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第七章 平面直角坐标系
7.3 《平面直角坐标系》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
要点一、有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生
活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收
入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数
表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，
2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
要点二、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：
要点诠释：
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三
象限、第四象限，这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之
间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立
了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的
转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x 轴上的点纵坐标为零；y 轴上的点横坐标为零．
② 平行于x 轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y 轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x 轴的距离为|y|，到y 轴的距离为|x|．
② x 轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y 轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x 轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y 轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补
要点三、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
要点诠释：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x 轴、y 轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原
点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a 个
单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b 个单位
长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
要点诠释：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相
应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加
(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度．
要点诠释：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变
化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律
遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
【典型例题】
类型一、有序数对
例1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数：
2
1
a
b
．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中
得到数m，再将数对(m，1)放入其中，得到的数是________．
【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的
数的运算，把数对代入
2
1
a
b
求值即可．
【答案】66 .
【解析】解：将(-2，3)代入，
2
1
a
b
，得(-2)2+3+1＝8，
再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66，
故填：66．
【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m，解出m 的值，
即可求出把（m，1）放入其中得到的数．
举一反三：
【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4 米，再向北走6 米，记作(4，
6)，则向西走5 米，再向北走3 米，记作________；数对(-2，-6)表示________．
【答案】 (-5，3)；向西走2 米，向南走6 米.
类型二、平面直角坐标系
例2. 第三象限内的点P(x，y)，满足|x|＝5，y2＝9，则点P 的坐标为________．
【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x，y
的具体值．
【答案】(-5，-3).
【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以
x＜0，y＜0，故点P 的坐标为(-5，-3)．
【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；
第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
举一反三：
【变式1】 在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x 轴的距离为( ) ．
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】C.
【变式2】 如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) ．
A．(5，2) B．(-6，3) C．(-4，-6) D．(3，-4)
【答案】D.
类型三、坐标方法的简单应用
例3.如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），
（2，3）．完成以下问题：
（1）请根据题意在图上建立直角坐标系；
（2）写出图上其他地点的坐标
（3）在图中用点P 表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置．
【思路点拨】（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3），可以建
立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；
（3）根据点P（﹣1，﹣3）可以在直角坐标系中表示出来．
【答案与解析】
解：（1）由题意可得，
（2）由（1）中的平面直角坐标系可得，
校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，﹣2），综合楼的坐标是（﹣5，﹣
3），实验楼的坐标是（﹣4，0）；
（3）在图中用点P 表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置，如下图所示，
【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面
直角坐标系．
例4.如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），
C（2，3）．求这个四边形的面积．
【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，然后利用S 四边形ABCO=S
矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF进行计算．
【答案与解析】
解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，
则E（5，3），
所以S 四边形ABCO=S 矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF
=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2
=
．
【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线
段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．
例5.△ABC 三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．
(1)将△ABC 向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标
分别是什么?
(2)将△ABC 三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连
接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系?
(3)将△ABC 三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连
接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系?
【答案与解析】
解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．
(2)△A2B2C2与△ABC 的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC 向左平移5 个单位得
到．
(3)△A3B3C3与△ABC 的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC 向下移5 个单位得到．
【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在
平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向
下平移；纵坐标增大等价于向上平移．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5 个单位长度，再向上平移3
个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A 的坐标是（ ）
A．（2，5）
B．（﹣8，5）
C．（﹣8，﹣1）
D．（2，﹣1）
【答案】D．
解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5 个单位得（2，2），再把（2，2）向下
平移3 个单位后的坐标为（2，﹣1），则A 点的坐标为（2，﹣1）．
故选：D．
类型四、综合应用
例6. 三角形ABC 三个顶点A、B、C 的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-
3.5）．
（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；
（2）把三角形A1B1C1 向右平移4 个单位，再向下平移3 个单位，恰好得到三角形
ABC，
试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；
（3）求出三角形A1B1C1的面积．
【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C 三点，顺次连接即可．
（2）把三角形A1B1C1 向右平移4 个单位，再向下平移3 个单位，恰好得到三角形
ABC，
即三角形ABC 向上平移3 个单位，向左平移4 个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的
变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点
的坐标，从坐标系中画出图形．
（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．
【答案与解析】
解：（1）如图1，
（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；
（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，
即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．
∴△A1B1C1的面积=3.25．
【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三
角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC 的面积。
举一反三：
【变式】如果矩形ABCD 的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A 和点C
的坐标分别为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为( )．
A．32 B．24 C．6 D．8
【答案】B.
【提升练习】
一、选择题
1．点P（0，3）在（ ）.
A．x 轴的正半轴上 B．x 的负半轴上 C．y 轴的正半轴上 D．y 轴的负半轴上
2．已知△ABC 顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC
平移后顶点A 的对应点A1的坐标是（4，10），则点B 的对应点B1的坐标为（ ）
A．（7，1）B．B（1，7）
C．（1，1）D．（2，1）
3．将某图形的横坐标减去2，纵坐标保持不变,可将图形（ ）.
