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九年级上学期期末数学试卷
一．选择题（本题有12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的选项中，只一项是符合题
目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．）[来源:Z,xx,k.Com]
1．（3 分）图中三视图所对应的直观图是（）[来源:学*科*网]
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这
个三角形中（）
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
3．（3 分）下列函数中，y 随x 的增大而减少的是（）
A．y=
B．y=
C．y=﹣（x＞0）
D．y= （x＜0）
4．（3 分）点A（3，n）关于y 轴对称点的坐标为（﹣3，2），那么点A 关于原点对称点的坐标是
（）
A．3
B．
3
﹣
C．
D．﹣
5．（3 分）若方程x2
3x
1=0
﹣
﹣
的两根为x1，x2，则
的值为（）
A．3
B．
3
﹣
C．
D．
6．（3 分）在同坐标系中，函数
（k≠0）与y=kx+k（k≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关
A、B、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为2
，若直线l 满足：
①点D 到直线l 的距离为
；
A
②、C 两点到直线l 的距离相等．
则符合题意的直线l 的条数为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．
（3 分）如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原
则，如年龄为36 岁统计在36≤x＜38 小组，而不在34≤x＜36 小组），根据图形提供的信息，下
列说法中错误的是（）
A．该学校教职工总人数是50 人
B．年龄在40≤x＜42 小组的教职工人数占学校教职工人数的20%
C．教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42 这一组
D．教职工年龄的众数一定在38≤x＜40 这一组
10．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC
∥
，BE 平分∠ABC 交CD 于E，且BE CD
⊥
，CE：
ED=2：1．如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是（）
A．2
B．
C．
D．2.5
11．
（3 分）如图，△ABC 的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y= 在第一象
限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（）
A．2≤k≤
B．6≤k≤10
C．2≤k≤6
D．2≤k≤
12．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在边AB，BC 上，且AE= AB，将矩形沿直线
EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q，对于下列结论：
①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①④
二、填空题（本题有4 小题，每小题3 分，共12 分．把答案填在答题卡上）
13．（3 分）若方程（m
1
﹣）
+2mx
3=0
﹣
是关于x 的一元二次方程，则m=．
14．（3 分）某工厂生产一种零件，计划在20 天内完成，若每天多生产4 个，则15 天完成且还
多生产10 个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列方程为．
15．（3 分）如图，正方形AEFG 的顶点E，G 在正方形ABCD 的边AB，AD 上，连接BF，DF．
则BE：CF 的值为．
16．（3 分）大于1 的正整数的三次方都可以分解为若干个连续奇数的和．如 23=3+5，
33=7+9+11，43=13+15+17+19．按此规律，若m3分解后，最后一个奇数为109，则m 的值为．
三、解答题（本大题有7 题，其中第17 题8 分，第18 题7 分，第19 题8 分，第20 题8 分，第21
题8 分，第22 题7 分，第23 题6 分，共52 分）
17．（8 分）解方程
（1）x（x
1
﹣）=2（x
1
﹣）；
（2）x2+4x+2=0．
18．（7 分）为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了
如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000 名司机中的部分司机后，整理相关数
据并制作了右侧两个不完整的统计图：
克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？
A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督
B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志
C．签订“永不酒驾”保证书
D．希望交警加大检查力度
E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m=；
（2）该市支持选项B 的司机大约有多少人？
（3）若要从该市支持选项B 的司机中随机抽取100 名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，
则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？
19．（8 分）天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了
如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用
27000 元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
20．（8 分）如图，在Rt
ABC
△
中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D 是AC 上的动点，过D 作
DF BC
⊥
于F，过F 作FE AC
∥
