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第九章 不等式与不等式（组）
9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等
式.
要点诠释：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解
集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如
，
等；另
一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或
)．
要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的
最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
要点诠释：ax+b＞0 或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是
2
定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大
于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点诠释：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超
过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式
解决问题的关键.
要点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点诠释：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的
解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解
集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由
不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
【典型例题】
类型一、不等式
例1. 判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．
3
（6）若a＞b＞0，则＜．
．
【答案与解析】
解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5 不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c=0 时则 ac2＞bc2错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；
（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等
号方向改变．
例2. 设x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，
则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?
【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
【答案与解析】
解：可利用作差比较法比较大小．
-(8-l0x)-[ -(8-l0y)]
=-8+10x+8-10y
=10x -10y．
∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0
∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．
按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．
∴
．
∴x 的最小正整数值是1．
【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：
①
②
③
举一反三：
【变式】己知：x<0.5，比较2-4x 和18x-9 的大小.
4
【答案】
解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x
而又∵x<0.5，∴-22x>-11
即11-22x>0
∴2-4x>18x-9
类型二、一元一次不等式
例3. 已知关于x 的不等式
的解集是
，求a 的取值范围.
【答案与解析】
解：法一：
，
，
∵它的解集为
，
，
.
法二：
是关于x 方程
的解，
，解得
.
【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解.
举一反三：
【变式1】如果关于ｘ的不等式
正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎
样的值?
【答案】解不等式得：
∵ｋ为正整数且
中的正整数解为1，2，3
∴
∴
．
5
【变式2】如果关于x 的不等式（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，那么a 的取值范围是
．
【答案】解：∵（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1．
类型三、一元一次不等式组
例4. 求不等式组
的整数解.
【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分.
【答案与解析】
解：
解不等式①得：x＜2
解不等式②得：x≥－1
解不等式③得：x＞-2
∴不等式组的解集为－1≤x＜2
故不等式组的整数解为－1，0,1
【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出
符合要求的特殊解．
举一反三：
【变式】若关于不等式组
只有四个整数解，求a 的取值范围.
【答案】
6
解：由
，得
，
由
，得
，
∴不等式组的解集为
，
∵只有四个整数解，∴
，即
，
∴a 的取值范围：
.
例5. 某家电商场计划用32400 元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗
衣机共15 台．三种家电的进价和售价如下表所示：
价格
种类
进价（元/台）
售价（元/台）
电视机
2000
2100
冰 箱
2400
2500
洗衣机
1600
1700
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数
量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，
如果这15 台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?
【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x 台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键
词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x 的取值讨论确定进货方案．(2)
分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴．
【答案与解析】
解：(1)设购进电视机、冰箱各x 台．
依题意，得
解这个不等式组得，6≤x≤7
∵ x 为正整数．∴ x＝6 或7．
方案一：购进电视机和冰箱各6 台，洗衣机3 台；
方案二：购进电视机和冰箱各7 台，洗衣机1 台．
(2)方案1 需补贴：
7
(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)．
方案二需补贴：
(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)．
∴ 国家财政最多需补贴农民4407 元．
【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这
个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．
类型四、综合应用
例6.已知不等式组
的解集为
，试求m，n 的值．
【答案与解析】
解：解不等式
，得
．
解不等式 n-4(x-1)＜1，得
．
因为不等式组的解集为
，
所以有
， ∴
．
答：m、n 的值分别1 和3．
【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根
据题意，建立关于m、n 的方程求解．
例7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B 两类蔬菜，两种
植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：
种植户
种植A 类蔬菜面积(单位：
亩)
种植B 类蔬菜面积(单位：
亩)
总收入(单位：
元)
甲
3
1
12500
乙
2
3
16500
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．
(1)求A、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?
(2)某种植户准备租20 亩地用来种植A、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63000
8
元，且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求
该种植户所有租地方案．
【答案与解析】
解：(1)设A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元．
由题意得：
解得
答：A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3000 元，3500 元．
(2)设用来种植A 类蔬菜的面积a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20-a)亩．
由题意得：
解得：10＜a≤14．
∵ a 取整数为：11、12、13、14．
∴ 租地方案为：
类别
种植面积单位：（亩）
A
11
12
13
14
B
9
8
7
6
【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统
计表，能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键．
举一反三：
【变式】某花农培育甲种花木2 株，乙种花木3 株，共需成本1700 元；培育甲种花木
3 株，乙种花木1 株，共需成本1500 元．
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？
（2）据市场调研，1 株甲种花木售价为760 元， 1 株乙种花木售价为540 元．该花农
决定在成本不超过30000 元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花
木的3 倍还多10 株,那么要使总利润不少于21600 元，花农有哪几种具体的培育方案？
【答案】
解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x 元和y 元．
由题意得：
， 解得：
．
（2）设种植甲种花木为a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株．
9
则有：
解得：
由于a 为整数，∴a 可取18 或19 或20，所以有三种具体方案：
①种植甲种花木18 株，种植乙种花木3a+10=64 株；
②种植甲种花木19 株，种植乙种花木3a+10=67 株；
③种植甲种花木20 株，种植乙种花木3a+10=70 株.
【巩固练习】
一、选择题
1．不等式组
的解集应为（ ）．
A、
B、
C、
D、
或≥1
2．某商场的老板销售一种商品，他要以利润不低于进价20%价格才能出售，但为了获
得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360 元的这种商品，最多
降价多少时商店老板才能出售（ ）．
A．80 元
B．100 元 C．120 元
D．160 元
3．不等式组
的解集是
，则
的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
4．若不等式组
有解，则
的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
5．当1≤x≤2 时，ax+2＞0，则a 的取值范围是（ ）.