A．横向向右平移2
个单位
B．横向向左平移2 个单位
C．纵向向右平移2 个单位
D．纵向向左平移2 个单位
4．若点A（a+1，b
2
﹣）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C.第三象限
D. 第四象限
5．点P 的坐标为（3a-2，8-2a），若点P 到两坐标轴的距离相等，则a 的值是
（ ）.
A．
或4 B．-2 或6 C．
或-4 D．2 或-6
6. 如图是被墨迹污染的旅游区各景点地图，隐约可见，第一景点的坐标为（0,3），
第二景点的坐标为（5,3），景区车站坐标为（0,0），则车站大约在（ ）.
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．若点A(m，n)在第二象限，则点B(|m|，-n)在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．点P(m+3，m+1)在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为( )．
A．(0，-2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，-4)
二、填空题
9.如图，若点E 坐标为(－2，1)，点F 坐标为(1，－1)，则点G 的坐标为 ．
10. 点P（－5，4）到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 ．
11. 若点M 在第二象限，到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则M 的坐标是 ．
12.若点（a，b）在第二象限，则点（b，a）在第 象限.
13.将点P（－1，－2）向下平移2 个单位，再向右平移3 个单位，得到P1，则点P1
的坐标是 ．
14.点B 与点C 的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC 与x 轴的关系为 ．
15.在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5 的点有
个．
16.在平面直角坐标系内，已知点A（1-2k，k-2）在第三象限，且k 为整数，则 k 的值
为 ．
三、解答题
17．已知三角形ABC 的两个顶点坐标为A（﹣4，0），B（2，0），如图，且过这两
个点的边上的高为4，第三个顶点的横坐标为﹣1，求顶点C 的坐标及三角形的面积．
G
E
F
18．如图，方格纸中每个小方格都是长为1 个单位的正方形，若学校位置坐标为A
（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC 的面积．
19.已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD 的面积．
20.小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序．
(1)如果用(8，5)表示入口处的位置，(6，1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如
何表示？(4，6)表示哪个地点？
(2)你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗?
(3)请你帮小杰设计一条游玩路线，与同学交流，看谁设计的路线最短?
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】横坐标为0，说明点在y 轴上，又纵坐标大于0，说明点在y 轴的正半轴
上.
2. 【答案】C；
【解析】∵点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），4
0=4
﹣
，10
6=4
﹣
，
∴△ABC 向右平移了4 个单位长度，向上平移了4 个单位长度，
∴点B 的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．
3. 【答案】B.
4. 【答案】A；
【解析】解：由A（a+1，b
2
﹣）在第二象限，得
a+1＜0，b
2
﹣＞0．
解得a＜﹣1，b＞2．
由不等式的性质，得
a
﹣＞1，b+1＞3，
点B（﹣a，b+1）在第一象限，
故选：A．
5. 【答案】D；
【解析】由题意得：
，解得：
或
.
6. 【答案】B；
【解析】根据已知的坐标，可建立平面直角坐标系，如图，由此可得答案.
7. 【答案】D；
【解析】第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，所以m＜0 且n＞0，所以|m|＞
0，-n＜0，点B(|m|，-n)在第四象限，故选D．
8. 【答案】B；
【解析】在x 轴上点的纵坐标为0，所以m+1＝0，可得m＝-1，m+3＝2，所以P 点
的坐标为(2，0)，故选B．
二.填空题
9. 【答案】(1 ，2)；
【解析】由图可知，点G 的横坐标与点F 的横坐标相同，均为1，而纵坐标比点E
的纵坐标大1，所以点点G 的坐标为（1,2）．
10.【答案】4,5.
11.【答案】(－3 ，2).
12．【答案】四；
【解析】由点（a，b）在第二象限，可得a＜0，b＞0，即得点（b，a）的横坐标
大于0，而纵坐标小于0，所以点（b，a）在第四象限．
13.【答案】（2，－4）；
【解析】－1+3＝2，－2－2＝-4.
14.【答案】垂直.
15.【答案】3；
【解析】解：点A 的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等
于5 的点就是以点A 为圆心，以5 为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，
另外与两正半轴有两个交点，共有3 的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5 的
点有3 个．故答案填：3．
16. 【答案】1．
【解析】∵点A（1-2k，k-2）在第三象限，∴1-2k＜0，k-2＜0，解得：0.5＜k
＜2，
又∵k 为整数，∴k=1．
三.解答题
17.【解析】
解：（1）∵AB 边上的高为4，
∴点C 的纵坐标为4 或﹣4，
∵第三个顶点C 的横坐标为﹣1，
∴点C 的坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）；
（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB=2﹣（﹣4）=2+4=6，
∴△ABC 的面积=
×6×4=12．
18.【解析】
解：（1）如下图；
（2）如下图；
（3）S
ABC
△
=3×4﹣×2×1﹣×1×4﹣×3×3=4.5．
19.【解析】
解：过点C 作CF⊥x 轴于点F，过D 作DE⊥x 轴于点E
则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5
∴
．
20. 【解析】
解：（1）（0，7），海底世界；
（2）天文馆离入口最近，攀岩离入口最远；
（3）略．