，交AB 于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）当四边形AEFD 为菱形时，求x 的值；
（3）当△DEF 是直角三角形时，求x 的值．
21．（8 分）一天晚上，小颖由路灯A 下的B 处向正东走到C 处时，测得影子CD 的长为1 米，
当她继续向正东走到D 处时，测得此时影子DE 的一端E 到路灯A 的仰角为45°，已知小颖
的身高为1.5 米，求那么路灯AB 的高度是多少米？
22．（7 分）如图，点A、B 分别在x，y 轴上，点D 在第一象限内，DC x
⊥轴于点C，AO=CD=2，
AB=DA=
，反比例函数y= （k＞0）的图象过CD 的中点E．
（1）求证：△AOB
DCA
△
≌
；
（2）求k 的值；
（3）△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，是判断点G 是否在反比例函
数的图象上，并说明理由．
23．（6 分）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足
∠MAN=45°，连接MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM•DN 的值．
（2）若以BM，DN，MN 为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题有12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的选项中，只一项是符合题
目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．）
1．（3 分）图中三视图所对应的直观图是（）
A．
B．
C．
D．
考点：由三视图判断几何体．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：
解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的
长方体的顶面的两边相切高度相同．
只有C 满足这两点．
故选C．
点评：本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关
系，错选B．
2．（3 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这
个三角形中（）
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
考点：反证法．
分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答：
解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
点评：
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，
如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．（3 分）下列函数中，y 随x 的增大而减少的是（）
A．y=
B．y=
C．y=﹣（x＞0）
D．y= （x＜0）
考点：反比例函数的性质．
分析：根据反比例函数y= 中k＞0，在每一象限内y 随着x 的增大而减小；k＜0 每一象限内，
y 随着x 的增大而增大求解．[来源:Z。xx。k.Com]
解答：
解：∵反比例函数y= 中k＞0，在每一象限内y 随着x 的增大而减小，
A
∴、B、D 错误，C 正确．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数的性质，重点考查反比例函数的增减性，属于基础题，比较简单．
4．（3 分）点A（3，n）关于y 轴对称点的坐标为（﹣3，2），那么点A 关于原点对称点的坐标是
（）
A．3
B．
3
﹣
C．
D．﹣
考点：关于原点对称的点的坐标；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
分析：根据关于y 轴对称的点的特点得到n 的值，进而根据关于原点对称的点的特点得到所
求点的坐标即可．
解答：
解：∵点A（3，n）关于y 轴对称的点的坐标为（﹣3，2），
n=2
∴
，
A
∴
坐标为（3，2），
∴点A 关于原点对称的坐标是 （﹣3，﹣2）．
故选：B．
点评：考查点的变换的知识；用到的知识点为：两点关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为
相反数；两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．
5．（3 分）若方程x2
3x
1=0
﹣
﹣
的两根为x1，x2，则
的值为（）
A．3
B．
3
﹣
C．
D．
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=
1
﹣，然后利用整体代入得方法计算．
解答：
解：∵方程x2
3x
1=0
﹣
﹣
的两根为x1，x2，
x
∴1+x2=3，x1x2=
1
﹣，
∴
=
=
3
﹣，
故选B．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=
，x1x2= ．
6．（3 分）在同坐标系中，函数
（k≠0）与y=kx+k（k≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
专题：数形结合．
分析：首先由四个图象中一次函数的图象与y 轴的交点在正半轴上，确定k 的取值范围，然
后根据k 的取值范围得出反比例函数
（k≠0）的图象．
解答：
解：由一次函数的图象与y 轴的交点在正半轴上可知k＞0，故函数y=kx+k 的图象
过一、二、三象限，反比例函数
经过第一、三象限，所以可以排除A，B，D．
故选C．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才
能灵活解题．
7．（3 分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关
A、B、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）
A．
B．
C．
D．
考点：列表法与树状图法．
专题：跨学科．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6 种情况，
∴小灯泡发光的概率为：
= ．
故选：A．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成
的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．（3 分）如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为2
