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第八章 二元一次方程（组）
8.5 三元一次方程（组）（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程．如 x+y-z＝1，
2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高
次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未
知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以
建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一
元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化
为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的
解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未
知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
例1.下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）．
A． B． C． D．
【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验
证．
【答案】B
【解析】
解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1次，
并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；
故选B．
【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程
化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断．
类型二、三元一次方程组的解法
例2. 若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求 的值．
【思路点拨】根据x：y：z=2：7：5，设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得出方
程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可．
【答案与解析】
解：∵x：y：z=2：7：5，
∴设x=2k，y=7k，z=5k，
代入x﹣2y+3z=6得：2k﹣14k+15k=6，
解得：k=2，
∴x=4，y=14，z=10，
∴ = =0.18．
【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元．
举一反三：
【变式】解方程组
【答案】
解：由①，得3x＝2y，即 ， ④
由②，得5y＝4z，即 ，⑤把④、⑤代入③，得 ．
解得y＝12．⑥
把⑥代入④，得x＝8，把⑥代入⑤，得z＝15．
所以原方程组的解为
例3.已知方程组 的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．
【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程
组，求出x，y，z(含有a的代数式)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z＝-10，可
得关于a的一元一次方程，解这个方程，即可求得a的值．
【答案与解析】
解法一： ②-①，得z-x＝2a ④
③+④，得2z＝6a，z＝3a
把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a．
∴ ．
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得
a-2×2a+3×3a＝-10．
解得 ．
解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a．
即x+y+z=6a ④
④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．
∴ ，
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得
a-2×2a+3×3a＝-10．解得 ．
【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法 2中
的技巧解这类方程组．
举一反三：
【变式】若 ，则x：y：z＝ .
【答案】
类型三、三元一次方程组的应用
例4.小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，
实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙
1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙
各一件共需多少元？
【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x、y的
值；
（2）由题意可以列出相应的不等式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数；
（3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案．
【答案与解析】
解：（1）由题意，得
，
解得
即x的值为1800，y的值为3；
（2）设某营业员当月卖服装m件，由题意得，
1800+3m≥3100，解得， ，
∵m只能为正整数，
∴m最小为434，
即某营业员当月至少要卖434件；
（3）设一件甲为a元，一件乙为b元，一件丙为c元，则
，
将两等式相加得，4a+4b+4c=720，
则a+b+c=180，
即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元．
【总结升华】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不
等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组或不等式．
举一反三：
【变式】有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠
笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、
练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
【答案】B．
解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得 ，
②﹣①得x+y+z=1.05（元）．
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）.A ． B ． C ． D ．
2. 已知方程 ， ， 有公共解，则 的值为（ ）.
A. 3 B.4 C.0 D.-1
3. 若 = = ，且a﹣b+c=12，则2a﹣3b+c等于（ ）
A． B．2 C．4 D．12
4．已知代数式 ，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2
时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （ ）.
A．4 B．8 C．62 D．52
5．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时
租用这三间客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分
别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，
结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .
A．11支 B．9支 C．7支 D．5支
二、填空题
7. 若 是一个三元一次方程，那么 a＝_______，b＝
________．
8．已知 ，则x+2y+z＝________．
9．若x、y的值满足3x﹣y﹣7=0，2x+3y=1，y=kx+7，则k的值等于 ．10．已知 ，则x:y:z＝________．
11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、
乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱．
12. 方程x+2y+3z＝14 (x＜y＜z)的正整数解是 ．
三、解答题
13．解方程组： ．
14. 已知 ，xyz≠0，求 的值．
15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两
队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的 ，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理
由．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
2. 【答案】B；【解析】联立 ， ，可得： ，将其代入
，得 值．
3.【答案】C．
【解析】设 = = =k，则a=2k，b=3k，c=7k，代入方程a﹣b+c=12得：2k﹣
3k+7k=12，
解得：k=2，即a=4，b=6，c=14，则2a﹣3b+c=2×4﹣3×6+14=4．
4. 【答案】D；
【解析】由条件知 ，解得 ．
当x＝3时， ．
5. 【答案】B；
【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
，
解得：y+2z=8，
y=8﹣2z，
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=6，x=1；
当z=2时，y=4，x=2；
当z=3时，y=2，x=3；
当z=4时，y=0，x=4；（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
6. 【答案】D；
【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得①×4-②×5得x-z＝0，所以x＝z，将z＝x代入①，得4x+5y+6x＝60．即y+2x＝
12．
∵ y＞0，∴ x＜6，∴ x为小于6的正整数，∴ 选D.
二、填空题
7. 【答案】-1，0；
【解析】由题意得 ，解得 .
8.【答案】-10；
9.【答案】﹣4．
【解析】由题意可得 ，
①×3+②得11x﹣22=0，
解得x=2，
代入①得y=﹣1，
将x=2，y=﹣1代入③得，
﹣1﹣2k+9=0，
解得k=﹣4．
10．【答案】15:7:6；
【解析】原方程组化为
②－①得2x＝5z， ．故 ．
∴ ．
11.【答案】150；
【解析】设甲种商品的单价为x元，乙种商品的单价为y元，丙种商品的单价为z元，
根据题意可得：
根据三元一次方程组中每一个三元一次方程中系数的特点和所求的结论可将方程①与方程②相加得：4(x+y+z)＝600，∴ x+y+z＝150．
12. 【答案】 ；
【解析】解：x＜y＜z，所以 ， ，所以 ，
同理可得： ，又因为均为正整数，经验证,满足条件的解只有一组，即答案．
三、解答题
13.【解析】
解：①+②得：4x+y=16④，
②×2+③得：3x+5y=29⑤，
④⑤组成方程组
解得
将x=3，y=4代入③得：z=5，
则方程组的解为 ．
14.【解析】
解： ，
整理得 ，
解得x= ，代入 = = = ．
15.【解析】
解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则
，解得 ，∴ ．
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则
，解得 ．
∵ 10a＝8750（元），15b＝8625（元）．
答：由乙队单独完成此工程花钱最少．
