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第六章 实数
6.3 实数（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表
示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0 的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为
0）、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
例1、指出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后
结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π 是无理数，化简后含π 的代
数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有
无理数有
……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：
0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
，
，
，
.
举一反三：
【变式】在下列语句中：
①无理数的相反数是无理数；
②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；
④无限小数不一定是无理数．
其中正确的是（ ）
A．②③B．②③④
C．①②④
D．②④
【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正
确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
类型二、实数大小的比较
例2、比较
和0.5 的大小．
【答案与解析】
解：作商，得
．
因为
，即
，所以
．
【总结升华】根据若
，
均为正数，则由“
，
，
”分别得到结论
“
，
，
，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商
法等，根据具体情况选用适当的方法.
举一反三：
【变式】比较大小
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
例3、实数a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．ac＞bc
B．|a
b|=a
b
﹣
﹣
C．﹣a＜﹣b＜c
D．﹣a
c
﹣＞﹣b
c
﹣
【答案】D；
【解析】
解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
A
∴、ac＜bc，故A 选项错误；
B、∵a＜b，
a
b
∴﹣＜0，
|a
b|=b
a
∴﹣
﹣，故B 选项错误；
C、∵a＜b＜0，
a
∴﹣＞﹣b，故C 选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，
a
c
∴﹣﹣＞﹣b
c
﹣，故D 选项正确．
故选：D．
【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解
答此题的关键．
类型三、实数的运算
例4、化简：
(1)
(2)
(3)
【答案与解析】
解：
.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及
运算性质等同样适用.
例5、若
，则
________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中
，b，c 的
值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知：
，即
，∴
．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有|
|，
，非负数的和为0，只能每个非
负数分别为0 .
举一反三：
【变式】已知
，求
的值．
【答案】
解：由已知得
，解得
．
∴
＝
.
【巩固练习】
一.选择题
1.实数
，0，﹣π，
，﹣，0.3131131113…（相邻两个3 之间依次多一个1），
其中无理数的个数是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．3
2. 下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数
B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数
D．带根号的数都是无理数
3.估计
的大小应在（ ）
A．7～8 之间
B．8.0～8.5 之间
C．8.5～9.0 之间
D．9～10 之间
4.如图，数轴上点
表示的数可能是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5. 实数
和
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．一个正方体水晶砖，体积为100
，它的棱长大约在（ ）
A．4～5
之间
B．5～6
之间
C．6～7
之间
D．7～8
之间
二.填空题
7.在
，
，
，
，
这五个实数中，无理数是_________________．
8.在数轴上与1 距离是
的点，表示的实数为______．
9.｜3.14－π｜＝______；
______．
10.
的整数部分是________，小数部分是________．
11.已知
为整数，且满足
，则
________．
12. ﹣
的相反数是 ，
﹣2 的绝对值是________，
的立方根是 ．
三.解答题
13．化简：|
﹣
|
|3
﹣﹣
|．
14. 天安门广场的面积大约是440000
，若将其近似看作一个正方形，那么它的边
长大约是多少？（用计算器计算，精确到
）
15. 已知
求
的值．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B．
【解析】在实数
，0，﹣π，
，﹣，0.3131131113…（相邻两个3 之间依次多
一个1）中，无理数有：﹣π，0.3131131113…（相邻两个3 之间依次多一个1），共2 个.
2. 【答案】A；
【解析】根据无理数的定义作答.
3. 【答案】C；
【解析】
，因为76 比较接近81，所以
在8.5
～9.0 之间.
4. 【答案】B；
【解析】2＜
＜3
5. 【答案】C；
【解析】
.
6. 【答案】A；
【解析】
.
二.填空题
7． 【答案】
，
；
8. 【答案】
；
【解析】与1 的距离是
的点在1 的左右两边各有一个点，分别是
、
.
9. 【答案】π－3.14；
.
【解析】负数的绝对值等于它的相反数.
10.【答案】2；
；
【解析】
，故整数部分为2，
－2 为小数部分.
11.【答案】 －1, 0, 1；
12.【答案】
；2﹣
；2．
三.解答题
13.【解析】
解：|
﹣
|
|3
﹣﹣
|
=
﹣（3﹣
）
=2
﹣
3
﹣．
14.【解析】
解：设广场的边长为
，由题意得：
440000
＝
≈663
.
答：它的边长约为663m.
15.【解析】
解：∵
∴
－2＝0 且
＝0
解得
＝2，
＝－3，
∴
＝2－3＝－1.
