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第八章 二元一次方程（组）
8.1 二元一次方程（组）的相关概念（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方
程．
要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组
解．
要点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：
2,
5.
x
y
．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如
5
2
0
1
3
y
x
x
也是
二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般
写成x
a
y
b
的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2
5
2
6
x
y
x
y
无解，而方程组
1
2
2
2
x
y
x
y
的解有无数个．
【典型例题】
类型一、二元一次方程
例1．已知方程（m
2
﹣）xn
1
﹣+2y|m
1|
﹣=m 是关于x、y 的二元一次方程，求m、n 的值．
【答案与解析】
解：∵（m
2
﹣）xn
1
﹣+2y|m
1|
﹣=m 是关于x、y 的二元一次方程，
n
1=1
∴﹣
，|m
1|=1
﹣
，
解得：n=2，m=0 或2，
若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，
则m=0，n=2．
举一反三：
【变式1】已知方程
3
2 4
1
2
5
2
m
n
x
y
是二元一次方程，则m=
，n= .
【答案】-2，1
4
【
变
式
2
】
方
程
(
1)
(
1)
0
a
x
a
y
，
当
___
___
a
a
时，它是二元一次方程，当
时，它是一元一次方程．
【答案】1
；1
1
或
类型二、二元一次方程的解
例2.已知
是方程2x﹣6my+8=0 的一组解，求m 的值．
【答案与解析】
解：∵
是方程2x﹣6my+8=0 的一组解，
∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，
解得m=﹣2．
举一反三：
【变式】已知方程2x-y+m-3=0 的一个解是
1
1
x
m
y
m
，求m 的值.
【答案】
解：将
1
1
x
m
y
m
代入方程2x-y+m-3=0 得2(
1)
(
1)
3
0
m
m
m
，解得
3
m
.
答：m 的值为3.
例3.写出二元一次方程
20
4
y
x
的所有正整数解.
【答案与解析】
解：由原方程得
x
y
4
20
，因为
y
x、都是正整数，
所以当
4
3
2
1
，
，
，
x
时，
4
8
12
16
，
，
，
y
.
所以方程
20
4
y
x
的所有正整数解为：
16
1
y
x
，
12
2
y
x
，
8
3
y
x
，
4
4
y
x
.
举一反三：
【变式1】已知
是关于x、y 的二元一次方程ax﹣（2a
3
﹣）y=7 的解，求a 的
值．
【答案】
解：把
代入方程ax﹣（2a
3
﹣）y=7，可得：
2a+3（2a
3
﹣）=7，
解得：a=2．
【变式2】在方程
0
2
4
3
y
x
中，若y 分别取2、4
1
、0、－1、－4，求相应的x
的值.
【答案】将
0
2
4
3
y
x
变形得
3
4
2
y
x
.
把已知y 值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：
y
2
4
1
0
－1
－4
3
4
2
y
x
－2
3
1
3
2
2
6
类型三、二元一次方程组及解
例4.甲、乙两人共同解方程组
5
15
4
2
ax
y
x
by
①
②
由于甲看错了方程①中的a，得到
方程组的解为
3
1
x
y
．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为
5
4
x
y
．试计算：
2011
2010
1
10
a
b
的值．
【答案与解析】
解：把
3
1
x
y
代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．
把
5
4
x
y
代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，
所以
2011
2011
2010
2010
1
1
( 1)
10
1 ( 1)
0
10
10
a
b
．
举一反三：
【变式】已知关于,x y 的二元一次方程组
4
1
3
2
3
x
ay
x
by
x
y
的解是
，
求
的值
a
b
．
【答案】
解：将
1
3
x
y
代入原方程组得：1 3
4
3
3
2
a
b
，解得
1
1
3
a
b
，
所以
2
3
a
b
．
【巩固练习】
一、选择题
1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有
（ ）
A．5 个 B. 6 个 C.7 个 D.8 个
2.方程2x﹣
=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0 中，二元一次方程的个
数是（ ）
A．5 个
B．4 个 C．3 个
D．2 个
3.已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m的值为（ ）
A．4
B．﹣4
C．
D．﹣
4.若5x-6y=0，且xy≠0，则
的值等于（ ）
A．2
3
B. 3
2
C.1 D. -1
5.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ）
A．无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定
6.在早餐店里，王伯伯买5 个馒头，3 个包子，老板少拿2 元，只要50 元．李太太买
了11 个馒头，5 个包子，老板以售价的九折优待，只要90 元．若馒头每个x 元，包子每个
y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )
A．5
3
50
2
11
5
90 0.9
x
y
x
y
B．5
3
50
2
11
5
90
0.9
x
y
x
y
C．5
3
50
2
11
5
90 0.9
x
y
x
y
D．5
3
50
2
11
5
90
0.9
x
y
x
y
二、填空题
7．已知方程
3
2 4
1
2
5
2
m
n
x
y
是二元一次方程，则m＝________，n＝_________．
8．若方程组
的解为
，则点P（a，b）在第
象限．
9 ．在
1
3 ,
7
2
x
y
0
4
x
y
，
2
1
x
y
，
3
3
x
y
这四对数值中，是二元一次方程组
3
2
8
2
3
x
y
x
y
的解的是________ ．
10. 方程2x+3y=10 中，当3x-6=0 时，y=_________；
11. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________；
12.若二元一次方程组
的解中
，则
等于____________.