，若直线l 满足：
①点D 到直线l 的距离为
；
A
②、C 两点到直线l 的距离相等．
则符合题意的直线l 的条数为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点：正方形的性质．
专题：几何图形问题．
分析：连接AC 与BD 相交于O，根据正方形的性质求出OD=
，然后根据点到直线的距离
和平行线间的距离相等解答．
解答：
解：如图，连接AC 与BD 相交于O，[来源:Zxxk.Com]
∵正方形ABCD 的对角线BD 长为2
，
OD=
∴
，
∴直线l AC
∥
并且到D 的距离为
，
同理，在点D 的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2 条直线l．
故选：B．
点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D 到O 的距
离小于
是本题的关键．
9．
（3 分）如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原
则，如年龄为36 岁统计在36≤x＜38 小组，而不在34≤x＜36 小组），根据图形提供的信息，下
列说法中错误的是（）
[来源:Z.xx.k.Com]
A．该学校教职工总人数是50 人
B．年龄在40≤x＜42 小组的教职工人数占学校教职工人数的20%
C．教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42 这一组
D．教职工年龄的众数一定在38≤x＜40 这一组
考点：频数（率）分布直方图；中位数；众数．
分析：各组的频数的和就是总人数，然后根据百分比、众数、中位数的定义即可作出判断．
解答：
解：A、该学校教职工总人数是4+6+11+10+9+6+4=50（人），故正确；
B、在40≤x＜42 小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例是：
×100%=20%，故
正确；
C、教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42 这一组，正确；
D、教职工年龄的众数一定在38≤x＜40 这一组．错误．
故选：D．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
10．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC
∥
，BE 平分∠ABC 交CD 于E，且BE CD
⊥
，CE：
ED=2：1．如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是（）
A．2
B．
C．
D．2.5
考点：梯形．
分析：延长BA 和CD 交于O，求出∠OBE= CBE
∠
，∠BEO= BEC=90°
∠
，证△BEO
BEC
≌△
，推
出OE=CE，根据面积公式求出△OBE 的面积是2，OD：OC=1：4，证出△OAD
OBC
△
∽
，求出
△OAD 的面积= ，即可求出答案．
解答：
解：延长BA 和CD 交于O，
BE
∵
平分∠ABC，BE CD
⊥
，
OBE= CBE
∴∠
∠
，∠BEO= BEC=90°
∠
，
在△BEO 和△BEC 中，
BEO
BEC
∴△
△
≌
（ASA），
OE=CE
∴
，
CE
∵
：ED=2：1，△BEC 的面积为2，
OBE
∴△
的面积是2，OD：OC=1：4，
AD BC
∵
∥
，
OAD
OBC
∴△
△
∽
，
∴
=（
）2=
，
S
∴
OAD=
△
=
×（2+2）= ，
∴四边形ABED 的面积S=2﹣= ，
故选B．
点评：本题考查了梯形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，
解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△OBE 和△OAD 的面积，有一定的难度．
11．
（3 分）如图，△ABC 的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y= 在第一象
限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（）
A．2≤k≤
B．6≤k≤10
C．2≤k≤6
D．2≤k≤
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：压轴题；数形结合．
分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是
交点为A、与线段BC 有交点，由此求解即可．
解答：
解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y= ，
k≥2
∴
．
随着k 值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC 有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=
x+7
﹣
，
，得x2
7x+k=0
﹣
根据△≥0，得k≤
综上可知2≤k≤
．
故选：A．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注
意自变量的取值范围．
12．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在边AB，BC 上，且AE= AB，将矩形沿直线
EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q，对于下列结论：
①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①④
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
专题：几何图形问题；压轴题．
分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边
等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，
根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于
斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=
PE，判断出②错误；
求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF= PFB=60°
∠
，然后得
到△PBF 是等边三角形，判断出④正确．
解答：
解：∵AE= AB，