A．a＞﹣1
B．a＞﹣2
C．a＞0
D．a＞﹣1 且a≠0
6. 中央电视台2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，
则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ．
A．5 B．4 C．3 D．2
10
7.如图，用两根长度均为Lcm 的绳子，分别围成一个正方形和圆．则围成的正方形和
圆的面积比较（ ）．
A．正方形的面积大 B．圆的面积大 C．一样大 D．根据L 的变化而
变化
8.已知
为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为
的不等式
组是（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．已知关于x 的不等式组
0
x
2
3
0
a
x
＞
＞
的整数解共有4 个，则a 的取值范围为 ．
10．已知方程组
的解满足
，则a 的取值范围 ．
11. 若不等式组
无解，则
的取值范围是 .
12.某种商品的进价为800 元，出售时标价为1200 元，后来由于该商品积压，商店准
备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打 折．
13.已知关于x 的方程3k－5x＝－9 的解是非负数，求k 的取值范围 .
14.如果关于
的不等式组
的正整数解仅为1,2,3，则
的取值范围是
，
的取值范围是 .
15. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收
方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a，b 对应的密文为a-2b，
2a+b．例如，明文1，2 对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7 时，解密得到的明
11
文是 .
16.若不等式组
只有一个整数解，则a 的取值范围
．
三、解答题
17.已知x 满足
，化简|x－3|＋|
2x－1| ．
18.求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0 的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①
或 ②
．
解①得x＞；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0 的解集．
（2）求不等式
≥0 的解集．
12
19.某小区准备新建50 个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1 个地上停车
位和1 个地下停车位共需0.6 万元；新建3 个地上停车位和2 个地下停车位共需1.3 万元.
（1）该小区新建1 个地上停车位和1 个地下停车位各需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12 万元而不超过13 万元，那么共有几种建
造停车位的方案？
20. 今年春季我国西南地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，某县急需饮水设
备12 台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000 元/台，安装及
运输费用为600 元/台；乙种设备的购买费用为3000 元/台，安装及运输费用为800 元/台．
若要求购买的费用不超过40000 元，安装及运输费用不超过9200 元，则可购买甲、乙两种
设备各多少台?
13
答案与解析
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】解第一个不等式得
，解第二个不等式得
，所以不等式组的解集
为
．
2. 【答案】C；
【解析】解：设降价x 元时商店老板才能出售．则可得： 360－x≥
×（1+20%）
解得：x≤120．
3. 【答案】C；
【解析】解第一个不等式得x＞2，由题意可得
≤2，所以
≤1．
14
4. 【答案】A；
【解析】画数轴进行分析．
5. 【答案】A；
【解析】当x=1 时，a+2＞0 解得：a＞﹣2；
当x=2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a 的取值范围为：a＞﹣1．
6. 【答案】A ；
【解析】解：设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z， 根据已知条件，
有
①×2－②×5，得2x＝5y，即与2 个球体质量相等的正方体的个数为5．
7. 【答案】B；
8. 【答案】D；
【解析】由选项及解集可得
一正一负，不防设
正
负代入选项验证．
二．填空题
9.【答案】
2
3
a
；
【解析】解得不等式组的解集为
，要使其中包含4 个整数，所以
2
3
a
．
10.【答案】
；
【解析】方程组
得：
所以
，
∴
解得：－
．
11. 【答案】
；
【解析】要使原不等式无解，则需满足
，得
≥2．
12.【答案】7；
【解析】设至多打x 折
15
则1200×
﹣800≥800×5%，
解得x≥7，即最多可打7 折．
13.【答案】 k≥-3；
【解析】3k-5x=-9，x=
，
解得k≥-3．
14.【答案】
，
；
15．【答案】3，1；
【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a，b 对应的密文为a-2b，2a+b．
故当密文是1，7 时，
得
， 解得
．
也就是说，密文1，7 分别对应明文3，1．
16．【答案】1＜a≤2．
【解析】先把a 看成一个固定数，解关于x 的不等式组，再由不等式组的解集研究a
的取值范围．
三.解答题
17.【解析】
解：原不等式组可化为：
，
即
， ∵35＋36－99＜0，
，
∴
，于是，|x－3|＋|2x－1|＝(3－x)＋(2x－1)＝x＋2．
18.【解析】
解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①
或②
，
解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；
（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得①
，②
，
解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，
故不等式组的解集为：x≥3 或x＜﹣2．
16
19.【解析】
解：（1）设新建1 个地上停车位需要x 万元，新建1 个地下停车位需y 万元，
根据题意，得
，
解得：
答：新建1 个地上停车位需要0.1 万元，新建1 个地下停车位需0.5 万元．
（2）设建m 个地上停车位，则建（50-m）个地下停车位，根据题意，得
12＜0.1m+0.5（50-m）≤13，
解得：30≤m＜
∵m 为整数，
∴m=30，31，32
∴50-m=20,19,18.
答：有三种建造方案：方案一：新建30 个地上停车位和20 个地下停车位；方案二：
新建31 个地上停车位和19 个地下停车位；方案三：新建32 个地上停车位和18 个地下停
车位.
20. 【解析】
解：设购买甲种设备x 台，则购买乙种设备(12-x)台，
购买设备的费用为：4000x+3000(12-x)；
安装及运输费用为：600x+800(12-x)．
由题意得：
．
解之得：2≤x≤4．
∴ 可购甲种设备2 台，乙种设备10 台或购甲种设备3 台，乙种设备9 台，或购甲种
设备4 台，乙种设备8 台．
