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第八章 二元一次方程（组）
8.6 《二元一次方程组》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用
和
），并且未知数的次数都是1，像这样的
方程叫做二元一次方程.
要点诠释：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
要点诠释：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起
来，即二元一次方程的解通常表示为
的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程
组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组
.
要点诠释：
（1）它的一般形式为
（其中
，
，
，
不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一
次方程组．
（3）符号“
”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应
把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的
某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3 ）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
无解，而方程组
的解有无数个.
要点二、二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
转化
消元
一元一次方程
二元一次方程组
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有
（或
）的代数式表
示
（或），即变成
（或
）的形式；
②将
（或
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去
（或），得到一个关于（或
）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或
）的值；
④把（或
）的值代入
（或
）中，求
（或）的值；
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
要点诠释：
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较
简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整
体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方
程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用
可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0 的数，等式仍然成立”的性质，
将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的
性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的
值；
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
要点诠释：
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用
加减消元法较简单.
要点三、实际问题与二元一次方程组
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查
求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
要点四、三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做三元一次方
程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方
程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
等都是三元一次方程组.
要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程
组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未
知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另
一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去
两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一
个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的
解法．
（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别
代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程
组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未
知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、二元一次方程组的相关概念
例1.在下列方程中，只有一个解的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】选项A、B、D 中，将方程
，两边同乘以3 得
，从而可以
判断A、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D 中两个方程实际是一个二元一
次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C.
【总结升华】在
（其中
，
，
，
均不为零），
（1）当
时，方程组无解；（2）当
，方程组有无数组解；
（3）当
，方程组有唯一解．
举一反三：
【变式1】若关于x、y 的方程
是二元一次方程，则m = ．
【答案】1．
【变式2】已知方程组
有无数多个解，则a、b 的值等于 ．
【答案】a＝﹣3，b＝﹣14．
类型二、二元一次方程组的解法
例2. 解方程组
【答案与解析】
解：由①×9 得：6(x-y)+9y＝45 ③
②×4 得：6(x-y)-10y＝-12 ④
③-④得：19y＝57，
解得y＝3．
把y＝3 代入①，得x＝6．
所以原方程组的解是
．
举一反三：
【变式】(换元思想)解方程组
【答案】
解：设
，
．
则原方程组可化为
，解得
．
所以
即
．
∴
．
例3.小明和小文解一个二元一次组
小明正确解得
小文因抄错了
c，解得
已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．
【答案与解析】
解：把
代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，
解得：c=﹣5，
把
与
分别代入ax+by=2，得
，
解得：
，
则a+b+c=2 + ﹣5=3﹣5=﹣2．
举一反三：
【变式】已知二元一次方程组
的解为
，
，
则
.
【答案】11.
类型三、实际问题与二元一次方程组
例4.用8 块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所
示，求每块地砖的长与宽.
【答案与解析】
解：设每块地砖的长为xcm 与宽为ycm，根据题意得：
，解得：
答：每块地砖长为45cm，宽为15cm
举一反三：
【变式】如图，长方形ABCD 中放置9 个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），
求图中阴影部分的面积.
【答案】
解：设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：
，解得
所以阴影部分的面积为：
.
答：图中阴影部分的面积为82.
例5. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：
甲班分两次共购买苹果70 千克(第二次多于第一次)，共付出189 元，而乙班则一次购
买苹果70 千克。
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
【答案】
解：（1）
（元）
答：乙班比甲班少付出49 元．
（2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果
、
千克，则依据题意得：
①当
，
，则有：
，解得：
，经检验满足题意；
②当
，
，则有：
，解得：
，经检验不满足题意；
③当
，
，则有：
，不满足题意．
答：甲班第一次购买苹果28 千克，第二次购买42 千克．
【变式】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5 人，则有4 人住不下；若每间
宿舍住6 人，则有一间只住4 人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数.
【答案】
解：设该年级有寄宿生x 人，宿舍y 间.
答：该年级寄宿生有94 人，宿舍18 间.
类型四、三元一次方程组
例6.某服装厂专门安排210 名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2 个小袖、1 个
衣身、1 个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10 个，或衣身15 个，或衣领12 个，那
么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
【答案与解析】
解：设应该安排x 名工人缝制衣袖，y 名工人缝制衣身，z 名工人缝制衣领，才能使每
天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有
，
解得
．
故应该安排120 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配
套．
答：应该安排120 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
举一反三：
【变式】解方程组
【答案】
解：各方程去分母，整理得
由①，得
，④
把④分别代入②、③并整理成方程组，得
解这个方程组，得
将
、
值代入④求得
.
所以方程组的解是
【巩固练习】
一、选择题
1．如果方程组
的解与方程组
的解相同，则
的值为（
）.
A.-1 B.2 C.1 D.0
2．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更
多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360 元的这种商品，最多降价
多少时商店老板才能出售（ ）．
A．80 元
B．100 元 C．120 元
D．160 元
3．若5x-6y=0，且xy≠0，则
的值等于（ ）.
A.
B.
