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第九章 不等式与不等式（组）
9.3 实际问题与一元一次不等式（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
=
100%
利润
利润率进价
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3
2
10
10
10
abcd
a
b
c
d
.
要点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几
个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关
键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文
字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示
不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11 辆
B 型车 ”．这一点应十分注意．
【典型例题】
类型一、行程问题
例1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点
火的战士在施工时能跑到100m 以外（包括100m）的安全地区，导火索至少需要多长？
【思路点拨】设导火索要xcm 长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度
是5m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区，可列不等式
求解．
【答案与解析】
解：设导火索要xcm 长，根据题意得：
100
0.8
5
x ≥
解得：
16
x
答：导火索至少要16cm 长．
【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m 的安全距
离作为不等量关系列不等式求解．
类型二、工程问题
例2.一个工程队规定要在6 天内完成300 土方的工程，第一天完成了60 土方，现在要
比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？
【思路点拨】假设以后几天平均每天完成x 土方，一个工程队规定要在6 天内完成300
土方的工程，第一天完成了60 土方，那么该土方工程还剩300-60=240 土方，现在要比原
计划至少提前两天完成任务，说明至多4 天完成任务，用去一天，还剩4-1=3（天）则列
不等式240
3
x ≤ 解得x 即可知以后平均每天至少完成多少土方．
【答案与解析】
解：设以后几天平均每天完成x 土方．由题意得：
300
60
6
2 1
x
≤
解得： x≥80
答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80 土方．
【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为
基准列不等式．
举一反三：
【变式】某人计划20 天内至少加工400 个零件，前5 天平均每天加工了33 个零件，
此后，该工人平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内完成任务？
【答案】解：设以后平均每天加工x 个零件，
由题意的：5×33+（20﹣5）x≥400，
解得：x≥
．
∵x 为正整数，
∴x 取16．
答：该工人以后平均每天至少加工16 个零件．
类型三、利润问题
例3.水果店进了某种水果1t，进价是7 元/kg．售价定为10 元/kg，销售一半以后，
为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000 元，那么余下的水果至少可以
按原定价的几折出售？
【答案与解析】
解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售,根据题意得：
1t＝1000kg
1000
1000
(10
7)
(10
7)
2000
10
2
2
x
≥
解得：
8
x≥
答：余下的水果至少可以按原定价的8 折出售．
【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式．
举一反三：
【变式】某商品的进价为1000 元，售价为2000 元，由于销售状况不好，商店决定打
折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折．
【答案】六.
类型四、方案选择
例4.某体育用品专卖店销售7 个篮球和9 个排球的总利润为355 元，销售10 个篮球和
20 个排球的总利润为650 元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200 元，每个排球的进价为160 元，若该专卖店计划用不
超过17400 元购进篮球和排球共100 个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为
专卖店设计符合要求的进货方案．
【思路点拨】（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，根据题意得
到方程组；即可解得结果；
（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【答案与解析】
解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，
根据题意得：
，
解得：
，
答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25 元，20 元；
（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m）个，
根据题意得：
，
解得：
≤m≤35，
∴m=34 或m=35，
∴购进篮球34 个排球66 个，或购进篮球35 个排球65 个两种购买方案．
【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量
关系是解题的关键．
【巩固练习】
一、选择题
1．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400 米以外的安全区域．
甲工人在转移过程中，前40 米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01
米/秒，步行的速度为1 米/秒，骑车的速度为4 米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线
的长要大于（ ）米．
A．1
B．1.2
C．1.3
D．1.5
2. 哥哥今年5 岁，弟弟今年3 岁，以下说法正确的为（ ）
A．比弟弟大的人一定比哥哥大
B．比哥哥小的人一定比弟弟小
C．比哥哥大的人可能比弟弟小
D．比弟弟小的人绝不会比哥哥大
3.小红和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg，爸爸坐在跷跷板的一
端，体重只有妈妈一半的小红和妈妈坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那一端仍然着地，小
红的体重应小于( )
A．49kg B．50kg C．24kg D．25kg
4．某商品进价为800 元，售价为1200 元，由于受市场供求关系的影响，现准备打折
销售，但要求利润率
100%
售价
进价
利润率
进价
不低于5%，则至少可打( )
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
5．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，结果如图所示，
那么这三种物体的质量按从大到小的顺序排列应为( )
A． ■、●、▲ B． ■、▲、● C． ▲、●、■ D． ▲、■、●
6．现有若干本连环画册分给小朋友，如果每人分8 本，那么不够分，现在每人分7 本，
还多10 本，则小朋友人数最少有 ( )
A.7 人 B. 8 人 C. 10 人 D.11 人
二、填空题
7．当x_______时，代数式-3x+5 的值是正数；当x_______时，它的值不大于4；
当x______时，它的值不小于2．
8．一家商店计划出售60 件衬衫，要使销售总额不低于5100 元，则每件衬衫的售价至
少应为_______元．
9．有10 名菜农，每名可种茄子3 亩或辣椒2 亩，已知茄子每亩的收入是0.5 万元，
辣椒每亩的收入是0.8 万元，要使总收入不低于15.6 万元，则最多只能安排________名菜
农种茄子．
10．用一根长不足160 cm 的铁丝围成一个宽是x cm，长是宽的2 倍的长方形，则可列
不等式_______．
11.某种品牌的电脑的进价为5000 元，按物价局定价的9 折销售时，利润不低于700
元，则此电脑的定价最少为___________元．
12．一个工程队规定在6 天内完成300 千米的修路工程，第一天完成了60 千米，现在
接到任务要比原计划至少提前2 填完成任务，以后几天平均每天至少完成
千米．
三、解答题
13．某工人计划在15 天里加工408 个零件，前三天每天加工24 个，问以后每天至少
加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？
14．某种飞机进行飞行训练，飞出去的速度为1200km/h，飞回机场的速度为
1500km/h，飞机油箱中的燃油只能保持2.5h 的飞行，则飞机最多飞出多少千米就应返回？
(结果精确到10km)
15．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200 元或超过200 元就可享受打折
优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6 本影集和若干支钢笔．已知影集每本15 元，钢笔
每支8 元，问他至少买多少支钢笔才能打折?
