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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）
责编：康红梅 
【学习目标】
1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范
围；
2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式  
一元二次方程
)
0
(
0
2




a
c
bx
ax
中，
ac
b
4
2 
叫做一元二次方程
)
0
(
0
2




a
c
bx
ax
的
根的判别式，通常用“”来表示，即
ac
b
4
2 


（1）当△>0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有2 个相等的实数根；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
要点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定
c
b
a
.
,
的值；③计算
ac
b
4
2 
的值；④根据
ac
b
4
2 
的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用 
在方程


0
0
2




a
c
bx
ax
中，
（1）方程有两个不相等的实数根
ac
b
4
2 
﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根
ac
b
4
2 
=0；
（3）方程没有实数根
ac
b
4
2 
﹤0.
要点诠释：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0 这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 
ac
b
4
2 
≥0.
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系    
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
)
0
(
0
2




a
c
bx
ax
的两个实数根是
2
1
x
x ，
，
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                                   让更多的孩子得到更好的教育
那么
a
b
x
x



2
1
，
a
c
x
x

2
1
.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系
数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
    (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
    (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重
要变形；如：
①
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x




；
②
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x




；
③
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
x x
x x
x x
x
x



；
④
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x x



2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x x
x x



；
⑤
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x x




；
⑥
1
2
(
)(
)
x
k
x
k


2
1
2
1
2
(
)
x x
k x
x
k




；
⑦
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x






；
⑧
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
1
1
(
)
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x






；
⑨
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x






；
⑩
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
(|
|
|
|)
+2 |
|
x
x
x
x
x
x
x
x






2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
2 |
|
x
x
x x
x
x





．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a




的两根为
1x 、
2x ，则
①当△≥0 且
1
2
0
x x 
时，两根同号．
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当△≥0 且
1
2
0
x x 
，
1
2
0
x
x


时，两根同为正数；
当△≥0 且
1
2
0
x x 
，
1
2
0
x
x


时，两根同为负数．
②当△＞0 且
1
2
0
x x 
时，两根异号．
     当△＞0 且
1
2
0
x x 
，
1
2
0
x
x


时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0 且
1
2
0
x x 
，
1
2
0
x
x


时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利
用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根a
b

，则必有一根a
b

（a ，b 为有理数）．
【典型例题】
类型一、一元二次方程根的判别式的应用
1．（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2
1=0
﹣
D．x2
2x
1=0
﹣
﹣
【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【答案】B．
【解析】
解：A、△=22
4
﹣×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12
4
﹣×1×2=
7
﹣＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0
4
﹣×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2
4
﹣×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞
0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
举一反三：
【高清ID 号：388522   关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（1）】
【变式】不解方程，判别方程根的情况：
2
2
1
0
x
ax
a




 . 
【答案】无实根. 
2．（2015•本溪）关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2
2x+1=0
﹣
有两个不相等的实数根，则实数k 的取值
范围是 　
        
 
 　
  ．
【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.
【答案】k＜2 且k≠1； 
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                                   让更多的孩子得到更好的教育
【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2
2x+1=0
﹣
有两个不相等的实数根，
k
1≠0
∴﹣
且△=（﹣2）2
4
﹣（k
1
﹣）＞0，
解得：k＜2 且k≠1．
故答案为：k＜2 且k≠1．
【总结升华】不能忽略二次项系数不为0 这一条件.
举一反三：
【高清ID 号：388522     关联的位置名称（播放点名称）：证明根的情况---例3】
【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0 恒有两个不相等的实数根.
【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，
        ∴关于x 的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0 恒有两个不相等的实数根.
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用
3．已知方程
2
5
6
0
x
kx



的一个根是2，求另一个根及k 的值．
【思路点拨】
   根据方程解的意义，将x＝2 代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．
【答案与解析】
方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
1
2
5
k
x 

，
1
6
2
5
x 

，从而解得：
1
3
5
x 
，k＝-7．
    方法二：将x＝2 代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．
设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
1
7
2
5
x 

，从而
1
3
5
x 
，
故方程的另一根为
3
5

，k 的值为-7．
【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系
1
2
b
x
x
a


，
1
2
c
x
x
a


易得另一根及k 的值． 
举一反三：
【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）---例2】
【变式】已知方程
2
2
0
x
x
c



的一个根是3，求它的另一根及c 的值．
【答案】另一根为-1；c 的值为-3．　
4．（2015•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；
（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案与解析】
解：（1）△=（m+2）2
8m
﹣
=m2
4m+4
﹣
=（m
2
﹣）2，
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∵不论m 为何值时，（m
2
﹣）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=
，
x1=
，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
m=1
∴
或2，m=2 不合题意，
m=1
∴
．
【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确
求解适合条件的整数根．
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