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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. （2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.
A．只能是x=
1
﹣ B．可能是y 轴
C．在y 轴右侧且在直线x=2 的左侧 D．在y 轴左侧且在直线x=
2
﹣的右侧
2．已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
过点
( 2,0)
A
，(0,0)
O
，
1
( 3,
)
B
y
，
2
(3,
)
C
y
四点，则
1y 与
2y 的大
小关系是（ ）．
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
D．不能确定
3．小强从如图所示的二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象中，观察得出了下面五条信息：①
0
a
；②
1
c
；③
0
b
；④
0
a
b
c
；⑤
0
a
b
c
．你认为其中信息正确的有（ ）．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
4．已知二次函数
2
y
ax
bx
c
中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
1
0
1
4
……
点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4 时，y1与y2的大小关系正确的
是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
5．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )
A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
第5 题 第6 题
6．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值-1，有最大值0
C．有最小值-1，有最大值3 D．有最小值-1，无最大值
二、填空题
7．把抛物线
2
y
ax
bx
c
的图象先向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得的图象的解析式是
2
3
5
y
x
x
，则a+b+c＝________．
8．如图所示，是二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c＞0；
②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④
2
8
4
b
a
ac
中正确的是________（填写序号）．
9．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x2
2x+2
﹣
上运动．过点A 作AC x
⊥轴于点C，
以AC 为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD 的最小值为 ．
10．抛物线y=x2+bx+c 与x 轴的正半轴交于A，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为
1，则b 的值是_____.
11．抛物线y=x2+kx-2k 通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.
12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点
，则y1的值是___ __.
三、解答题
13．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x
1
﹣交于点A，点
A 关于直线x=1 的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c 经过点A，B．
（1）求点A，B 的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．
14．如图，已知抛物线
的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，抛物线的对称轴与
x 轴交于点D. 点M 从O 点出发，以每秒1 个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于
点P，交BC 于Q.
(1)求点B 和点C 的坐标；
(2)设当点M 运动了x(秒)时，四边形OBPC 的面积为S，求S 与x 的函数关系式，
并指出自变量x 取值范围.
(3)在线段BC 上是否存在点Q，使得△DBQ 成为以
BQ
为一腰
的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，
若不存在，说明理由.
15.如图，抛物线
经过直线
与坐标轴的两个交点
，此抛物线与
轴的另一个
交点为
，抛物线的顶点为
.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点
为抛物线上的一个动点，求使
的点
的坐标.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，
∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，
2
∴﹣＜
＜0，
∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=
2
﹣的右侧．故选D．
2.【答案】A；
【解析】由于抛物线
2
y
ax
bx
c
经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为
1
x ，
根据抛物线对称性知当
3
x 和
1
x
时，其函数值相等，
∵
0
a
，开口向下，当
2
x 时，y 随x 增大而减小，又2
1
3
，∴
1
2
y
y
．
3.【答案】C；
【解析】由图象知
0
a
，
1
c
，
0
2
b
a
，∴
0
b
，当
1
x
时，
0
a
b
c
，
当
1
x 时，
0
a
b
c
，∴ ①②③④正确．
4.【答案】B ；
【解析】由表可知1＜x1＜2，∴ 0＜y1＜1，3＜x2＜4，∴ 1＜y2＜4，故y1＜y2.
5.【答案】A ；
【解析】由顶点(n，k)在(m，h)的上方，且对称轴相同，∴ m＝n，k＞h.
6.【答案】C ；
【解析】观察图象在0≤x≤3 时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3.
二、填空题
7．【答案】11 ；
【解析】将
2
3
5
y
x
x
向左平移3 个单位，再向上平移2 个单位，得
2
3
7
y
x
x
．
∴ a＝1，b＝3，c＝7.
8．【答案】②④；
【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则
0
c
，故①是错误的；当
1
x
时，
0
y
，
即
0
a
b
c
，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则
0
2
b
a
，
∵
0
a
，∴
0
b
，故2
0
a
b
，故③是错误的；∵
0
a
，
2
4
0
b
ac
，
∴
2
8
4
b
a
ac
，故④是正确的．
9．【答案】1；
【解析】∵y=x2
2x+2=
﹣
（x
1
﹣）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD 为矩形，
BD=AC
∴
，
而AC x
⊥轴，
AC
∴
的长等于点A 的纵坐标，
当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD 的最小值为1．
10．【答案】-3；
【解析】设抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x1、x2，则x2- x1=1，△ABC 的面积为1 得c=2,
由根与系数关系化为
1
2
3
x
x
，
即
=
3
b
a
，由
2
0
b
a
＞得
=3
b
a
，
3
b .
11．【答案】(2，4)；
【解析】若抛物线y=x2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x2+kx-2k 得y=x2+k（x-2），
x-2=0，解得x=2,代入y=x2+k（x-2），y=4,所以过点(2，4).
12．【答案】 3
4
；
【解析】
又因为函数图象经过
，所以
，代入即可求得.
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）当y=2 时，则2=x
1
﹣，
解得：x=3，
A
∴（3，2），
∵点A 关于直线x=1 的对称点为B，
B
∴（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c 得：
解得：
y=x
∴
2
2x
1
﹣
﹣．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C2过A 点，B 点时为临界，
代入A（3，2）则9a=2，
解得：a= ，
代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，
解得：a=2，
∴
14.【答案与解析】
(1)把x=0 代入
得点C 的坐标为C(0，2)
把y=0 代入
得点B 的坐标为B(3，0)；
(2)连结OP，设点P 的坐标为P(x，y)
=
=
∵ 点M 运动到B 点上停止，∴
， ∴
(
)；
(3)存在. BC=
=
① 若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2
∴ BM=1 ∴OM=3-1=2
∴
∴QM=
所以Q 的坐标为Q(2，
)；
② 若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，∴
=
=
∴
=
∴ QM=
∵
=
∴
=
∴BM=
∴ OM=
所以Q 的坐标为Q(
，
).
15.【答案与解析】
(1)直线
与坐标轴的交点
，
.
则
解得
此抛物线的解析式
.
(2)抛物线的顶点
，与
轴的另一个交点
.
设
，则
.
化简得
.
当
，得
或
.
或
当
时，即
，此方程无解.
综上所述，满足条件的点的坐标为
或
.
