解析】由题意可得：a
b
，横坐标等于纵坐标的点在一三象限的角平分线上.
5. 【答案】B；
【解析】由题意知： 点M（a，b）与点N（-2，-3）关于x 轴对称，所以M(-2,3)
.
6. 【答案】A.
【解析】解：设粒子运动到A1，A2，…An时所用的间分别为a1，a2，…，an，an﹣
a1=2×n+…+2×3+2×2=2 （2+3+4+…+n），
an=n（n+1），44×45=1980，故运动了1980 秒时它到点A44（44，44）；
则运动了2010 秒时，粒子所处的位置为（14，44）．
故选A．
二、填空题
7. 【答案】（﹣3，4）
【解析】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，
4）．
8. 【答案】B（5，-5）或（-1，-5）；
【解析】
2
3
5
-1
B
x
或
，而
5
B
y ．
9. 【答案】（0，
7
3
）或（0，13
3
）；
【解析】
3
AB
，由
ABC
△
的面积是5，可得
ABC
△
的边AB 上的高为10
3
，又
点
C 在y 轴上，所以
0
C
x
，
10
13
7
1
-
3
3
3
C
y
或
.
10．【答案】二；
【解析】由绝对值的非负性，可得x，y 的值，从而可得（x，y）所在的象限．
11.【答案】（1008，0）．
【解析】解：∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，
A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，
A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，
A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，…，
∵2013=1006×2+1，
∴A2013是第1006 个与第1007 个等腰直角三角形的公共点，
∴A2013在x 轴正半轴，
∵OA5=4，OA9=6，OA13=8，…，
∴OA2013=（2013+3）÷2=1008，
∴点A2013的坐标为（1008，0）．
故答案为：（1008，0）．
12.【答案】(0，1)或(-4，1)；
【解析】
2
2
0
4
D
x
或-
，
1
D
y
.
三、解答题
13.【解析】
解： (1)(5，3) ； (2)(1，1)、(3，1)、(4，2)、(1，5)、(4，4)、(3，5) .
14.【解析】
解： (1) 如图：
AOB
MOB
CON
BMNC
S
S
S
S
梯形
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
(
)(
)
2
2
2
1 (
)
2
AOB
MOB
CON
BMNC
S
S
S
S
x y
y
y
x
x
x y
x y
x y
梯形
（2）连接OB，则：
四
边
形
OABC
的
面
积
为
：
1
1
77
(7 5-2 7)
(9 7-7 1)
38.5
2
2
2
AOB
BOC
S
S
.
15.【解析】
解：(1)①（0，2）或（0，﹣2）；
②“识别距离”的最小值是1；
（2）|m﹣0|=| 3
4
m+3|，
解得m=8 或8
7
，
当m=8 时，“识别距离”为8,
当m= 8
7
时，“识别距离”为8
7
，
所以，当m= 8
7
时，“识别距离”最小值为8
7
，相应C（﹣8
7
，15
7
）．
