文档文本内容
1
第八章 二元一次方程（组）
8.4 实际问题与二元一次方程（组）Ⅲ
【要点梳理】
知识点一、常见的一些等量关系（一）
1. 行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
2．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
.
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×12
1
.
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若
一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、
到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最
佳方案．
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查
求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、行程问题
例1. A、B 两地相距480 千米，一列慢车从A 地开出，一列快车从B 地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3 小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA
方向)而行，那么快车12 小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l 小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．
(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．
“同时开出同向而行”可用下图表示．
3
(2)慢车先开出1 小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示
出来．
【答案与解析】
解：(1)设快车和慢车的速度分别为x 千米/时和y 千米/时．
根据题意，得3
3
480
12
12
480
x
y
x
y
，
解得
100
60
x
y
答：快车和慢车的速度分别为100 千米/时和60 千米/时．
(2)设快车开出x 小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得
5
2 8
x
．
答：快车开出
5
2 8 小时两车相遇．
【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相
遇、追及、相向、同向等关键词．
举一反三：
【变式】两列火车从相距810km 的两城同时出发，出发后10h 相遇；若第一列火车比
第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h 后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
【答案】
解：设这两列火车的速度分别为x km/h，y km/m．
由题意得，
答：这两列火车的速度分别为45 km/h 和 36 km/h．
4
类型二、存贷款问题
例2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两
种贷款，共13 万元，徐先生每年须付利息6075 元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷
款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13 万元；甲种贷款的年利息+乙
种贷款的年利息＝6075 元.
【答案与解析】
解：设甲，乙两种贷款分别是x，y 元，根据题意得：
130000
6%
3.5%
6075
x
y
x
y
解得：
61000
69000
x
y
答：甲，乙两种贷款分别是61000 元和69000 元．
【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.
类型三、数字问题
例3.一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原
来大63，则原来两位数为（ ）
A．92
B．38
C．47
D．29
【思路点拨】设这个两位数十位为x，个位为y，根据个位数字与十位数字之和为
11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，列方程组求解．
【答案】D．
【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，
，
解得：
，
则这个两位数为：29．
故选：D．
【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之
间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个
5
位数字．
举一反三：
【变式】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那
么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）
A．16
B．25
C．52
D．61
【答案】A
解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得
，
解得
．
所以这个两位数是：10×1+6=16．
类型四、方案选择问题
例4.某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3 大箱、2 小箱共92 瓶；5 大箱、3 小箱
共150 瓶．求：
①2 大箱、5 小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48 元、25 元，且两种包装的饮料质量完全相同，
请问购买哪种包装的饮料更合算？
【思路点拨】①设大箱一共有x 瓶，小箱有y 瓶，根据3 大箱、2 小箱共92 瓶；5 大箱、
3 小箱共150 瓶即可列出二元一次方程组求出即可；
②利用①中所求分别求出平均每瓶的价格进而得出答案．
【答案与解析】
解：①设大箱一共有x 瓶，小箱有y 瓶，
根据题意可知3 大箱、2 小箱共92 瓶，
可列式为3x+2y=92，
又知5 大箱、3 小箱共150 瓶，
故可列式为5x+3y=150，
即列方程组为
，
解得：
，
故2 大箱有24×2=48（瓶）、5 小箱有饮料：10×5=50（瓶），
答：2 大箱有48 瓶、5 小箱有饮料50 瓶；
6
②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48 元、25 元，
∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），
小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），
所以买大箱合算．
【总结升华】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题意，
要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
举一反三：
【变式】某高校共有5 个大餐厅和2 个小餐厅，经过测试同时开放1 个大餐厅、2 个小
餐厅，可供1680 名学生就餐；同时开放2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供2280 名学生就餐.
（1）求1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7 个餐厅同时开放，能否供全校的5300 名学生就餐？请说明理由.
【答案】解：(1)设1 个大餐厅可供x 名学生就餐，1 个小餐厅可供y 名学生就餐.则根
据题意可得：
解得：
960
360
x
y
答：1 个大餐厅可供960 名学生就餐，1 个小餐厅可供360 名学生就餐.
2 5 960
2 360
5520
5300
∴能供全校的5300 名学生就餐.
