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10.4 三元一次方程组的解法 分层作业
基础训练
1．下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A． +x+y＝6 B．xy+y+z＝6
C．xπ+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为 1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行
判断即可．
【解答】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：﹣x﹣2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握含有 3个未知数，且含有未知数的项的指数为 1的整式
方程，叫做三元一次方程是解答本题的关键．
{
a+b+c=0
)
2．下列四组数值中，（ ）是方程组 2a−b+c=−5 的解．
3a−b−c=−4
{
a=0
)
{a=−1
)
A． b=1 B． b=2
c=−1 c=−1
{a=−1
) {
a=1
)
C． b=1 D． b=−2
c=−2 c=3
【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答
案．
{
a+b+c=0①
)
【解答】解： 2a−b+c=−5②
3a−b−c=−4③
①+③得：4a＝﹣4，
解得：a＝﹣1，
②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，
把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，解得：b＝2，
把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0，
解得：c＝﹣1，
{a=−1
)
故原方程组的解为 b=2 ，
c=−1
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键．
{
x+ y=3
)
3．已知方程组 y+z=−6 ，则x+y+z的值是（ ）
z+x=9
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．
{
x+ y=3①
)
【解答】解： y+z=−6② ，
z+x=9③
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
{2a+b−3c=19
)
4．三元一次方程组 4a+2b+c=3 消去未知数c后，所得二元一次方程组是（ ）
a−b+c=0
{5a−2b=19) {2a+b=4)
A． B．
a+b=1 3a+b=3
{ a+b=1 ) { 3a+b=3 )
C． D．
3a−2b=19 5a−2b=19
{5a−2b=19)
【分析】先消去未知数c可得 ，从而可得答案．
a+b=1
{2a+b−3c=19①
)
【解答】解： 4a+2b+c② ，
a−b+c=0③
②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1，
③×3+①得：5a﹣2b＝19，{5a−2b=19)
∴ ，
a+b=1
故选：A．
【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键．
{a+b=3
)
5．若方程组 b+c=2 的解满足k＝a+b+c，则点P（k+2，1﹣2k）在第 四 象限．
c+a=1
【分析】将方程组中的三个方程相加后求得k的值，再将其代入k+2，1﹣2k中计算，最后根据各象限
内点的坐标特征即可求得答案．
{a+b=3
)
【解答】解：∵若方程组 b+c=2 的解满足k＝a+b+c，
c+a=1
∴将方程组中的三个方程相加可得2a+2b+2c＝6，
∴k＝a+b+c＝3，
∴k+2＝5，1﹣2k＝﹣5，
则P（5，﹣5）在第四象限，
故答案为：四．
【点评】本题考查解三元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标，结合已知条件求得 k的值是
解题的关键．
6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，
共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 6 元．
【分析】设购甲、乙、丙三种货物各 1件，分别需要x元，y元，z元，根据题意列出三元一次方程
组，再利用加减法求出x+y+z的值即可．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，
{3x+7 y+z=20①)
根据题意，得 ，
4x+10 y+z=27②
①×3﹣②×2得3（3x+7y+z）﹣2（4x+10y+z）＝20×3﹣27×2，
整理，得x+y+z＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
{2x+3 y+z=6①
) {
x−y+z=0①
)
7．解方程组：（1） x−y+2z=−1② ． （2） 4x+2y+z=3② ．
x+2y−z=5③ 25x+5 y+z=60③
【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．{2x+3 y+z=6①
)
【解答】解：（1） x−y+2z=−1②
x+2y−z=5③
③+①得，3x+5y＝11④，
③×2+②得，3x+3y＝9⑤，
④﹣⑤得2y＝2，y＝1，
将y＝1代入⑤得，3x＝6，
x＝2，
将x＝2，y＝1代入①得，z＝6﹣2×2﹣3×1＝﹣1，
{
x=2
)
∴方程组的解为 y=1 ．
z=−1
{
x−y+z=0①
)
（2） 4x+2y+z=3② ，
25x+5 y+z=60③
②﹣①得：3x+3y＝3，
即x+y＝1④，
③﹣①得：24x+6y＝60，
即4x+y＝10⑤，
⑤﹣④得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入④得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝3，y＝﹣2代入①得：3﹣（﹣2）+z＝0，
解得：z＝﹣5，
{
x=3
)
∴原方程组的解为： y=−2 ．
z=−5
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
8．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．
【分析】根据已知条件列出关于a，b，c的方程组，然后利用加减和代入消元法解方程组即可．
【解答】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴a+b+c＝30，{
a+b+c=30①
)
∴ a+2b−c=13② ，
2a=c+3③
①+②得：2a+3b＝43④，
把③代入④得：c+3b＝40⑤，
①﹣②得：﹣b+2c＝17⑥，
⑥×3得：﹣3b+6c＝51⑦，
⑤+⑦得：c＝13，
把c＝13代入③得：a＝8，
把a＝8，c＝13代入①得：b＝9，
{a=8
)
∴方程组的解为： b=9 ，
c=13
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减和代入消元法解三元一次
方程组．
9．已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，再求解；
（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．
{
a−b+c=0
)
【解答】解：（1）由题意得： a+b+c=−4 ，
4a+2b+c=3
{
a=3
)
解得： b=−2 ，
c=−5
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）当x＝﹣3时，y＝9×3+3×2﹣5＝28．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握消元思想是解题的关键．
能力提升
2x+ y+z
10．已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 = ﹣ 4 ．
2x−y+z【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数 系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相
减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
2x+ y+z −4z−5z+z −8z
∴ = = =−4．
2x−y+z −4z+5z+z 2z
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．
11．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小 99，且各位数字
之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百
位数是百位数字的 100 倍，十位数是十位数字的 10 倍，个位数就是个位数字列出方程组
{100x+10 y+z−(100z+10 y+x)=99
)
x+ y+z=14
x+z= y
通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
【解答】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．
{100x+10 y+z−(100z+10 y+x)=99 ①
)
由题意列方程组
x+ y+z=14 ②
x+z= y ③
②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7，
由①得x﹣z＝1⑤，
将y＝7代入③得 x+z＝7⑥，
⑤+⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3，
答：这个三位数是473．
【点评】解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方程组，用代入
消元法或加减消元法求出方程组的解．拔高拓展
12．【数学问题】解方程组{ x+ y=2 )．
5x−2(x+ y)=6
【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可
以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
{
a+b=3
)
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 5a+3c=1 ．
a+b+c=0
【分析】（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值；
（2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b
的值，即可．
【解答】解：（1）按照小明的思路，完成解方程组的过程如下：
{ x+ y=2① )，
5x−2(x+ y)=6②
把①代入②，得5x﹣2×2＝6，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝2，
∴y＝0，
{x=2)
∴ ；
y=0
{
a+b=3①
)
（2） 5a+3c=1② ，
a+b+c=0③
把①代入③得：3+c＝0，
∴c＝﹣3，
把c＝﹣3代入②得：5a﹣9＝1，
∴a＝2，
把a＝2代入①得：2+b＝3，
∴b＝1，{
a=2
)
∴ b=1 ．
c=−3
【点评】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，正确进行计算是解题关键．