BE=2AE
∴
，
由翻折的性质得，PE=BE，
APE=30°
∴∠
，
AEP=90°
30°=60°
∴∠
﹣
，
BEF=
∴∠
（180°
AEP
﹣∠
）= （180°
60°
﹣
）=60°，
EFB=90°
60°=30°
∴∠
﹣
，
EF=2BE
∴
，故①正确；
BE=PE
∵
，
EF=2PE
∴
，
EF
∵
＞PF，
PF
∴
＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF PB
⊥
，
EBQ= EFB=30°
∴∠
∠
，
BE=2EQ
∴
，EF=2BE，
FQ=3EQ
∴
，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB= EFP=30°
∠
，
BFP=30°+30°=60°
∴∠
，
PBF=90°
EBQ=90°
30°=60°
∵∠
﹣∠
﹣
，
PBF= PFB=60°
∴∠
∠
，
PBF
∴△
是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．
点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，
直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题（本题有4 小题，每小题3 分，共12 分．把答案填在答题卡上）
13．（3 分）若方程（m
1
﹣）
+2mx
3=0
﹣
是关于x 的一元二次方程，则m=
1
﹣．
考点：一元二次方程的定义．
专题：计算题．
分析：让x 的次数为2，系数不等于0 列式求值即可．
解答：
解：∵（m
1
﹣）
+2mx
3=0
﹣
是关于x 的一元二次方程，
m
∴
2+1=2，m
1≠0
﹣
，
解得m=±1，m≠1，
m=
1
∴
﹣，
故答案为﹣1．
点评：考查了一元二次方程的定义：未知数的最高指数为2，系数不等于0．
14．（3 分）某工厂生产一种零件，计划在20 天内完成，若每天多生产4 个，则15 天完成且还
多生产10 个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列方程为20x=15
（
x+4
）﹣
10
．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
分析：设原计划每天生产x 个，则实际每天生产（x+4）个，根据原计划在20 天内完成的任务
实际15 天完成且还多生产10 个，列方程．
解答：
解：设原计划每天生产x 个，则实际每天生产（x+4）个，[来源:Zxxk.Com]
由题意得，20x=15（x+4）﹣10．
故答案为：20x=15（x+4）﹣10．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
点评：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知
数，找出合适的等量关系，列方程求解．
15．（3 分）如图，正方形AEFG 的顶点E，G 在正方形ABCD 的边AB，AD 上，连接BF，DF．
则BE：CF 的值为
．
考点：正方形的性质．
分析：设正方形ABCD 的边长为a，正方形AEFG 的边长为b，表示出BE，再根据正方形的性
质表示出CF，然后相比计算即可得解．
解答：
解：设正方形ABCD 的边长为a，正方形AEFG 的边长为b，
则BE=a
b
﹣，
∵正方形AEFG 的顶点E，G 在正方形ABCD 的边AB，AD 上，
∴点F 在正方形ABCD 的对角线上，
CF=
∴
a﹣
b，
BE
∴
：CF=（a
b
﹣）：（
a﹣
b）=
．
故答案为：
．
点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，难点在于判断
出点F 在正方形ABCD 的对角线上．
16．（3 分）大于1 的正整数的三次方都可以分解为若干个连续奇数的和．如 23=3+5，
33=7+9+11，43=13+15+17+19．按此规律，若m3分解后，最后一个奇数为109，则m 的值为
10．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达
式，再求出奇数109 的是从3 开始的第55 个数，然后确定出55 所在的范围即可得解．
解答：
解：∵底数是2 的分裂成2 个奇数，底数为3 的分裂成3 个奇数，底数为4 的分裂成
4 个奇数，
m
∴
3有m 个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=
，
2n+1=313
∵
，n=156，
∴奇数109 是从3 开始的第54 个奇数，
∵
=44，
=54，
∴第55 个奇数是底数为10 的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=10．
故答案为：10．
点评：此题是对数列应用的考查，重点考查分析问题和解决问题以及计算方面的能力，确定
每一个“拆分数”中第一个数构成的数列的规律是关键
三、解答题（本大题有7 题，其中第17 题8 分，第18 题7 分，第19 题8 分，第20 题8 分，第21
题8 分，第22 题7 分，第23 题6 分，共52 分）
17．（8 分）解方程[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（1）x（x
1
﹣）=2（x
1
﹣）；
（2）x2+4x+2=0．
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
专题：计算题．
分析：
（1）先移项得到x（x
1
﹣）﹣2（x
1
﹣）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先利用配方法得到（x+2）2=2，然后利用直接开平方法解方程．
解答：
解：（1）x（x
1
﹣）﹣2（x
1
﹣）=0，
（x
1
﹣）（x
2
﹣）=0，
x
1=0
﹣
或x
2=0
﹣
，
所以x1=1，x2=2；
（2）x2+4x=
2
﹣，
x2+4x+4=2，
（x+2）2=2，
x+2=±
，
所以x1=
2+
﹣
，x2=
2
﹣﹣
．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因
式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两
个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次
方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
18．（7 分）为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了
