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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3 分，共30 分）
1．下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=
B．y=﹣
（m 不等于0）
C．y=
D．y=
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+
=0 B．2x
3y
﹣
+1=0
C．（x
3
﹣）（x
2
﹣）=x2 D．（3x
1
﹣）（3x+1）=3
3．三角形两边的长分别是8 和6，第三边的长是一元二次方程x2
16x
﹣
+60=0 的一个实数根，
则该三角形的面积是
（ ）
A．24
B．24 或8
C．48 或16
D．8
4．若
，则
等于（ ）
A．8 B．9 C．10
D．11
5．如图，D、E 分别是AB、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O，下列条件中不能使△ABE 和
△ACD 相似的是（ ）
A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEBC．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB
6．下列等式成立的是（ ）
A．sin 45°+cos45°=1
B．2tan30°=tan60°
C．2sin60°=tan45° D．sin230°=
cos60°
7．在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=
，则tanB 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．把中考体检调查学生的身高作为样本，样本数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为
0.28，于是可估计2 000 名体检中学生中，身高在1.6～2.0 米之间的学生有（ ）
A．56
B．560
C．80
D．150
9．为了解自己家的用电情况，李明在6 月初连续几天同一时刻观察电表显示的情况记录如
下：
日期
1 号
2
号
3
号
4
号
5 号
6
号
7 号
8 号
电表显示（千瓦时）
117
120
124
129
135
138
142
145
按照这种用法，李明家6 月份的用电量约为（ ）
A．105 千瓦时
B．115 千瓦时C．120 千瓦时D．95 千瓦时
10．已知一次函数y=kx+b 的图象如图，那么正比例函数y=kx 和反比例函数y=
在同一坐标
系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（毎题3 分，共24 分）
11．点P（2m
3
﹣，1）在反比例函数
的图象上，则m=______．
12．已知一个函数的图象与y=
的图象关于y 轴成轴对称，则该函数的解析式为______．
13．若关于x 的一元二次方程x2
3x
﹣
+c=0 有一个根是2，则另一根是______．
14．如果方程x2+2x+m=0 有两个同号的实数根，m 的取值范围是______．
15．已知线段a=3cm，b=6cm，c=5cm，且a，b，d，c 成比例线段，则d=______cm．
16．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）
的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=
，则此三角形移动的距离AA′=______．
17．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园
环境．预计花园每平方米造价为30 元，学校建这个花园需要投资______元．（精确到1 元）
18．如图，条形统计图是从曙光中学800 名学生中帮助失学儿童捐款金额的部分抽样调查数
据，扇形图统计图是该校各年级人数比例分布图．那么该校七年级同学捐款的总数大约为
______元．
三、解答题（每题8 分，共24 分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）4（x
3
﹣）2
25=0
﹣
（2）2x2+7x
4=0
﹣
．
20．已知反比例函数y=
（k 为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k 的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．
21．计算下列各题：
（1）tan45°
sin60°•cos30°
﹣
；
（2）
sin230°+sin45°•tan30°．
四、应用题（每题8 分，共24 分）
22．关于x 的一元二次方程x2
3x
k=0
﹣
﹣
有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．
23．如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
24．如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点）20 米的A 点，沿
OA 所在的直线行走14 米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少
米？
五、综合题（共18 分）
25．马航MH370 失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B 同时收到有
关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.50°方向上，在救助船B 的西北
方向上，船B 在船A 正东方向140 海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，
tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P 到A、B 两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B 分别以40 海里/时，30 海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，
试通过计算判断哪艘船先到达P 处．
26．如图，已知反比例函数y= （x＞0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m
＞1，AM⊥x 轴，垂足为M，BN⊥y 轴，垂足为N，AM 与BN 的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB 与△NOM 的相似比为2，求出B 点的坐标及AB 所在直线的解析式．
