文档文本内容
第六章 实数
6.4 《实数》章末复习（基础巩固）
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
a
3 a
性质
一个正数有两个平方根，且互
为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方
根；
一个负数有一个负的立方
根；
零的立方根是零；
重要结论
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
3
3
3
)
(
a
a
a
a
a
a
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按与0 的大小关系分：
实数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．
其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如
，
等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数
的绝对值是非负数，即|
|≥0；
（2）任何一个实数
的平方是非负数，即
2
a ≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即
0
a
(
0
a
).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数
的相反数是－
；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相
反数；0 的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、
开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数 大；
法则2．正数大于0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反
而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方
法.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
例1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个
正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个
数是1 或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1 或0 ，其中错误的有
（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【答案】B；
【解析】①负数有立方根；②0 的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.
【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.
举一反三：
【变式】下列运算正确的是（ ）
A．
4
2
B．
2
3
5
C．3
8
2
D．
| 2 |
2
【答案】C；
例2、若102.01
10.1
，则± 1.0201 ＝
若
7160
.0
3670
.0
3
，
542
.1
670
.3
3
，则
___
__________
367
3
【答案】±1.01；7.16；
【解析】102.01 的小数点向左移动2 位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1
位，变成1.01，注意符号；0.3670 的小数点向右移动3 位变成367，它的立方根的小数点
向右移动1 位，变成7.16
【总结升华】一个数的小数点向左移动2 位，它的平方根的小数点向左移动1 位；一
个数的小数点向右移动3 位，它的立方根的小数点向右移动1 位.
类型二、与实数有关的问题
例3、把下列各数填入相应的集合：
－1、3 、π、－3.14、9 、
2
6
、
2
2
、
7.0 ．
（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；
（4）负实数集合｛ ｝．
【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.
【答案与解析】
（1）有理数集合｛－1、－3.14、9 、
7.0 ｝；
（2）无理数集合｛ 3 、π、
2
6
、
2
2
｝；
（3）正实数集合｛ 3 、π、9 、
2
6
、
7.0 ｝；
（4）负实数集合｛ －1、－3.14、
2
2
｝．
【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见
的无理数形式.
举一反三：
【变式】在实数0、π、
、
、﹣
中，无理数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B；
例4、计算（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.
【答案与解析】
解：（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
＝
2
2
6 10
16
3
3
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
＝
2
3
1
1
1
1
1
27
4
3
4
12
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
＝
3
3
1
4
2
1
8
1
2
1
3
9
3
3
27
3
3
3
.
【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平
方的方法去求一个数的立方根、平方根.
举一反三：
【变式】计算(1)
3
3
3
000216
.0
008
.0
1
27
26
(2)
2
2
3
3
2
3
)
3
(
)
2
1
(
)
4
(
)
4
(
2
【答案】
解：(1)
3
3
3
000216
.0
008
.0
1
27
26
3
1
0.2
0.06
27
29
150
(2)
2
2
3
3
2
3
)
3
(
)
2
1
(
)
4
(
)
4
(
2
1
8 4
4
3
4
32 1 3
36
.
例5、已知：（a+6）2+
=0，则2b2
4b
a
﹣
﹣的值为 ．
【答案】12．
【解析】
解：∵（a+6）2+
=0，
a+6=0
∴
，b2
2b
3=0
﹣
﹣
，
解得，a=
6
﹣，b2
2b=3
﹣
，
可得2b2
4b=6
﹣
，
则2b2
4b
a=6
﹣
﹣
﹣（﹣6）=12，
故答案为：12．
【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、
偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0 时，必须满足其中的每一项都等于
0．
举一反三：
【变式1】实数
、
在数轴上所对应的点的位置如图所示：
化简
2
a ＋∣
－
∣＝ .
【答案】
解：∵
＜0＜
,
∴
－
＜0
∴
2
a ＋∣
－
∣＝－
－(
－
)＝
－2
.
【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则
2
,
1
,
,
a
a
a
a
的大小关系是：
；
0
-1
a
【答案】
2
1
a
a
a
a
；
类型三、实数综合应用
例6、现有一面积为150 平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增
加6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4 个有效数字）？
【答案与解析】
解：因为原正方形鱼池的面积为150 平方米，根据面积公式，
它的边长为150
12.247
（米）．
由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，
所以扩建后鱼池的面积为
≈333.0（平方米）．
答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．
【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150 平
方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6 米，故新鱼池面积可求．
举一反三：
【变式】一个底为正方形的水池的容积是486
，池深1.5
，求这个水池的底边长．
【答案】
解：设水池的底边长为
，由题意得
2 1.5
486
x
2
324
x
18
x
答：这个水池的底边长为18
.
