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第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点诠释：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电
影院的座位是6 排7 号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7 排6 号．
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x
轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向，
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数
a，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P 的坐标，记作:P(a,b)，
如图2.
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要点诠释：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y 轴的距离；|b|表示点到x 轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任
意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与
有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点诠释：
（1）坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左
下方，第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、
第四象限. 这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没
有公共点.
要点四、点坐标的特征
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1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
要点诠释：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在
坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x 轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y 轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.
【典型例题】
类型一、有序数对
例1．如果将一张“13 排10 号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电
影票是 排 号.
【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平
面内点的位置．
【答案】10,13.
【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.
【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不
能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．
类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
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例2.如图，写出点A、B、C、D 各点的坐标.
【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．
【答案与解析】
解：由点A 向x 轴作垂线，得A 点的横坐标是2，再由点A 向y 轴作垂线，得A 点的纵
坐标是3，则点A 的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D 的坐标．
所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．
【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x 轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y
轴的距离是这点横坐标的绝对值．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，如果点A 既在x 轴的上方，又在y 轴的左边，且距离x
轴，y 轴分别为5 个单位长度和4 个单位长度，那么点A 的坐标为( ).
A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)
【答案】D.
例3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-
2)．
【答案与解析】
解：因为点A 的坐标是(4，3)，所以先在x 轴上找到坐标是4 的点M，再在y 轴上找
到坐标是3 的点N．然后由点M 作x 轴的垂线，由点N 作y 轴的垂线，过两条垂线的交点就
是点A，同理可描出点B、C、D．
所以，点A、B、C、D 在直角坐标系的位置如图所示．
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【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意
一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有
序实数对是一一对应的．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则
△AOB 的面积为 ．
【答案】5.
类型三、坐标平面及点的特征
例4.根据要求解答下列问题：
设M（a，b）为平面直角坐标系中的点．
（1）当a＞0，b＜0 时，点M 位于第几象限？
（2）当ab＞0 时，点M 位于第几象限？
（3）当a 为任意实数，且b＜0 时，点M 位于何处？
【思路点拨】（1）利用第四象限点的坐标性质得出答案；
（2）利用第二、四象限点的坐标性质得出答案；
（3）利用第三、四象限和纵轴点的坐标性质得出答案．
【答案与解析】
解：∵M（a，b）为平面直角坐标系中的点．
（1）当a＞0，b＜0 时，点M 位于第四象限；
（2）当ab＞0 时，即a，b 同号，故点M 位于第一、三象限；
（3）当a 为任意实数，且b＜0 时，点M 位于第三、四象限和纵轴的负半轴．
【总结升华】本题考查点的坐标的确定，正确掌握各象限对应坐标的符号是解题关键．
举一反三：
【变式】若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（ ）
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A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得
a+1＜0，b﹣2＞0．
解得a＜﹣1，b＞2．
由不等式的性质，得
﹣a＞1，b+1＞3，
点B（﹣a，b+1）在第一象限，
故选：A．
例5.已知点P（2m+4，m
1
﹣）．试分别根据下列条件，求出点P 的坐标．
（1）点P 的纵坐标比横坐标大3；
（2）点P 在过A（2，﹣3）点，且与x 轴平行的直线上．
【思路点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m
1
﹣﹣（2m+4）=3，即可得出m 的
值，进而得出P 点坐标；
（2）根据平行于x 轴点的坐标性质得出m
1=
3
﹣
﹣，进而得出m 的值，进而得出P 点
坐标．
【答案与解析】
解：（1）∵点P（2m+4，m
1
﹣），点P 的纵坐标比横坐标大3，
∴m
1
﹣﹣（2m+4）=3，
解得：m=
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﹣，
∴2m+4=
12
﹣
，m
1=
9
﹣
﹣，
∴点P 的坐标为：（﹣12，﹣9）；
（2）∵点P 在过A（2，﹣3）点，且与x 轴平行的直线上，
∴m
1=
3
﹣
﹣，
解得：m=
2
﹣，
∴2m+
4=0，
∴P 点坐标为：（0，﹣3）．
【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m 的等式是解题
关键．
举一反三：
【变式】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P 到x 轴，y 轴的距离分别为2，
5，则P 的坐标是_________；若去掉点P 在第二象限这个条件，那么P 的坐标是________.
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【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.