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3 分，共30 分）
1．下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=
B．y=﹣
（m 不等于0）
C．y=
D．y=
【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是
（k≠0），即可判定各函数的类
型是否符合题意．
【解答】解：A、符合反比例函数的定义，y 是x 的反比例函数，错误；
B、符合反比例函数的定义，y 是x 的反比例函数，错误；
C、y 与x
1
﹣成正比例，y 不是x 的反比例函数，正确；
D、符合反比例函数的定义，y 是x 的反比例函数，错误．
故选C．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+
=0 B．2x
3y
﹣
+1=0
C．（x
3
﹣）（x
2
﹣）=x2 D．（3x
1
﹣）（3x+1）=3
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程．一元二
次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【解答】解：A、3x2+
=0 是分式方程，故此选项错误；
B、2x
3y
﹣
+1=0 为二元一次方程，故此选项错误；
C、（x
3
﹣）（x
2
﹣）=x2是一元一次方程，故此选项错误；
D、（3x
1
﹣）（3x+1）=3 是一元二次方程，故此选项正确．
故选D．
3．三角形两边的长分别是8 和6，第三边的长是一元二次方程x2
16x
﹣
+60=0 的一个实数根，
则该三角形的面积是
（ ）
A．24
B．24 或8
C．48 或16
D．8
【考点】解一元二次方程-因式分解法；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】由x2
16x
﹣
+60=0，可利用因式分解法求得x 的值，然后分别从x=6 时，是等腰三角形；
与x=10 时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵x2
16x
﹣
+60=0，
∴（x
6
﹣）（x
10
﹣
）=0，
解得：x1=6，x2=10，
当x=6 时，则三角形是等腰三角形，如图①，AB=AC=6，BC=8，AD 是高，
∴BD=4，AD=
=2
，
∴S△ABC=
BC•AD=
×8×2
=8
；
当x=10 时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，
S△ABC=
BC•AC=
×8×6=24．
∴该三角形的面积是：24 或8
．
故选：B．
4．若
，则
等于（ ）
A．8 B．9 C．10
D．11
【考点】比例的性质．
【分析】设
=k，得出a=2k，b=3k，c=4k，代入求出即可．
【解答】解：设
=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
即
=
=
=10，
故选C．
5．如图，D、E 分别是AB、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O，下列条件中不能使△ABE 和
△ACD 相似的是（ ）
A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEBC．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵∠A=∠A
∴当∠B=∠C 或∠ADC=∠AEB 或AD：AC=AE：AB 时，△ABE 和△ACD 相似．
故选C．
6．下列等式成立的是（ ）
A．sin 45°+cos45°=1
B．2tan30°=tan60°
C．2sin60°=tan45° D．sin230°=
cos60°
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值，分别计算即可判断．
【解答】解：A、因为sin45°+cos45°=
+
=
．故错误．
B、因为2tan30°=
，tan60°=
，所以2tan30°≠tan60°，故错误．
C、因为2sin60°=
，tan45°=1，所以2sin60°≠tan45°故错误，
D、因为sin230°=
，
cos60°=
，所以sin230°=
cos60°，故正确．
故选D．
7．在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=
，则tanB 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=
，设一条直角边BC 为5x，斜边AB 为
13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．
【解答】解：∵sinA=
，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC=
=12x，
故tan∠B=
=
．
故选：D．
8．把中考体检调查学生的身高作为样本，样本数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为
0.28，于是可估计2 000 名体检中学生中，身高在1.6～2.0 米之间的学生有（ ）
A．56
B．560
C．80
D．150
【考点】用样本估计总体；频数与频率．
【分析】根据频率的意义，每组的频率=该组的频数：样本容量，即频数=频率×样本容量．数
据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是2 000 名体检中学生中，身高在1.6～2.0
米之间的学生数即可求解．
【解答】解：0.28×2000=560．故选B．
9．为了解自己家的用电情况，李明在6 月初连续几天同一时刻观察电表显示的情况记录如
下：
日期
1 号
2
号
3
号
4
号
5 号
6
号
7 号
8 号
电表显示（千瓦时）
117
120
124
129
135
138
142
145
按照这种用法，李明家6 月份的用电量约为（ ）
A．105 千瓦时
B．115 千瓦时C．120 千瓦时D．95 千瓦时
【考点】用样本估计总体．
【分析】根据样本估计总体的统计思想：可先求出7 天中用电量的平均数，作为6 月份用电量
的平均数，则一个月的用电总量即可求得．
【解答】解：30×
=120（千瓦时）．
故选C．
10．已知一次函数y=kx+b 的图象如图，那么正比例函数y=kx 和反比例函数y=
在同一坐标
系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数图象可以确定k、b 的符号，根据k、b 的符号来判定正比例函数y=kx 和