16.沃尔玛超市销售每台进价为320 元和250 元的A、B 两种型号的电器，下表是两天
的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B 两种型号的电器的销售单价；
（2）若超市准备用不多于8200 元的金额再采购这两种型号的电器共30 台，求A 种型
号的电器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30 台电器能否实现利润至少为2100 元的目标？
请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
答案与解析
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】解：设导火线的长度为x 米，
由题意得，
＞
+
，
解得：x＞1.3．
故选C．
2. 【答案】D；
3. 【答案】D ；
【解析】解：设小红的体重为xkg，由题意可得：
2
150
(
2 )
x
x
x
x
，解得：
25
x
．
4. 【答案】B；
【解析】解：设打x 折，由题意得：1200
800
10
5%
800
x
≥
，解得x≥7，所以至
少应打7 折.
5. 【答案】B；
【解析】由图可得： 2■＞■+▲ ①，●+▲＝3● ②，由①②得■＞▲，2●＝
▲，
所以可得：■＞▲＞●．
6. 【答案】D；
【解析】设小朋友人数为x 人，可得：8
7
10
x
x
，解得：
10
x
，所以小朋友
至少为11 人．
二、填空题
7.【答案】
5
3
，≥1
3 ，≤1；
【解析】 由
5
3
5
0,
3
x
x
得
；由3
5
x
≤4 得x ≥1
3 ；由3
5
x
≥2 得x ≤1．
8.【答案】85；
【解析】设售价为x 元，则60x ≥5100 得x ≥85．
9.【答案】4；
【解析】设最多只能安排x 名菜农种茄子，则有(10-x)人种辣椒，那么种茄子的收
入为3×0.5x 万元，种辣椒的收入为2×0.8×(10-x) 万元，那么总收入为
3×0.5x+2×0.8(10-x)万元．根据题意：3×0.5x+2×0.8(10-x)≥15.6，解得x≤4，故最
多安排4 名菜农种茄子
10．【答案】x+2x＜80；
11.【答案】6334；
【解析】设定价为x 元，则0.9
5000
x
≥700，解得x ≥
1
63333
．
12.【答案】80；
【解析】解：设以后几天平均每天完成x 千米，由题意得：
60+（6﹣1﹣2）x≥300，
解得：x≥80，
故以后几天平均每天至少完成80 千米，
故答案为：80．
三、解答题
13.【解析】
解：设三天后每天加工x 个零件，根据题意得:
24×3+(15-3)x＞408，
解得 x＞28．
因为x 为正整数，
所以以后每天加工的零件数至少为29 个．
14.【解析】
解：设飞机最多飞出x 千米就应返回，则:
2.5
1200
1500
x
x
．
解得x＜
2
1666 3
．
∴x 取1660．
∴飞机最多飞出1660 千米就应返回．
15.【解析】
解：设该同学买x 支钢笔，根据题题意，得:
15×6+8x≥200，
解得 x ≥
3
13 4 ．
故该同学至少要买14 支钢笔才能打折．
16.【解析】
解：（1）设A、B 两种型号电器的销售单价分别为x 元和y 元，
由题意，得：2x+3y=1700，
3x+y=1500，
解得x=400 元，y=300 元，
∴A、B 两种型号电器的销售单价分别为400 元和300 元；
（2）设采购A 种型号电器a 台，则采购B 种型号电器（30﹣a）台，
依题意，得320a+250（30﹣a）≤8200，
解得a≤10，a 取最大值为10，
∴超市最多采购A 种型号电器10 台时，采购金额不多于8200 元；
（3）依题意，得
（400﹣320）a+（300﹣250）（30﹣a）≥2100，
解得 a≥20，
∵a 的最大值为10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润至少为2100 元的目标．