【巩固练习】
一、选择题
1．为确定一个平面上点的位置，可用的数据个数为( ).
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．下列说法正确的是( ).
A．(2，3)和(3，2)表示的位置相同
B．(2，3)和(3，2)是表示不同位置的两个有序数对
C．(2，2)和(2，2)表示两个不同的位置
D．(m，n)和(n，m)表示的位置不同
3. 在平面直角坐标系中，点M(1，5)所在的象限是( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若点P(m，n)在第三象限，则点Q(-m，-n)在( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知点P(m+3，2m+4)在y 轴上，那么点P 的坐标是( ).
A．(-2，0) B．(0，-2) C．(1，0) D．(0，1)
6．如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹
时反射角等于入射角，当点P 第2015 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）
A.（1，4）
B.（5，0）
C.（6，4）
D.（8，3）
二、填空题
7 ．已知有序数对(2x-1 ，5-3y) 表示出的点为(5 ，2) ，则x ＝________ ，y ＝
________．
8．两条平行线中一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度叫做两条平行线间的距
离定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M 到直线l1，l2
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的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，
距离坐标为（2，3）的点的个数是
．
9.点P(-3，4)到x 轴的距离是________，到y 轴的距离是________．
10．指出下列各点所在象限或坐标轴：
点A(5，-3)在_______，点B(-2，-1)在_______，点C(0，-3)在_______，点D(4，
0)在_______，点E(0，0)在_______．
11．点A(1，-2)关于x 轴对称的点的坐标是______；点A 关于y 轴对称的点坐标为
______．
12．点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x 的取值范围是 ．
三、解答题
13．在图中建立适当的平面直角坐标系，使A、B 两点的坐标分别为(-4，1)和(-1，
4)，写出点C、D 的坐标，并指出它们所在的象限．
14．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下的方向依次不
断移动，每次移动1 个单位，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A1（
，
），A2（
，
）；
（2）写出点A4n的坐标（n 是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
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15. 已知A，B，C，D 的坐标依次为(4，0)，(0，3)，(-4，0)，(0，-3),在平面直角
坐标系中描出各点，并求四边形ABCD 的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】A.
2. 【答案】B.
3. 【答案】B；
【解析】四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），
（+，-）．
4. 【答案】A；
【解析】因为点P(m，n)在第三象限，所以m，n 均为负，则它们的相反数均为正．
5. 【答案】B；
【解析】m+3＝0，∴m＝-3，将其代入得：2m+4＝-2，∴P(0，-2)．
6. 【答案】A.
【解析】解：如图，经过6 次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2015÷6=335…5，
∴当点P 第2015 次碰到矩形的边时为第336 个循环组的第5 次反弹，
点P 的坐标为（1，4）．
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故选：A．
二、填空题
7. 【答案】3，1；
【解析】由2x-1=5，得x=3；由5-3y=2，得y=1．
8. 【答案】4；
【解析】解：∵到x 轴的距离是2，y 轴的距离是3 的点每一个象限都有1 个，
∴距离坐标为（2，3）的点的个数是（2，3）（﹣2，3）（﹣2，﹣3）（2，﹣3）共
4 个．故答案为：4．
9. 【答案】4， 3；
【解析】到x 轴的距离为：│4│=4，到y 轴的距离为：│-3│=3.
10．【答案】第四象限，第三象限，y 轴的负半轴上，x 轴的正半轴上，坐标原点.
11.【答案】(1，2)，(-1，-2) ；
【解析】关于x 轴对称的两点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y
轴对称的两点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
12.【答案】x＞2；
【解析】∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，∴
，解得：x＞2．
三、解答题
13.【解析】
解：建立平面直角坐标系如图：
11
得C(-1，-2)、D(2，1)．由图可知，点C 在第三象限，点D 在第一象限.
14.【解析】
解：（1）由图可知，A1（0，1），A2（1，1）；
故答案为：0，1；1，1；
（2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，
∴点A4n的坐标（2n，0）；
（3）∵100÷4=25，
100
∴
是4 的倍数，
A
∴
100 （50，0），
101÷4=25
∵
…1，
A
∴
101与A100横坐标相同，
A
∴
101 （50，1），
∴从点A100到点A101的移动方向与从点O 到A1的方向一致，为从下向上．
15.【解析】
解：描点如下：
1
4
4
4 3
24
2
ABCD
AOB
S
S
四边形
三角形
.