如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000 名司机中的部分司机后，整理相关数
据并制作了右侧两个不完整的统计图：
克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？
A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督
B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志
C．签订“永不酒驾”保证书
D．希望交警加大检查力度
E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m=12；
（2）该市支持选项B 的司机大约有多少人？
（3）若要从该市支持选项B 的司机中随机抽取100 名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，
则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．
专题：计算题．
分析：（1）根据选择方式B 的有81 人，占总数的27%，即可求得总人数，利用总人数减去
其它各组的人数即可求得选择方式D 的人数，作出直方图，然后根据百分比的意义求得m 的
值；
（2）利用总人数5000 乘以对应的百分比即可求得；
（3）利用概率公式即可求解．
解答：
解：（1）调查的总人数是：81÷27%=300（人），
则选择D 方式的人数300
75
81
90
36=18
﹣
﹣
﹣
﹣
（人），
m=
×100=12．
补全条形统计图如下：
（2）该市支持选项B 的司机大约有：27%×5000=1350（人）；
（3）小李抽中的概率P=
=
．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（8 分）天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了
如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用
27000 元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
考点：一元二次方程的应用．
专题：应用题．
分析：首先根据共支付给旅行社旅游费用27000 元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人
的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去黄果树风景区旅游．即可由对话框，
超过25 人的人数为（x
25
﹣
）人，每人降低20 元，共降低了20（x
25
﹣
）元．实际每人收了[1000
20
﹣
（x
25
﹣
）]元，列出方程求解．
解答：
解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x 人，则人均费用为1000
20
﹣
（x
25
﹣
）元
由题意得 x[1000
20
﹣
（x
25
﹣
）]=27000
整理得x2
75x+1350=0
﹣
，
解得x1=45，x2=30．
当x=45 时，人均旅游费用为1000
20
﹣
（x
25
﹣
）=600＜700，不符合题意，应舍去．
当x=30 时，人均旅游费用为1000
20
﹣
（x
25
﹣
）=900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30 名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．
点评：考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活
中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量
关系，列出方程，再求解．
20．（8 分）如图，在Rt
ABC
△
中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D 是AC 上的动点，过D 作
DF BC
⊥
于F，过F 作FE AC
∥
，交AB 于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）当四边形AEFD 为菱形时，求x 的值；
（3）当△DEF 是直角三角形时，求x 的值．
考点：相似三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．
专题：几何动点问题；压轴题；数形结合．
分析：
（1）由已知求出∠C=30°，列出y 与x 的函数关系式；
（2）由四边形AEFD 为菱形，列出方程y=60
x
﹣与y= x 组成方程组求x 的值，
（3）当∠EDF=90°时，由△DEF 是直角三角形，列出方程60
x=2y
﹣
，与y= x 组成方程组求x
的值；当∠DEF=90°时，根据EF AC
∥
可知∠EDA= DEF=90°
∠
，所以当△ADE
ABC
∽△
，再由相
似三角形的对应边成比例可得出关于x 的方程，再把y= x 代入即可得出x 的值．
解答：
解：（1）∵在Rt
ABC
△
中，∠B=90°，AC=60，AB=30，
C=30°
∴∠
，
CD=x
∵
，DF=y．
y=
∴
x；
（2）∵四边形AEFD 为菱形，[来源:Zxxk.Com]
AD=DF
∴
，
y=60
x
∴
﹣
∴方程组
，
解得x=40，
∴当x=40 时，四边形AEFD 为菱形；
（3）当△DEF 是直角三角形时，当∠EDF=90°，
FDE=90°
∵∠
，FE AC
∥
，
EFB= C=30°
∴∠
∠
，
DF
BC
∵
⊥
，
DEF+ DFE= EFB+ DFE
∴∠
∠
∠
∠
，
DEF= EFB=30°
∴∠
∠
，
EF=2DF
∴
，
60
x=2y
∴
﹣
，
与y= x，组成方程组，得
解得x=30；
∴当△DEF 是直角三角形时，x=30，
当∠DEF=90°时，由于EF AC
∥
，则∠EDA=○DEF=90°，
因此当△ADE
ABC
∽△
时，就有△DEF 是直角三角形，
∴
=
，
即
=
，把y= x 代入得：x=48．
∴当△DEF 是直角三角形时，x=48 或30 时，△DEF 是直角三角形．
点评：本题主要考查了含30°角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出x 与y 的
关系列方程组．
21．（8 分）一天晚上，小颖由路灯A 下的B 处向正东走到C 处时，测得影子CD 的长为1 米，
当她继续向正东走到D 处时，测得此时影子DE 的一端E 到路灯A 的仰角为45°，已知小颖
的身高为1.5 米，求那么路灯AB 的高度是多少米？
