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第六章 实数
6.3 实数（能力提升）
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表
示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0 的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
！
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为
0）、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
例1、把下列各数分别填入相应的集合内：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，0 ，
0.3737737773……（相邻两个3 之间7 的个数逐次增加1）
【答案与解析】
有理数有：
，
，
，
，0，
无理数有：
，
，
，
，
，
， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：
0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
，
，
，
，
.
举一反三：
【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
！
…
有理数集合
…
无理数集合
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有
，1.020 020 002…这类的数也是无理
数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才
是无理数.
(4)(×)0 是有理数.
(5)(×)如
，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如
，虽然带根号，但
＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以
实数可以用有限小数和无限小数表示.
类型二、实数大小的比较
例2、比较
与
的大小．
【思路点拨】根据
，
，则
来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解
：
因
为
，
．
所以
＜
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分
！
子法、倒数法等.
举一反三：
【变式】若两个连续整数x、y 满足x＜
+1＜y，则x+y 的值是
．
【答案】7．
解：∵
，
∴
，
x
∵＜
+1＜y，
x=3
∴
，y=4，
x+y=3+4=7
∴
．
类型三、实数的运算
例3、求
的值．
【答案与解析】
解：（1）当
≥0 时，
，
，
所以
．
（2）当
＜0 时，
，
，
所以
．
即
值为0 或2
．
【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本
题需要分类讨论．要注意对
的讨论，而开立方不需要讨论符号．
举一反三：
【变式】若
的两个平方根是方程
的一组解．
（1）求
的值；
（2）求
的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵
的平方根是
的一组解，则设
的平方根为
，
，
！
则根据题意得：
解得
∴
为
．
（2）∵
．
∴
的算术平方根为4．
类型四、实数的综合运用
例4、已知
，且
，求
的值．
【答案与解析】
解：∵
，且
，
．
∴
，即
，
．
解得
＝3，
＝5，
得
＝64．
∴
．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由
，
可求
、
，又
，所以
＝64，则
可求．
举一反三：
【变式】已知
，求
的值．
【答案】
解：知条件得
，
由②得
，
，∵
，∴
，则
．
把
代入①得
，
＝1．
！
∴
．
例5、如图，半径为1 个单位的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合（提示：圆的周
长C=2πr）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1 周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是
；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，
依次运动情况记录如下：
+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q 点距离原点最近？第几次滚动后，Q 点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？此时点Q 所表示的数是多少？
【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q 点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q 表示的数即可．
【答案与解析】
解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1 周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数
是﹣2π；
故答案为：﹣2π；
（2）①第4 次滚动后Q 点离原点最近，第3 次滚动后，Q 点离原点最远；
|
2|+|
1|+|
5|+|+4|+|+3|+|
2|=17
②﹢
﹣
﹣
﹣
，
Q 点运动的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，
1×2π=2π，此时点Q 所表示的数是2π．
【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利
用数轴得出对应数是解题关键．
【提升练习】
！
一.选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．|
2|=
2
﹣
﹣
B．0 的倒数是0
C．4 的平方根是2
D．﹣3 的相反数是3
2. 三个数
，－3，
的大小顺序是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3. 要使
，
的取值范围是（ ）．
A．
≤3 B．
≥3 C．0≤
≤3 D．一切实数
4. 估算
的值在（ ）．
A．7 和8 之间 B．6 和7 之间 C．3 和4 之间 D．2 和3 之间
5. 若
，
、
互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ）
A.
B.
与
C.
与
D.
与
6. 实数
、
、
在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．
＞0 B．
＜0 C．
D．
二.填空题
7 ．
，3.33…… ，
，
，
，
，
，
，中，无理数的个数是 个.
8.
＜0 时，化简
＝________.
9. 计算：
＝__________．
！
10. 如图，数轴上A，B 两点表示的数分别为﹣1 和
，点B 关于点A 的对称点为
C，则点C 所表示的数为
．
11. 若
，求
的值.
12. 当 时,
有最大值,最大值是 ________.
三.解答题
13．（1）求出下列各数：①2 的平方根； ②﹣27 的立方根； ③
的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上．
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
14. 已知实数
、
、
满足
，求
的值；
！
15. 已知
是
的算术平方根，
是
的立方根，求B－A 的平方根．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D
【解析】A、|
2|=2
﹣
，错误；B、0 没有倒数，错误；C、4 的平方根为±2，错误；
D、﹣3 的相反数为3，正确.
2. 【答案】B；
【解析】
．
3. 【答案】D；
【解析】本题主要考查立方根的性质，即
．因为
，所以
可取一切实数．
4. 【答案】D；
【解析】
，
，所以选D.
5. 【答案】C；
【解析】
＋
＝0，
＝－
，所以
，所以
＋
＝0.
6. 【答案】B；
【解析】从数轴上可以看出－3＜
＜－2，－2＜
＜－1，0＜
＜1，所以很明显
＜0.
二.填空题
7. 【答案】4；
【解析】
，
，
，
为无理数.
！
8. 【答案】0；
【解析】∵
，∴
．
9. 【答案】
；
【解析】
．
10.【答案】﹣
﹣2．
【解析】如图，
∵数轴上A，B 两点表示的数分别为﹣1 和
，
AB=
∴
﹣（﹣1）=
+1，∵点B 关于点A 的对称点为C，∴AC=
+1，
∴点C 所表示的数为﹣（
+1）﹣1=﹣
2
﹣．
11.【答案】1；
【解析】
∴
，∴
.
12.【答案】±2；3；
【解析】当
时，
有最大值3.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）2 的平方根是
，﹣27 的立方根是﹣3，
的算术平方根2；
（2）如图：
（3）﹣3＜﹣
＜
＜2．
14.【解析】
解：∵
，
，
．
由题意，得方程组
！
， 解得
．
∴
＝
.
15.【解析】
解：∵
是
的算术平方根，
是
的
立方根，
∴
，
解得
∴A＝1，B＝2，B－A＝1
∴B－A 的平方根＝±1．
！
