8.2二元一次方程（组）的解法Ⅰ-代入法（能力提升）-七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(27700939)_初中全科电子版试卷练习试题_数学_7下初中人教版数学练习、试卷

第八章 二元一次方程（组） 8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把 二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再 求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消 元法，简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另 一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求 解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变 形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1或-1，选系数绝对值较小的方程变 形比较简便． 【典型例题】 类型一、用代入法解二元一次方程组 2x3y 7 ① 例1．用代入法解方程组：  3x3y 8 ② 【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中 x的系数较小，所以先把方程① 中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】 73y 解：由①得 x ③ 2 73y 1 将③代入② 3 3y 8，解得y  ． 2 3 1 将y  代入③，得x＝3 3 x3  所以原方程组的解为 ．  1 y    3 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的 解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二 “消”、三“解”、四“代”、五“写”． 举一反三： 【变式】m 取什么数值时，方程组的解 （1）是正数； （2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数； （2）m=-3，-2，0， . 例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时， 就可以运用整体代入法：如解方程组： 解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1． 把x=1代入②得，y=0． 所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组： ．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可． 【答案与解析】 解：由①得，2x﹣y=2③， 把③代入②得，1+2y=9， 解得：y=4， 把y=4代入③得，x=3， 则方程组的解为 【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可 简化计算． 举一反三： 2x3y20,  【变式1】解方程组 2x3y5 2y9.   7 【答案】 2x3y 2 ①  解： 2x3y5 2y 9 ②   7 25 将①代入②： 2y 9， 7 得 y=4， 将y=4代入①：2x－12=2 得 x=7， x7 ∴原方程组的解是 .  y 4 x4y 5 ① （2）  x: y 4:3 ② 解：由②，设x=4k，y=3k 代入①：4k－4·3k=5 4k－12k=5 －8k=55 k  8 5 15 ∴x4k  ，y 3k  ， 2 8  5 x  ∴原方程组的解为 2 .  15 y  8 类型二、方程组解的应用 例3.如果方程组 的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值． 【答案】B． 【解析】 解： ， 由①得y=3-x ③ 将③代入②得：6x=12， 解得：x=2， 将x=2代入②得：10﹣y=9， 解得：y=1， 将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8， 解得：m=2． 【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程 成立的未知数的值． 2x5y 6 ① 3x5y 16 ③ 例4.已知  和方程组  的解相同，求 (2ab)2011 axby 4 ② bxay 8 ④ 的值． 【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是 2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by ＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值． 【答案与解析】 2x5y 6 ① 解：依题意联立方程组  3x5y 16 ③ ①+③得5x＝10，解得x＝2． x2 把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以 ，  y 2 axby 4 2a2b4 又联立方程组 ，则有 ，   bxay 8 2a2b8 a1 解得 ．  b3 所以(2a+b)2011＝-1． 【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中 利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键. 举一反三： 【变式】小明和小文解一个二元一次组 小明正确解得 小文因抄 错了c，解得 已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 【答案】 解：把 代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2， 解得：c=﹣5， 把 与 分别代入ax+by=2，得 ，解得： ， 则a+b+c=2 + ﹣5=3﹣5=﹣2． 【巩固练习】 一、选择题 1．解方程组 的最好方法是（ ）. A．由①得 再代入② B．由②得 再代入① C．由①得 再代入② D．由②得 再代入① 2. 若二元一次方程式组 的解为x=a，y=b，则a+b等于（ ） A． B． C． D． 3．关于x，y的方程 ，k比b大1，且当 时， ，则k，b的值 分别是（ ）. A． ， B．2，1 C．-2，1 D．-1，0 4．已知 和 都是方程y＝ax+b的解，则（ ）. A． B． C． D． 5．如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那 么a的值是（ ）. A．3 B．2 C．7 D．66．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原 路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为 x海里/时，水流速度为y海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）. A． B． C． D． 二、填空题 7．已知 ，用含 的式子表示 ，其结果是_______． 8．若方程组 的解为 ，则点P（a，b）在第 象限． 9．方程组 的解是 ． 10．若 与 是同类项，则x＝ ________，y＝ ________． 11．已知方程组 的解也是方程 的解，则a＝ _____，b＝ ____ ． 12.关于 的二元一次方程组 中， 与方程组的解中的 相等， 则 的值为 . 三、解答题 13．用代入法解方程组： （1） （2）14．研究下列方程组的解的个数： （1） ； （2） ； （3） . 你发现了什么规律？ 15．若方程组 的解是 ，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）． 16.甲、乙两位同学一起解方程组 ，甲正确地解得 ，乙仅因抄 错了题中的c，解得 ，求原方程组中a、b、c的值．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 2.【答案】A． 【解析】把x=a，y=b代入方程组 得： ， 将b= a代入5a-b=5,解得： ，∴a+b= . 3. 【答案】A； 【解析】将 时， 代入 得 ①，再由k比b 大1得 ②，①②联立解得 ， . 4. 【答案】B； 【解析】将 和 分别代入方程 y＝ax+b 得二元一次方程组： ，解得 . 5. 【答案】B； 【解析】由方程组可得 ， 代入方程 ，即可求得 . 6. 【答案】D. 二、填空题 7. 【答案】 ；8.【答案】四. 【解析】将x=2，y=1代入方程组得： ，解得：a=2，b=﹣3， 则P（2，﹣3）在第四象限． 9.【答案】 ； 【解析】解：解方程组 ， 由①得：x=2﹣2y ③， 将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4， 解得：y=0， 将y=0代入①，得：x=2， 故方程组的解为 ， 故答案为： ． 10．【答案】2， -1； 【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案. 11.【答案】3， 1； 【解析】由题意得： ，解得 ，代入 ，得关于a、b 的方程组 ，解得 12. 【答案】 ； 【解析】解：解关于 的方程组得 ，当 时， ；当 时， . 三、解答题 13.【解析】解：（1） 将②代入①得， ，得 ， 将 代入①得， ， 所以原方程组的解是 . （2） 把3x+2y看作整体，直接将①代入②得， ，解得 ， 将 代入①得， 所以原方程组的解是 ． 14.【解析】 解：（1）无解； （2）唯一一组解； （3）无数组解. 规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）； 当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）； 当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时， 方程组无解，如（1）. 15.【答案】 解：将 代入 得 ， 解得： ． ∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b），∴当a= ，b= 时，原式=2b（a+b）=2× =6． 16.【解析】解：把 代入到原方程组中，得 可求得c=﹣5， 乙仅因抄错了c而求得 ，但它仍是方程ax+by=2的解， 所以把 代入到ax+by=2中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1． 把a﹣3b=1与a﹣b=2组成一个二元一次方程组 ， 解得 ． 故a= ，b= ，c=﹣5．