C.1 D.-1
4．若方程组
2
3
13,
3
5
30.9
a
b
a
b
的解是
8.3,
1.2,
a
b
则方程组
2(
2)
3(
1)
13,
3(
2)
5(
1)
30.9
x
y
x
y
的解是（ ）．
A．
6.3,
2.2
x
y
B．
8.3,
1.2
x
y
C．
10.3,
2.2
x
y
D．
10.3,
0.2
x
y
5．若下列三个二元一次方程：
，
，
有公共解，那么
的值应是（ ）.
A.-4 B.4 C.3 D.-3
6. 中央电视台2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，
则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ．
A．5 B．4 C．3 D．2
7.利用加减消元法解方程组
，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
8.三元一次方程
的非负整数解的个数有（ ）．
A．20001999 个 B．19992000 个 C．2001000 个 D．2001999 个
二、填空题
9．已知
的解满足
，则
.
10．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3 件、乙2 件，丙1 件共需315 元钱，购甲1 件、
乙2 件、丙3 件共需285 元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．
11.方程|a|+|b|=2 的自然数解是____________ ．
12.某超市在“六一节，大促销”活动中规定：一次购买的商品超过200 元时，就可享
受打折优惠.小红同学准备为班级购买奖品，需买6 本影集和若干支钢笔，已知影集每本
15 元，钢笔每支8 元，她至少买 支钢笔才能享受打折优惠.
13. 若x+y=a，x-y=1 同时成立，且x、y 都是正整数，则a 的值为________.
14．若
，则
____________.
15. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收
方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a，b 对应的密文为a-2b，
2a+b．例如，明文1，2 对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7 时，解密得到的明
文是 .
16. 三个同学对问题“ 若方程组
的解是
，求方程组
的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求
解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组
的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这
个题目的解应该是________．
三、解答题
17.解方程组：
（1）
（2）
（3）
．
18.（湖南湘潭市）下列是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系，
若方程组集合中的方程自左向右依次记作方程组一，方程组二，方程组三，…，方程组
.
，
，
，…，
.
对应方程组的解的集合：
，
，
，…，
.
（1）将方程组一的解填入横线上；
（2）按照方程组和它的解的变化规律，将方程组
和它的解填入横线上；
（3）若方程组
的解是
，求
的值，并判定该方程组是否符合
上述规律.
19.甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡. 如果保持上坡每小时
行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么从甲地到乙地需行51 分，从乙地到甲
地需行53.4 分.求从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程各是多少？
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】把
代入
，得
，①+②得
，
所以
．
2. 【答案】C；
【解析】解：设最多降价x 元时商店老板才能出售．则可得：
×（1+20%）
+x=360
解得：x=120．
3. 【答案】A.
4. 【答案】A；
【解析】由题意可得
，解得
．
5. 【答案】B；
【解析】由方程
与
构成方程组，解得
，
把
代入
，得
.
6. 【答案】A ；
【解析】解：设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z， 根据已知条件，
有
①×2－②×5，得2x＝5y，即与2 个球体质量相等的正方体的个数为5．
7. 【答案】D.
【解析】利用加减消元法解方程组
，要消去x，可以将①×（﹣
5）+②×2．
故选D.
8. 【答案】C；
【解析】当
时，
，
分别取0，1，2，3，…，1999，
对应取
1999，1998，…，0，有2000 组整数解；同理可得当
，有1999 组整数解；当
时，
有1998 组整数解，…，当
时，有1 组整数解．故非负整数解共有：
2000＋1999＋1998＋…＋1＝2001000（个）．
二、填空题
9.【答案】
；
【解析】由
得
，再代入
，
得
，所以
.
10.【答案】150；
【解析】设甲乙丙三种商品的单价分别为
，则
，将两式相加，可得
，所以
．
11.【答案】
.
12.【答案】14；
【解析】设小红买
支钢笔才能享受打折优惠，则：
，
解得
，又
为正整数，
所以
．
13.【答案】a 为大于或等于3 的奇数；
【解析】由
，解得
，又
为正整数，所以a 为大于或等于
3 的奇数．
14.【答案】
；
【解析】通过对原方程组的消元，可分别得出
的关系式．
15．【答案】3，1；
【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a，b 对应的密文为a-2b，2a+b．
故当密文是1，7 时，
得
， 解得
．也就是说，密文1，7 分别对应明文3，1．
16．【答案】
；
【解析】解：由题意得：
①②两边分别乘以5 得：
与原方程组
对比得：
∴ 方程组
的解应该为：
．
三、解答题
17.【解析】
解：（1）
，
由②得：x=2y+4③，
将③代入①得：11y=
11
﹣
，
解得：y=
1
﹣，
将y=
1
﹣代入③得：x=2，
则原方程组的解是
；
（2）
，
×2
②﹣①
得：13y=65，即y=5，
将y=5 代入①得：x=2，
则原方程组的解是
；
（3）
，
将①代入②得：4x
y=5④
﹣
，
将①代入③得：y=3，
将y=3 代入④得：x=2，
将x=2，y=3 代入①得：z=5，
则原方程组的解是
．
18.【解析】
解：（1）
，①＋②得，
，①－②得，
，∴
.
（2）方程组
为
，其解为
.
（3）把
代入
，得
. ∴
.
∴方程组为
，不符合上述规律.
19.【解析】
解：设从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程分别是x 千米，y 千米，z 千米，则
答：从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程分别是1.2 千米，0.6 千米，1.5 千米.