三、解答题
13．请你写出一个二元一次方程组，使它的解是
．
14．甲、乙二人共同解方程组
2
6
2
3
mx
y
x
ny
①
②
由于看错了方程①中的m 值，得到
方程组的解为
3
2
x
y
；乙看错了方程②中的n 的值，得到方程组的解为
5
2
x
y
，试求
代数式
2
2
m
n
m n
的值．
15．某球迷协会组织36 名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，
可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8 人，另一种是每辆车可乘4 人．要求租用的车
子不留空座，也不超载．
（1）请你给出三种不同的租车方案；
（2）若8 个座位的车子租金是300 元/天，4 个座位的车子租金是200 元/天，请你设
计费用最少的租车方案，并简述你的理由．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
2. 【答案】D；
【解析】解：2x﹣
=0 是分式方程，不是二元一次方程；
3x+y=0 是二元次方程；
2x+xy=1 不是二元一次方程；
3x+y﹣2x=0 是二元一次方程；
x2﹣x+1=0 不是二元一次方程．
故选：D．
3.【答案】
【解析】把x=2，y=﹣3 代入二元一次方程5x+my+2=0，得10﹣3m+2=0，解得m=4．
4. 【答案】A；
【解析】将5x＝6y 代入后面的代数式化简即得答案．
5. 【答案】B；
【解析】
7
6
x
y
可知：,x y 异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0.
6. 【答案】B；
【解析】根据题意知，x，y 同时满足两个相等关系:①老板少拿2 元，只要50 元；②
老板以售价的九折优待，只要90 元，故选B．
二、填空题
7. 【答案】-2，1
4 ；
【解析】由二元一次方程的定义可得：
3
1
2
4
1
m
n
，所以
2
1
4
m
n
8.【答案】四
【解析】：将x=2，y=1 代入方程组得：
，解得：a=2，b=﹣3，则P（2，﹣
3）在第四象限．
9. 【答案】
2
1
x
y
；
【解析】把４组解分别代入方程组验证即可．
10．【答案】2；
【解析】将
2
x
代入2x+3y=10 中可得y 值．
11.【答案】
；
12.【答案】－3∶4；
【解析】将
代入
中，得
，即
；将
代入
，得
，即
，即
.
三、解答题
13.【解析】
解：答案不唯一，
例如：∵
，∴x+y=5, x-y=-1,
∴所求的二元一次方程组可以是
．
14.【解析】
解：将
3
2
x
y
代入②中2 ( 3)
2
3
n
，
3
2
n
．
将
5
2
x
y
代入①中-5m+4＝-6，m＝2．
∴
2
2
9
37
4
3
4
4
m
n
mn
．
15.【解析】
解：（1）设8 个座位的车租x 辆，4 个座位的车租y 辆．
则8x+4y＝36，即2x+y＝9．∵ x，y 必须都为非负整数，
∴ x 可取0，1，2，3，4，
∴ y 的对应值分别为9，7，5，3，1．
因此租车方案有5 种，任取三种即可．
（2）因为8 个座位的车座位多，相对日租金较少，所以要使费用最少，必须尽量多租
8 个座位的车．所以符合要求的租车方案为8 个座位的车租4 辆．
4 个座位的车租1 辆，此时租车费用为4×300+1×200＝1400(元)．