反比例函数y=
图象所在的象限．
【解答】解：如图所示，∵一次函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．
∴正比例函数y=kx 的图象经过第一、三象限，
反比例函数y=
的图象经过第二、四象限．
综上所述，符合条件的图象是C 选项．
故选：C．
二、填空题（毎题3 分，共24 分）
11．点P（2m
3
﹣，1）在反比例函数
的图象上，则m=
2
．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】此题可以直接将P（2m
3
﹣，1）代入反比例函数解析式即可求得m 的值．
【解答】解：∵点P（2m
3
﹣，1）在反比例函数
的图象上，∴（2m
3
﹣）×1=1，解得m=2．
故答案为：2．
12．已知一个函数的图象与y=
的图象关于y 轴成轴对称，则该函数的解析式为
y=﹣
．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据图象关于y 轴对称，可得出所求的函数解析式．
【解答】解：关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，
即y=
，
∴y=﹣
故答案为：y=﹣
．
13．若关于x 的一元二次方程x2
3x
﹣
+c=0 有一个根是2，则另一根是
1
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】首先设另一个根为α，由关于x 的一元二次方程x2
3x
﹣
+c=0 有一个根是2，根据根与
系数的关系可得α+2=3，继而求得答案．
【解答】解：设另一个根为α，
∵关于x 的一元二次方程x2
3x
﹣
+c=0 有一个根是2，
∴α+2=3，
∴α=1，
即另一个根为1．
故答案为1．
14．如果方程x2+2x+m=0 有两个同号的实数根，m 的取值范围是
0 ＜
m ≤
1
．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】根据题意得出△≥0，m＞0，代入求出m 的范围即可．
【解答】解：∵方程x2+2x+m=0 有两个同号的实数根，
∴△≥0，m＞0，
△=22
4
﹣×1×m=4
4m
﹣
≥0，
解得：m≤1，
即m 的取值范围是0＜m≤1，
故答案为：0＜m≤1．
15．已知线段a=3cm，b=6cm，c=5cm，且a，b，d，c 成比例线段，则d=
2.5
cm．
【考点】比例线段．
【分析】根据线段成比例，则可以列出方程a：b=d：c，代入数值求解即可．
【解答】解：∵线段a，b，c，d 成比例，
∴a：b=d：c，
由题中a=3cm，b=6cm，c=5cm，
∴代入方程可得d=2.5．
16．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）
的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=
，则此三角形移动的距离AA′=
．
【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质．
【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了．
【解答】解：设BC 与A′C′交于点E，
由平移的性质知，AC∥A′C′，
∴△BEA′∽△BCA，
∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2，
∵AB=
，
∴A′B=1，
∴AA′=AB
A′B=
﹣
，
故答案为：
．
17．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园
环境．预计花园每平方米造价为30 元，学校建这个花园需要投资
7794
元．（精确到1 元）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】延长BC，过A 作AD⊥BC 的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠ACD 的度数，
由锐角三角函数的定义接可求出AD 的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积，
再根据每平方米造价为30 元计算出所需投资即可．
【解答】解：延长BC，过A 作AD⊥BC 的延长线于点D，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=180°
120°=60°
﹣
，
∵AC=20 米，
∴AD=AC•sin60°=20×
=10
（米），
∴S△ABC=
BC•AD=
×30×10
=150
（平方米），
∴所需投资=150
×30≈7794（元）．
故答案为：7794．
18．如图，条形统计图是从曙光中学800 名学生中帮助失学儿童捐款金额的部分抽样调查数
据，扇形图统计图是该校各年级人数比例分布图．那么该校七年级同学捐款的总数大约为
5010
元．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【分析】首先根据扇形统计图和已知条件求出七年级同学的人数，然后求出样本平均数，再利
用样本估计总体的思想即可求出该校七年级同学捐款的总数．
【解答】解：∵曙光中学有800 名学生，
∴七年级同学的人数为：800×36%=288 人，
而抽样调查数据平均数为： =
≈17.4 元，
∴17.4×288≈5010 元，
∴该校七年级同学捐款的总数为5010 元，
故答案为：5010．
三、解答题（每题8 分，共24 分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）4（x
3
﹣）2
25=0
﹣
（2）2x2+7x
4=0
﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】（1）先移项得到4（x
3
﹣）2=25，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）4（x
3
﹣）2=25，
2（x
3
﹣）=±5，
所以x1=
，x2=
；
（2）（2x
1
﹣）（x+4）=0，
2x
1=0
﹣
或x+4=0，
所以x1=
，x2=
4
﹣．
20．已知反比例函数y=
（k 为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k 的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k
1=1
﹣
×2，然后解方程即可；
（2）根据反比例函数的性质得k
1
﹣＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）根据题意得k
