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第九章 不等式与不等式（组）
9.2 一元一次不等式的解法（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
是一个一元一次不等式．
要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1．
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都
是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方
向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
（或
）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；
(4)化为
（或
）的形式（其中
）；(5)两边同除以未知数的系数，得到
不等式的解集.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，
它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
例1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．
【答案与解析】
解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分
母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1 次，（4）不等式左边含有两个未知量，
（5）不是不等式，是一元一次方程．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不
含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型二、解一元一次不等式
例2.解不等式：
，并把解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分
数线兼有括号的作用．
【答案与解析】
解：将分母变为整数，得：
去分母，得：
去括号，合并同类项，得：
系数化1，得：
这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．
举一反三：
【变式】解不等式：
【答案】
解：去括号，得
移项、合并同类项得：
系数化1，得
故原不等式的解集是
例3.m 为何值时，关于x 的方程：
的解大于1？
【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m 表示x），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
由
解得m＞2
【总结升华】此题亦可用x 表示m，然后根据x 的范围运用不等式基本性质推导出m 的
范围．
举一反三：
【变式】已知关于
方程
的解是非负数，
是正整数，则
．
【答案】1 或2
例4.已知关于
的方程组
的解满足
，求
的取值范围．
【思路点拨】先解出方程组再解不等式．
【答案与解析】
解：由
，解得：
∵
∴
解得
∴
的取值范围为
【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出
的具体值．
类型三、解含字母的一元一次不等式
例5．解关于x 的不等式：(1-m)x>m-1
【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1 即可，两边同时除以
（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方
向得改变，这里1-m 的符号我们不知道，故需分类讨论．
【答案与解析】
解：当1- m ＞0 即 m ＜1 时，原不等式的解集为：x＞-1；
当1- m ＜0 即m ＞1 时，原不等式的解集为：x＜-1；
当1-m=0 即m=1 时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．
【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：
若ax＞b（a≠0），
当
时，不等式的解集是
；
当
时，不等式的解集是
．
举一反三：
【变式1】解关于x 的不等式m（x-2）＞x-2.
【答案】
解: 化简，得（m-1）x＞2（m-1），
① 当m-1＞0 时，x＞2；
② 当m-1＜0 时，x＜2；
③ 当m-1=0 时，无解.
【变式2】已知x＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．
类型四、逆用不等式的解集
例6.如果关于x 的不等式（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，那么a 的取值范围是
．
【思路点拨】本题是关于x 的不等式，应先只把x 看成未知数，求得x 的解集，从而来
求得a 的值．
【答案】a＜﹣1
【解析】
解：∵（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，
a+1
∴
＜0，
a
∴＜﹣1．
【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1＜0．
举一反三：
【变式】已知不等式3x﹣a≤0 的解集为x≤5，则a 的值为 ．
【答案】15.
【解析】解：3x﹣a≤0，
x≤，
∵不等式的解集为x≤5，
∴=5，
解得a=15．
故答案为：15．
【巩固练习】
一、选择题
1．已知关于x 的不等式
是一元一次不等式，那么m 的值是 ( ) .
A．m＝1 B．m＝±
1 C．m＝-1 D．不能确定
2．由
得到
，则a 应该满足的条件是（ ）.
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a 为任意实数
3．关于x 的不等式x﹣b＞0 恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）
A．﹣3＜b＜﹣2
B．﹣3＜b≤﹣2
C．﹣3≤b≤﹣2
D．﹣3≤b＜﹣2
4．不等式
的解集是
，则a 为（ ）.
A．-2 B．2 C．8 D．5
5．如果1998a+2003b=0，那么ab 是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
6.关于的不等式
的解集如图所示，则的值是 （ ）.
A．0 B．2 C． -2 D．-4
二、填空题
7．若为非负数，则
的解集是 .
8．不等式5x﹣3＜3x+5 的最大整数解是
．
9．比较大小：
________
.
10．已知-4 是不等式
的解集中的一个值，则
的范围为________.
11．若关于x 的不等式
只有六个正整数解，则a 应满足________.
12.已知
的解集中的最小整数为
，则的取值范围是 .
三、解答题
13．若m、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m2－1)x＞n．
14. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x＜a 的整数解：
（1）x 只有一个整数解；
(2) x 一个整数解也没有．
15.当
时，求关于x 的不等式
的解集．
16.已知关于x 的方程4x+2m+1=2x+5 的解是负数．
（1）求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，解关于x 的不等式2（x﹣2）＞mx+3．
答案与解析
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】
，所以
；
2. 【答案】C；
【解析】由
得到
，不等式两边同乘以
，不等号方向没变，所以
；
3. 【答案】D；
【解析】不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2
故选D．
4. 【答案】A；
【解析】由
，可得
，它与
表示同一解集，所以
，解得
；
5. 【答案】B；
【解析】1998a+2003b=0，可得
均为0 或
异号；
6. 【答案】A；
【解析】因为不等式
的解集为
，再观察数轴上表示的解集为
，因此
，解得
二、填空题
7. 【答案】
；
【解析】为非负数，所以
，
解得：
.
8. 【答案】3；
【解析】不等式的解集是x＜4，
故不等式5x﹣3＜3x+5 的正整数解为1，2，3，
则最大整数解为3．故答案为：3．
9. 【答案】＞；
【解析】
，
所以
.
10．【答案】
；
【解析】将-4 代入得：
，所以
.
11.【答案】
；
【解析】由已知得：
，
，即
.
12.【答案】
【解析】画出数轴分析得出正确答案.
三、解答题
13.【解析】
解：
∴(－m2－1)x＞n ，
两边同除以负数（－m2－1）得：
.
∴原不等式的解集为：
.
14.【解析】
解：(1)
；(2)
．
15.【解析】
解：
．
16.【解析】
解：（1）方程4x+2m+1=2x+5 的解是：x=2﹣m．
由题意，得：2﹣m＜0，
所以m＞2．
（2）2（x﹣2）＞mx+3，
2x﹣4＞mx+3，
2x﹣mx＞3+4，
（2﹣m）x＞7，
因为m＞2，
所以2﹣m＜0，
所以x＜
．