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：根据已知得出∠E= EAB=45°
∠
，得出AB=BE，再利用△DCM
DBA
∽△
的性质得出
=
，进而求出AB 的高度即可．
解答：
解：∵∠ABE=90°，∠E=45°，
E= EAB=45°
∠
∠
，
AB=BE
∴
，
MC AB
∵
∥
，
DCM
DBA
∴△
△
∽
，
∴
=
，
设AB=x，则BD=x
1.5=x
1.5
﹣
﹣
，
∴
=
，
解得：x=4.5．
∴路灯A 的高度AB 为4.5m．[来源:Z.xx.k.Com]
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用．解题时利用了相似三角形的判定与性质，根据
已知得出AB=BE 是解题关键．
22．（7 分）如图，点A、B 分别在x，y 轴上，点D 在第一象限内，DC x
⊥轴于点C，AO=CD=2，
AB=DA=
，反比例函数y= （k＞0）的图象过CD 的中点E．
（1）求证：△AOB
DCA
≌△
；
（2）求k 的值；
（3）△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，是判断点G 是否在反比例函
数的图象上，并说明理由．
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：
（1）利用“HL”证明△AOB
DCA
≌△
；
（2）先利用勾股定理计算出AC=1，再确定C 点坐标，然后根据点E 为CD 的中点可得到点E
的坐标为（3，1），则可根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k=3；
（3）根据中心对称的性质得△BFG
DCA
≌△
，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG= DCA=90°
∠
，
则可得到G 点坐标为（1，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断G 点是否在函
数y= 的图象上．
解答：
（1）证明：∵点A、B 分别在x，y 轴上，点D 在第一象限内，DC x
⊥轴，
AOB= DCA=90°
∴∠
∠
，
在Rt
AOB
△
和Rt
DCA
△
中
，
Rt
AOB Rt
DCA
∴
△
△
≌
；
（2）解：在Rt
ACD
△
中，CD=2，AD=
，
AC=
∴
=1，
OC=OA+AC=2+1=3
∴
，
D
∴
点坐标为（3，2），
∵点E 为CD 的中点，
∴点E 的坐标为（3，1），
k=3×1=3
∴
；
（3）解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：
BFG
∵△
和△DCA 关于某点成中心对称，
BFG
DCA
∴△
△
≌
，
FG=CA=1
∴
，BF=DC=2，∠BFG= DCA=90°
∠
，
而OB=AC=1，
OF=OB+BF=1+2=3
∴
，
G
∴
点坐标为（1，3），
1×3=3
∵
，
G
∴（1，3）在反比例函数y= 的图象上．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称的
性质和三角形全等的判定与性质；会利用勾股定理进行几何计算．
23．（6 分）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足
∠MAN=45°，连接MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM•DN 的值．
（2）若以BM，DN，MN 为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性
质．
专题：几何综合题．
分析：
（1）根据角平分线的定义求出∠CBM= CDN=45°
∠
，再求出∠ABM= ADN=135°
∠
，
然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+ NAD=45°
∠
，三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和∠BAM+ AMB=45°
∠
，从而得到∠NAD= AMB
∠
，再求出△ABM 和
△NDA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点A 作AF AN
⊥
并截取AF=AN，连接BF、FM，根据同角的余角相等求出∠1= 3
∠，然
后利用“边角边”证明△ABF 和△ADN 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=DN，
∠FBA= NDA=135°
∠
，再求出∠FAM= MAN=45°
∠
，然后利用“边角边”证明△AFM 和
△ANM 全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=NM，再求出△FBM 是直角三角形，然后
利用勾股定理判断即可．
解答：
解：（1）∵BM、DN 分别平分正方形的两个外角，
CBM= CDN=45°
∴∠
∠
，
ABM= ADN=135°
∴∠
∠
，
MAN=45°
∵∠
，
BAM+ NAD=45°
∴∠
∠
，
在△ABM 中，∠BAM+ AMB= MBP=45°
∠
∠
，
NAD= AMB
∴∠
∠
，
在△ABM 和△NDA 中，
，
ABM
NDA
∴△
△
∽
，
∴
=
，
BM•DN=AB•AD=a
∴
2；
（2）以BM，DN，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．
证明如下：如图，过点A 作AF AN
⊥
并截取AF=AN，连接BF、FM，
1+ BAN=90°
∵∠
∠
，
3+ BAN=90°
∠
∠
，
1= 3
∴∠
∠，
在△ABF 和△ADN 中，
，
ABF
ADN
∴△
△
≌
（SAS），
BF=DN
∴
，∠FBA= NDA=135°
∠
，
FAN=90°
∵∠
，∠MAN=45°，
1+ 2= FAM= MAN=45°
∴∠
∠
∠
∠
，
在△AFM 和△ANM 中，
，
AFM
ANM
∴△
△
≌
（SAS），
FM=NM
∴
，
FBP=180°
FBA=180°
135°=45°
∴∠
∠
﹣
﹣
，
FBP+ PBM=45°+45°=90°
∴∠
∠
，
FBM
∴△
是直角三角形，
FB=DN
∵
，FM=MN，
∴以BM，DN，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，相似三角形的
判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．