【巩固练习】
一、选择题
1.甲乙两地相距100 千米，一艘轮船往返两地，顺流用4 小时，逆流用5 小时，那么
这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是（ ）
A．24km/h，8km/h
B．22.5km/h，2.5km/h
C．18km/h，24km/h
D．12.5km/h，1.5km/h
2.一个两位数，十位数字比个位数字的2 倍大1，若将这个两位数减去36 恰好等于个
位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）
A．86
B．68
C．97 D．73
3.甲、乙二人按2：5 的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，}所得利润
按投资比例分成．若第一年赢利14000 元，那么甲、乙二人分别应分得（ ）．
7
A．2000 元，5000 元 B．5000 元，2000 元
C．4000 元，10000 元 D．10000 元，4000 元
4．今年哥哥的年龄是妹妹的2 倍，2 年前哥哥的年龄是妹妹的3 倍，求2 年前哥哥和
妹妹的年龄，设2 年前哥哥x 岁，妹妹y 岁，依题意，得到的方程组是（ ）．
A．
2
3(
2),
2
x
y
x
y
B．
2
3(
2),
2
x
y
x
y
C．
2
2(
2),
3
x
y
x
y
D．
2
3(
2),
3
x
y
x
y
5. 爸爸将3000 元工资的40%存到银行，整存整取二年，年利率2.79%，到期后，他可
能取出本金和利息共（ ）元．
A．3000×40%×2.79%
B．3000×40%×2.79%×2
C．3000×40%×2.79%×2+3000
D．3000×40%×2.79%×2+3000×40%
6. 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，
李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分
钟600 米，跑步的平均速度为每分钟200 米，自行车路段和长跑路段共5 千米，用时15 分
钟．设自行车路段的长度为x 米，长跑路段的长度y 米．则方程组正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.甲、乙两人速度之比是2：3，则他们在相同时间内走过的路程之比是
，他们在走相同路程所需时间之比是 ．
8.小张以两种形式储蓄了500 元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率
8
为2.25%，一年后得到利息和为15.6 元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是
元
和
元．
9.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换
了位置，则这个两位数是 ．
10.A、B 两个码头相距140 千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7 小时，逆流用了
10 小时，那么这艘船在静水中的速度和水流速度分别为
千米/时，
千米/时．
11. 小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我
就有10 颗珠子”．小刚却说：“只要把你珠子的1
3 给我，我就有10 颗”，那么小刚的弹
珠颗数是 颗．
12. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1 岁；
你到我这么大时，我已37 岁了”．那么老师现在的年龄是 岁．
三、解答题
13．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对
调，得到新数比原数的2 倍多10．求原来的两位数．
14.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走
60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到
家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
9
15. 某同学在A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身
听和书包单价之和是452 元，且随身听的单价是书包单价的4 倍少8 元．
(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?
(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场
购满100 元返购物券30 元(销售不足100 元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400 元
钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购买吗?若
两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B．
【解析】设这艘轮船在静水中的船速为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时，
10
由题意得，
，
解得：
．
2. 【答案】D；
【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
则
，
解得
．
故选D．
3. 【答案】C；
【解析】
解：设甲、乙可获得利润分别是2x 元、5x 元， 2x+5x=14000，
解得x=2000．
即甲、乙可获得利润分别是4000 元、10000 元．
4. 【答案】C；
5. 【答案】D；
【解析】先求出存款额（即本金），再根据求利息的计算公式，利息=本金×年利率×
时间，求出利息加上本金即可．
6. 【答案】A；
【解析】根据题意可得等量关系：①自行车路段的长度为x 米+长跑路段的长度y 米
=5000 米；②骑自行车所用时间+跑步所用时间=15 分钟，根据等量关系可得方程组.
二、填空题
7. 【答案】2：3，3：2；
【解析】根据路程=速度×时间，得当时间一定时，则路程之比等于速度之比；当
路程一定时，时间之比和速度之比成反比．
8. 【答案】300，200；
【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x 元，第二种为y 元，根据本金×利率=利息及两
种储蓄共500 元，可以列出两个方程，求方程组的解即可．
9.【答案】52．
11
【解析】设个位数上的数字为x，十位数上的数字为y
则x+y=7 ① 10y+x﹣27=10x+y ② 联立①②解得x=2，y=5．
10．【答案】17，3；
【解析】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x 千米/小时，y 千米/小时，
依题意得
，∴
，
答：这艘船在静水中的速度和水流速度分别为17 千米/小时，3 千米/小时．
11.【答案】8；
12.【答案】25；
【解析】本题中明显的等量关系有两个：学生现在的年龄-年龄差=1；老师现在的
年龄+年龄差=37，据此可以设学生和老师现在的年龄分别为x 岁、y 岁，再列方程组求解．
三、解答题
13.【解析】
解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：
8
10
2(10
) 10
x
y
x
y
y
x
解得
6
2
x
y
答：原来的两位数为26．
14.【解析】
解：设平路有xm，下坡路有ym，
根据题意得
，
解得：
，
答：小华家到学校的平路和下坡路各为300m，400m．
15.【解析】
解： (1)设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元，根据题意，得：
12
452
4
8
x
y
y
x
，
解得
92
360
x
y
．
(2)在超市A 购买随身听与书包需花费现金：452×80％＝361.6(元)．因为361.6＜
400，所以可以选择在超市A 购买．
在超市B 可先花费现金360 元购买随身听，再利用得到的90 元的购物券，加上2 元现
金购买书包，总计共花费现金：360+2＝362(元)．因为362＜400，所以也可以选择在超市
B 购买．
因为361.6＜362，所以在超市A 购买更省钱．