【巩固练习】
一.选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A．数轴上任一点表示唯一的有理数
B．数轴上任一点表示唯一的无理数
C．两个无理数之和一定是无理数
D．数轴上任意两点之间都有无数个点
2.
的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2
C．
D．±
3．已知
、
是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A．若
＞
，则
2
a ＞
2
b
B．若
＞｜
｜，则
2
a ＞
2
b
C．若｜
｜＞
，则
2
a ＞
2
b
D．若
3
a ＞
3
b ，则
2
a ＞
2
b
4.
3
3
8
7
a
，则a 的值是（ ）
A. 8
7
B.
8
7
C.
8
7
D.
512
343
5. 若式子
3 1
1
2
x
x
有意义,则x 的取值范围是 ( ).
A.
2
1
x
B.
1
x
C.
1
2
1
x
D. 以上答案都不对.
6. 下列说法中错误的是（ ）
A. 3 a 中的a 可以是正数、负数或零. B.
a 中的a 不可能是负数.
C. 数a 的平方根有两个. D.数a 的立方根有一个.
7. 数轴上A，B 两点表示实数
，
，则下列选择正确的是（ ）
A.
0
b
a
B.
C.
D.
8. 估算
2
19
的值在 （ ）
A. 5 和6 之间 B.6 和7 之间 C.7 和8 之间 D.8 和9 之间
二.填空题
9. 若
2005 的整数部分是a ，则其小数部分用a 表示为 ．
10．当x 时，3
2
x
有意义.
11.
3
2)
125
.0
(
.
12. 若
12
x
是225 的算术平方根，则x 的立方根是 .
13. 3 343 的平方根是 .
14.
64
﹣
的立方根与
的平方根之和是
．
15. 比较大小：
2
1
1
2 ，
5
2
2
， 3 3
2
16. 数轴上离原点距离是5 的点表示的数是 .
三.解答题
17. 一个正数
的平方根是
3
2
a
与
a
5
，则a 是多少？
18. 已知x
2
﹣的平方根是±2，2x+y+7 的立方根是3，求x2+y2的平方根．
19. 已知：表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简
2
b
a
b
a
20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.
大家知道
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
2 的小数部分我们不可
能全部写出来，于是小明用
2 －1 表示
2 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
2 的整数部分是1，将这个数减去其整数
部分，差就是小数部分.
请解答：已知：10＋3 ＝
y
x
，其中x 是整数，且
1
0
y
,求
y
x
的相反数.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.
2. 【答案】C
3. 【答案】B；
【解析】B 答案表明
,
|
| |
|
a
b
a
b
且
，故
2
a ＞
2
b .
4. 【答案】B；
【解析】
3
3
3
7
8
a
a
.
5. 【答案】A；
6. 【答案】C；
【解析】数
不确定正负，负数没有平方根.
7. 【答案】C；
8. 【答案】B；
【解析】4
19
5
，6
19
2
7
.
二.填空题
9. 【答案】
2005
a
；
10.【答案】为任意实数 ；
【解析】任何实数都有立方根.
11.【答案】
25
.0
；
【解析】
.
12.【答案】3；
【解析】
－12＝15,
＝27, 3 27
3
.
13.【答案】
7
；
【解析】 3 343 ＝7，7 的平方根是
7
.
14.【答案】﹣2 或﹣6．
【解析】∵﹣64 的立方根是﹣4，
=4，
4
∵的平方根是±2，
4+2=
2
∵﹣
﹣，﹣4+（﹣2）=
6
﹣，
64
∴﹣
的立方根与
的平方根之和是﹣2 或﹣6．
15.【答案】＞；＜；＞；
16.【答案】
5
；
【解析】数轴上离原点距离是5 的点有两个，分别在原点的左右两边.
三.解答题
17.【解析】
解：∵一个正数
的平方根是
3
2
a
与
a
5
，
∴
3
2
a
与
a
5
互为相反数，
即
3
2
a
＋
a
5
＝0，解得
2
a .
18.【解析】
解：∵x
2
﹣的平方根是±2，2x+y+7 的立方根是3，
x
2=2
∴﹣
2，2x+y+7=27，
解得x=6，y=8，
x
∴2+y2=62+82=100，
x
∴2+y2的平方根是±10．
19.【解析】
解：∵
＜
＜0
∴
2
b
a
b
a
20.【解析】
解：∵11＜10＋3 ＜12
∴
＝11，
＝10＋3 －11＝3
1
∴
3
1 11
3
12
x
y
y
x
.
