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第八章 二元一次方程（组）
8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把
二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再
求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消
元法，简称代入法．
要点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另
一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求
解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变
形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1 或-1，选系数绝对值较小的方程变
形比较简便．
【典型例题】
类型一、用代入法解二元一次方程组
例1．用代入法解方程组：
的解为
．
【答案与解析】
解：解
，
把②代入①得x+2=12，
∴x=10，
∴
．
故答案为：
．
举一反三：
【变式】若方程y＝1－x 的解也是方程3x＋2y＝5 的解，则x＝____，y＝____.
【答案】3，﹣2.
例2. 用代入法解二元一次方程组：5
2
4
0
5
0
x
y
x
y
①
②
【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方
程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.
【答案与解析】
解：由②得x＝5-y ③
将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，
解得：y＝3，把y＝3 代入③，得x＝5-y＝5-3＝2
所以原方程组的解为
2
3
x
y
．
举一反三：
【变式1】与方程组
2
0
2
0
x
y
x
y
有完全相同的解的是（ ）
A．x+y－2=0
B．x+2y=0
C．(x+y－2)(x+2y)=0
D．
2
2
(
2 )
0
x
y
x
y
【答案】D
【变式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，则 x= ， y= .
【答案】3,2.
类型二、由解确定方程组中的相关量
例3.已知关于x，y 的二元一次方程组
的解互为相反数，求k 的值．
【思路点拨】将x=-y 代入第二个方程，解出y 的值，再代入上面的方程可得k 值.
【答案与解析】
解：
，
将x=-y 代入②得：-y+2y =﹣1，∴y=﹣1，
∴x=1，
将x=1，y=﹣1 代入①得，k=1．
【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程
都成立的未知数的值．
举一反三：
【变式】已知
是二元一次方程组
的解，则m﹣n 的值是 ．
【答案】4
解：把
代入方程得：
，
解得：m=1，n=﹣3，
则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．
例4. 若方程组
ax+by=11
(5-a)x-2by+14=0
的解为
1
4
x
y
，试求a
b
、的值.
【答案与解析】
解：将
1
4
x
y
代入得
a+4b=11
(5-a)-2b
4+14=0
，即a+4b=11
a+8b=19
，
解得a=3
b=2
.
【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a
b
、的方程组，再解关于a
b
、方程组得
a
b
、的值.
【巩固练习】
一、选择题
1．利用代入消元法解方程组
，下列做法正确的是（ ）
A．由①得x=
B．由①得y=
C．由②得y=
D．由②得y=
2．小亮解方程组
的解为
，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了
两个数●和★，则这两个数分别为（ ）
A．4 和6B．6 和4C．2 和8D．8 和﹣2
3．对于方程3x-2y-1＝0，用含y 的代数式表示x，应是（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．已知x+3y＝0，则
的值为（ ）.
A．
B．
C．3 D．-3
5.一副三角板按如图摆放，∠1 的度数比∠2 的度数大50°，若设
，
，则可得到方程组为( ) .
A.
B.
C.
D.
6．已知
是二元一次方程组
的解．则a-b 的值为（ ）.
A．-1 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．解方程组
若用代入法解，最好是对方程________变形，用含
_______的代数式表示________．
8．二元一次方程组
的解是
．
9．方程组
的解满足方程x+y-a＝0，那么a 的值是________．
10.若方程3x-13y＝12 的解也是x-3y＝2 的解，则x＝________，y＝_______．
11.方程组
的解是
．
12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4 倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3 倍，则父
亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．
三、解答题
13．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并
求出原方程组的解．
解方程组
解：由②，得y＝1-6x ③
将③代入②，得6x+(1-6x)＝1（由于x 消元，无法继续）
15．若关于x，y 的二元一次方程组
的解也是二元一次方程2x+3y=6 的解，
求k 的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】解：由①得，2x=6﹣3y，
x=
；
3y=6﹣2x，
y=
；
由②得，5x=2+3y，
x=
，
3y=5x﹣2，
y=
．
故选B．
2.【答案】D．
【解析】∵x=5 是方程组的解，∴2×5﹣y=12，∴y=﹣2，∴2x+y=2×5﹣2=8，
∴●是8，★是﹣2．故选D．
3. 【答案】D；
【解析】移项，得
，系数化1 得
.
4. 【答案】B；
【解析】由x+3y＝0 得3y＝﹣x，代入
.
5. 【答案】D；
6. 【答案】A；
【解析】将
代入
得
，解得
.
二、填空题
7. 【答案】②； x， y；
8. 【答案】
；
【解析】解：
，
把①代入②得：x+2x=3，即x=1，
把x=1 代入①得：y=2，
则方程组的解为
，
故答案为：
9. 【答案】-5；
【解析】由
解得
，代入 x+y-a＝0，得a＝-5.
10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；
【解析】联立方程组
，解得
.
11.【答案】
.
12.【答案】51，15；
【解析】设父亲现在的年龄是
岁，儿子现在的年龄是
．由题意得：
，解得
.
三、解答题
13.【解析】
解： (1)由②得x＝3-3y ③，将③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，将y＝1 代
入③得x＝0，故
．
(2)由①得y＝3-2x ③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，将x＝2 代入③
得y＝-1，故
．
14.【解析】
解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．
由②，得y＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．
解得
，将
代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为
．
15.【解析】
解：由方程组
得：
∵此方程组的解也是方程2x+3y=6 的解
∴2×7k+3×（﹣2k）=6
k= ．