1=1
﹣
×2，
解得k=3；
（2）因为反比例函数y=
，在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，
所以k
1
﹣＞0，
解得k＞1．
21．计算下列各题：
（1）tan45°
sin60°•cos30°
﹣
；
（2）
sin230°+sin45°•tan30°．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=1﹣
×
=1﹣
=
；
（2）原式=
×
+
×
=
．
四、应用题（每题8 分，共24 分）
22．关于x 的一元二次方程x2
3x
k=0
﹣
﹣
有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k 的取值范围；
（2）在k 的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2
4
﹣（﹣k）＞0，
即4k＞﹣9，解得
；
（2）若k 是负整数，k 只能为﹣1 或﹣2；
如果k=
1
﹣，原方程为x2
3x
﹣
+1=0，
解得，
，
．
（如果k=
2
﹣，原方程为x2
3x
﹣
+2=0，解得，x1=1，x2=2）
23．如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
【考点】相似三角形的判定；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知
△ADE∽△EFC．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C．
又∵EF∥AB，
∴∠A=∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
24．如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点）20 米的A 点，沿
OA 所在的直线行走14 米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少
米？
【考点】相似三角形的应用．
【分析】如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP 即可由相似三角
形的性质求解．
【解答】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴
，
即
，
解得，MA=5 米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5 米，
∴小明的身影变短了5
1.5=3.5
﹣
米．
五、综合题（共18 分）
25．马航MH370 失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B 同时收到有
关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.50°方向上，在救助船B 的西北
方向上，船B 在船A 正东方向140 海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，
tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P 到A、B 两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B 分别以40 海里/时，30 海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，
试通过计算判断哪艘船先到达P 处．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）过点P 作PE⊥AB 于点E，在Rt△APE 中解出PE 即可；
（2）分别求出PA、PB 的长，根据两船航行速度，计算出两艘船到达P 点时各自所需要的时间，
即可作出判断．
【解答】解：（1）过点P 作PE⊥AB 于点E，
由题意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45°，
设PE 为x 海里，则BE=PE=x 海里，
∵AB=140 海里，
∴AE=海里，
在Rt△PAE 中，
，
即：
解得：x=60，
∴可疑漂浮物P 到A、B 两船所在直线的距离约为60 海里；
（2）在Rt△PBE 中，PE=60 海里，∠PBE=45°，
则BP=
PE=60
≈84.8 海里，
B 船需要的时间为：84.8÷30≈2.83 小时，
在Rt△PAE 中，
=sin∠PAE，
∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100 海里，
∴A 船需要的时间为：100÷40=2.5 小时，
∵2.83＞2.5，
∴A 船先到达．
26．如图，已知反比例函数y= （x＞0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m
＞1，AM⊥x 轴，垂足为M，BN⊥y 轴，垂足为N，AM 与BN 的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB 与△NOM 的相似比为2，求出B 点的坐标及AB 所在直线的解析式．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）把A 点坐标代入y=
可得k 的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B 两点坐标可得AC=4
n
﹣，BC=m
1
﹣，ON=n，OM=1，则
=
，再根据反比
例函数解析式可得
=n，则
=m
1
﹣，而
=
，可得
=
，再由
∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB 与△NOM 的相似比为2 可得m
1=2
﹣
，进而得到m 的值，然后可得B 点坐标，
再利用待定系数法求出AB 的解析式即可．
【解答】解：（1）∵y=
（x＞0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=
；
（2）∵点A（1，4），点B（m，n），
∴AC=4
n
﹣，BC=m
1
﹣，ON=n，OM=1，
∴
=
=
1
﹣，
∵B（m，n）在y=
上，
∴
=n，
∴
=m
1
﹣，而
=
，
∴
=
，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB 与△NOM 的相似比为2，
∴m
1=2
﹣
，
m=3，
∴B（3，
），
设AB 所在直线解析式为y=kx+b，
∴
，
解得
，
∴解析式为y=﹣
x+
．
2016 年9 月30 日
