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第八章 二元一次方程（组）
8.3 二元一次方程（组）的解法Ⅱ——加减法（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或
相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加
减法．
要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么
就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数
的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
要点二、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和
加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【典型例题】
类型一、加减法解二元一次方程组
例1. 用加减消元法解方程组
【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.
【答案与解析】
解：此式可化为：
由(1)：3x+4y=18 (1)
由(2)：6x+5y=27 (2)
(1)×2：6x+8y=36 (3)
(3)－(2)：3y=9
y=3
代入(1)：3x+12=18
3x=6
x=2
∴
【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c 的形式再消元.
举一反三：
【变式】方程组
的解为： .
【答案】
例2.若关于x、y 的二元一次方程组
的解为
，求关于x、y 的方
程组
的解．
【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数
相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x+y，x-y 看作一个整体，则两个方程同解．
【答案与解析】
解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把
(2x+y)与(x-y)分别看成一个整体当作未知数，可得
解得：
【总结升华】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元
法与加减消元法．
举一反三：
【变式】三个同学对问题“若方程组
的解是
，
求方程组
的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件
不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把
第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨
论，你认为这个题目的解应该是： ．
【答案】
解：由方程组
的解是
，得
，
上式可写成
，与
比较，
可得：
．
类型二、用适当方法解二元一次方程组
例3. 解方程组
【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最
简单.
【答案与解析】
解：设
，则
原方程组可化为
解得
即
，所以
解得
所以原方程组的解为
．
【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最
简便的求解方法.
举一反三：
【变式】
【答案】
解：去分母，整理化简得，
，
②×3－①×2 得，
，即
，
将
代入①得，
，即
，
所以原方程组的解为
.
例4. 试求方程组
的解．
【答案与解析】
解：
①－②，整理得
③
∵
，∴13－y≥0，即y≤13，
当
时，③可化为
，解得
；
当
时，③可化为
，无解.
将
代入②，得
，解得
.
综上可得，原方程组的解为：
或
.
【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分
类讨论求出解.
举一反三：
【变式】若二元一次方程组
和y=kx+9 有相同解，求（k+1）2的值．
【答案】
解：方程组
，
×3+
①
②得：11x=22，
解得：x=2，
将x=2 代入①得：6
y=7
﹣
，
解得：y=
1
﹣，
∴方程组的解为
，
将
代入y=kx+9 得：k=
5
﹣，
则当k=
5
﹣时，（k+1）2=16．
【巩固练习】
一、选择题
1．如果x:y＝3:2，并且x+3y＝27，则x 与y 中较小的值是（ ）.
A．3 B．6 C．9 D．12
2．方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知方程组
中，x、y 的值相等，则m 等于（ ）.
A．1 或-1 B．1 C．5 D．-5
4.如果
的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）.
A．a<2； B.
； C.
； D.
5．小明在解关于x、y 的二元一次方程组
时得到了正确结果
．后
来发现
、
处被墨水污损了，请你帮他计算出
、
处的值分别是（ ）.
A．1、1 B．2、1 C．1、2 D．2、2
6. 已知方程组
有无数多个解，则a、b 的值等于（ ）.
A．a=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14
二、填空题
7．若
是二元一次方程，则a＝________，b＝________．
8．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长_____，底边
长___．
9．已知
是关于x、y 的二元一次方程，则m＝_______，n＝
_______；在自然数范围内，该方程的解是________．
10．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y＝________．
11．定义运算“※”，规定x※y=
，其中a，b 为常数，且1
2=5
※
，2
1=6
※
，
则2
3=
※
．
12. 已知方程组
的解满足x+y=3，则k 的值为 ．
三、解答题
13．解下列方程组：
（1）
（2）
14.解关于x、y 的二元一次方程组
时，小虎同学把c 看错而得到
，
而正确的解是
，试求a+b+c 的值．
15．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组
时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采
用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1．③
③×16，得16x+16y＝16 ④，
②－④，得x＝-1，从而y＝2．所以原方程组的解是
．
请你用上述方法解方程组
，
并猜测关于x、y 的方程组
的解是什么？并加以验证．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】
，解得
，所以较小的数为6.
2. 【答案】B．
3. 【答案】B；
【解析】解方程组得解为
，因为x 、y 的值相等，所以
，解得
.
4. 【答案】C；
5. 【答案】B；
【解析】将
代入
得
，解之得
.
6. 【答案】A；
【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例.
二、填空题
7. 【答案】1， 0；
【解析】 由二元一次方程的定义得
，解得
.
8. 【答案】7，4；
【解析】设等腰三角形的底边长为
，则腰长为
，所以
，解得
.
9. 【答案】1， 2，
；
10．【答案】7；
11.【答案】10；
【解析】根据新运算的定义可得，根据题意得：
，解得：
，
则2※3=4+6=10．
12.【答案】8．
【解析】解方程组
，
①﹣②得：x=
2
﹣，
把x=
2
﹣代入②得：﹣2+y=3，解得：y=5
则方程组的解是：
，
代入x+2y=k 得：﹣2+10=k，则k=8.
三、解答题
13.【解析】
解：（1）将“
”看作整体:
由①得
， ③
将③代入②得
，即
， ④
将④代入③，化简得
，即
，
将
代入④得
，
所以原方程组的解为
.
（2）
由①得
， ③
将③代入②，整理得
，解得
，
将
代入③得
，
所以原方程组的解为
.
14.【解析】
解：∵方程组的正确解为
，
∴把
代入方程cx
7y=8
﹣
，可得3c+14=8，解得c=
2
﹣；
把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得
，
解得
3
4
x
y
，
a+b+c=10+11
2=19
∴
﹣
．
15.【解析】
解：
，①－②，得2x+2y＝2，即x+y＝1 ③．
③×2005，得2005x+2005y＝2005 ④．
②－④，得x＝-1，把x＝-1 代入③得y＝2．
所以原方程组的解是
，可以猜测关于x ，y 的方程组
的解是
．
验证如下：将x＝-1，y＝2，代入方程(a+2)x+(a+1)y＝a 中满足方程左、右两边的值
相等，将x＝-1，y＝2，代入方程(b+2)x+(b+1)y＝b 中满足方程左、右两边的值相等，
所以
是方程组
的解．
