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第八章 二元一次方程（组）
8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把
二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再
求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消
元法，简称代入法．
要点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另
一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求
解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变
形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1 或-1，选系数绝对值较小的方程变
形比较简便．
【典型例题】
类型一、用代入法解二元一次方程组
例1．用代入法解方程组：2
3
7
3
3
8
x
y
x
y
①
②
【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①
中x 用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．
【答案与解析】
解：由①得
7
3
2
y
x
③
将③代入②
7
3
3
3
8
2
y
y
，解得
1
3
y
．
将
1
3
y
代入③，得x＝3
所以原方程组的解为
3
1
3
x
y
．
【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的
解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二
“消”、三“解”、四“代”、五“写”．
举一反三：
【变式】m 取什么数值时，方程组的解
（1）是正数；
（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.
【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；
（2）m=-3，-2，0，
.
例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，
就可以运用整体代入法：如解方程组：
解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．
把x=1 代入②得，y=0．
所以方程组的解为
请用同样的方法解方程组：
．
【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．
【答案与解析】
解：由①得，2x﹣y=2③，
把③代入②得，1+2y=9，
解得：y=4，
把y=4 代入③得，x=3，
则方程组的解为
【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可
简化计算．
举一反三：
【变式1】解方程组
2
3
2
0,
2
3
5
2y
9.
7
x
y
x
y
【答案】
解：
2
3
2
2
3
5
2
9
7
x
y
x
y
y
①
②
将①代入②：2
5
2
9
7
y
，
得 y=4，
将y=4 代入①：2x－12=2
得 x=7，
∴原方程组的解是
7
4
x
y
.
（2）
4
5
:
4:3
x
y
x y
①
②
解：由②，设x=4k ，y=3k
代入①：4k －4·3k =5
4k －12k =5
－8k =5
5
8
k
∴
5
4
2
x
k
，
15
3
8
y
k
，
∴原方程组的解为
5
2
15
8
x
y
.
类型二、方程组解的应用
例3.如果方程组
的解是方程3x+my=8 的一个解，则m=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路点拨】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入已知方程即可求出m 的值．
【答案】B．
【解析】
解：
，
由①得y=3-x ③
将③代入②得：6x=12，
解得：x=2，
将x=2 代入②得：10﹣y=9，
解得：y=1，
将x=2，y=1 代入3x+my=8 中得：6+m=8，
解得：m=2．
【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程
成立的未知数的值．
例4.已知2
5
6
4
x
y
ax
by
①
②
和方程组3
5
16
8
x
y
bx
ay
③
④
的解相同，求
2011
(2
)
a
b
的值．
【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6 和3x-5y＝16 的解．由于
这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y 的值．再将x、y 的值代入ax-by
＝-4，bx+ay＝-8 中建立关于a、b 的方程组即可求出a、b 的值．
【答案与解析】
解：依题意联立方程组2
5
6
3
5
16
①
x
y
x
y
③
①+③得5x＝10，解得x＝2．
把x＝2 代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以
2
2
x
y
，
又联立方程组
4
8
ax
by
bx
ay
，则有2
2
4
2
2
8
a
b
a
b
，
解得
1
3
a
b
．
所以(2a+b)2011＝-1．
【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中
利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.
举一反三：
【变式】小明和小文解一个二元一次组
小明正确解得
小文因抄
错了c，解得
已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．
【答案】
解：把
代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，
解得：c=﹣5，
把
与
分别代入ax+by=2，得
，
解得：
，
则a+b+c=2 + ﹣5=3﹣5=﹣2．
【巩固练习】
一、选择题
1．解方程组
的最好方法是（ ）.
A．由①得
再代入② B．由②得
再代入①
C．由①得
再代入② D．由②得
再代入①
2. 若二元一次方程式组
的解为x=a，y=b，则a+b 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．关于x，y 的方程
，k 比b 大1，且当
时，
，则k，b 的值
分别是（ ）.
A．
，
B．2，1 C．-2，1 D．-1，0
4．已知
和
都是方程y＝ax+b 的解，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．如果二元一次方程组
的解是二元一次方程3x-5y-30＝0 的一个解，那
么a 的值是（ ）.
A．3 B．2 C．7 D．6
6．一艘缉毒艇去距90 海里的地方执行任务，去时顺水用了3 小时，任务完成后按原
路返回，逆水用了3.6 小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为
x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．已知
，用含
的式子表示
，其结果是_______．
8．若方程组
的解为
，则点P（a，b）在第 象限．
9．方程组
的解是
．
10．若
与
是同类项，则x＝ ________，y＝ ________．
11．已知方程组
的解也是方程
的解，则a＝ _____，b＝
____ ．
12.关于
的二元一次方程组
中，
与方程组的解中的
相等，
则
的值为 .
三、解答题
13．用代入法解方程组：
（1）
（2）
14．研究下列方程组的解的个数：
（1）
； （2）
； （3）
.
你发现了什么规律？
15．若方程组
的解是
，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）．
16.甲、乙两位同学一起解方程组
，甲正确地解得
，乙仅因抄
错了题中的c，解得
，求原方程组中a、b、c 的值．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
2.【答案】A．
【解析】把x=a，y=b 代入方程组
得：
，
将b=
a 代入5a-b=5,解得：
，∴a+b=
.
3. 【答案】A；
【解析】将
时，
代入
得
①，再由k 比b
大1 得
②，①②联立解得
，
.
4. 【答案】B；
【解析】将
和
分别代入方程y ＝ax+b 得二元一次方程组：
，解得
.
5. 【答案】B；
【解析】由方程组可得
，
代入方程
，即可求得
.
6. 【答案】D.
二、填空题
7. 【答案】
；
8.【答案】四.
【解析】将x=2，y=1 代入方程组得：
，解得：a=2，b=﹣3，
则P（2，﹣3）在第四象限．
9.【答案】
；
【解析】解：解方程组
，
由①得：x=2﹣2y ③，
将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4，
解得：y=0，
将y=0 代入①，得：x=2，
故方程组的解为
，
故答案为：
．
10．【答案】2， -1；
【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案.
11.【答案】3， 1；
【解析】由题意得：
，解得
，代入
，得关于a、b
的方程组
，解得
12. 【答案】
；
【解析】解：解关于
的方程组得
，当
时，
；当
时，
.
三、解答题
13.【解析】
解：（1）
将②代入①得，
，得
，
将
代入①得，
，
所以原方程组的解是
.
（2）
把3x+2y 看作整体，直接将①代入②得，
，解得
，
将
代入①得，
所以原方程组的解是
．
14.【解析】
解：（1）无解； （2）唯一一组解； （3）无数组解.
规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）；
当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）；
当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，
方程组无解，如（1）.
15.【答案】
解：将
代入
得
，
解得：
．
∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b），
∴当a= ，b= 时，原式=2b（a+b）=2×
=6．
16.【解析】解：把
代入到原方程组中，得
可求得c=﹣5，
乙仅因抄错了c 而求得
，但它仍是方程ax+by=2 的解，
所以把
代入到ax+by=2 中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1．
把a﹣3b=1 与a﹣b=2 组成一个二元一次方程组
，
解得
．
故a=
，b=
，c=﹣5．
