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第九章 不等式与不等式（组）
9.4 一元一次不等式组（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次
不等式组．如
2
5
6
2010
x
x
，
7
0
2
11
6
3
15
9
x
x
x
等都是一元一次不等式组．
要点诠释：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做
这个一元一次不等式组的解集．
要点诠释：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示
出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等
式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组
→解不等式组→检验→答．
要点诠释：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，
从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能
取非负整数．
【典型例题】
类型一、不等式组的概念
例1．解不等式组
3(
2)
4
1
2
1.
3
x
x
x
x
【思路点拨】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了．
【答案与解析】
解：解不等式①，得x≥1
解不等式②，得x＜4
所以，不等式组的解集是1≤x＜4．
【总结升华】求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集．
举一反三：
【变式】解不等式组
3(
2)
4
2
3
x
x
a
x
x
无解．则a 的取值范围是 ( )
A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1
【答案】B
例2. 不等式组
3(
2)
5(
4)
2.......(1)
5
6
2(
2)
1,........(2)
3
2
2
1
1
............(3)
2
3
x
x
x
x
x
x
是否存在整数解？如果存在请求出它
的解；如果不存在要说明理由.
【思路点拨】解这类问题的第一步是分别求出各个不等式的解集；第二步借助数轴以
确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解.
【答案与解析】
解：解不等式（1），得：x＜2；
解不等式（2），得：x-3；
解不等式（3），得：x-2；
在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：
∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.
∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.
【总结升华】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三
个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定
其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法.
举一反三：
【变式】解不等式组
，并写出它的所有非负整数解．
【答案】解：
，
由①得：x≥﹣2；
由②得：x＜，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，
则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
例3.试确定实数a 的取值范围．使不等式组
1
0
2
3
5
4
4 (
1)
3
3
x
x
a
x
x
a
恰好有两个整
数解．
【思路点拨】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a 的范围．
【答案与解析】
解：由不等式
1
0
2
3
x
x
，去分母得3x+2(x+1)＞0，
去括号，合并同类项，系数化为1 后得x＞
2
5
．
由不等式
5
4
4 (
1)
3
3
a
x
x
a
去分母得
3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．
所以原不等式组的解集为
2
2
5
x
a
，因为该不等式组恰有两个整数解：0 和l，故
有：1＜2a≤2，所以：1
2
a
≤１．
【总结升华】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x 的整数解，再根据x 的
取值范围求出a 的值即可．
举一反三：
【变式】.已知a 是自然数，关于x 的不等式组
3x- 4
a,
x- 2>0
的解集是x＞2，求a 的值．
【答案】解：解第一个不等式，得解集
4
3
a
x
，
解第二个不等式，得解集
2
x
，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴
4
2
3
a
，即
2
a
，又a 为自然数，
∴
0
a
或1 或2．
类型二、解特殊的一元一次不等式组
例4.求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0 的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①
或 ②
．
解①得x＞；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0 的解集．
（2）求不等式
≥0 的解集．
【答案与解析】
解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①
或②
，
解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；
（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得①
，②
，
解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，
故不等式组的解集为：x≥3 或x＜﹣2．
【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小
小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
类型三、一元一次不等式组的应用
例5.某校初三年级春游，现有36 座和42 座两种客车供选择租用，若只租用36 座客车
若干辆，则正好坐满；若只租用42 座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过
30 人；已知36 座客车每辆租金400 元，42 座客车每辆租金440 元．
(1)该校初三年级共有多少人参加春游?
(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42 座客车，则能少租一辆，且有一辆车
没有坐满，但超过30 人”．理解这句话，有两层不等关系．
(1)租用36 座客车x 辆的座位数小于租用42 座客车(x-1)辆的座位数．
(2)租用36 座客车x 辆的座位数大于租用42 座客车(x-2)辆的座位数+30．
【答案与解析】
解：(1)设租36 座的车x 辆．
据题意得：36
42(
1)
36
42(
2)
30
x
x
x
x
，
解得：
7
9
x
x
．
由题意x 应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)．
(2)方案①：租36 座车8 辆的费用：8×400＝3200(元)，
方案②：租42 座车7 辆的费用：7×440＝3080(元)，
方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42 座车6 辆和36 座车1 辆的总费用：
6×440＋1×400＝3040(元) ．
所以方案③：租42 座车6 辆和36 座车1 辆最省钱．
【总结升华】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘．
举一反三：
【变式1】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66 元，同时购买单价分别为3 元、
2 元、1 元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念
品比购买的甲种纪念品多2 件，而购买的甲种纪念品不少于10 件，且购买甲种纪念品费用
不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66 元钱，问可有几种购买
方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？
【答案】
解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x、y、z，由题意得：
2
66
2
3
x
y
z
y
x
且
2
66
3
10
x
x
由方程组得：
x
z
x
y
5
62
2
解不等式组得：10≤x≤11
∵x 为整数，∴x＝10 或x＝11
当x＝10 时，y＝12，z＝12
当x＝11 时，y＝13，z＝7
∴可有两种方案购买．
【变式2】5.12 四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢
救工作． 拟派30 名医护人员，携带20 件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽
车共8 辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4 人和3 件行李，乙种汽
车每辆最多能载2 人和8 件行李．
(1) 设租用甲种汽车x 辆，请你设计所有可能的租车方案；
(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000 元、6000 元，请你选择最省钱的租车
方案．
【答案】
解：（1）设租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8
)
x
，则：
4
2(8
)
30
3
8(8
)
20
x
x
x
x
，
解得：
4
7
8 5
x
，
∵x 应为整数，∴
7
x
或8，
∴有两种租车方案，分别为：
方案1：租甲种汽车7 辆，乙种汽车1 辆；方案2：租甲种汽车8 辆，乙种汽车0 辆．
（2）租车费用分别为：
方案1: 8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×:8＝64000（元）．
∴ 方案1 花费最低，所以选择方案1．
【巩固练习】
一、选择题
1．关于x 的不等式组
的解集为x＜3，那么m 的取值范围为（
）
A．m=3
B．m＞3
C．m＜3
D．m≥3
2．若不等式组5
3
0
0
x
x
m
有实数解．则实数m 的取值范围是 ( )
A．
5
3
m
B．
5
3
m
C．
5
3
m
D．
5
3
m
3．若关于x 的不等式组
3(
2)
4
3
2
x
x
x
a
x
无解，则a 的取值范围是 ( )
A．a＜1 B．a≤l C．1 D．a≥1
4．关于x 的不等式
0
7
2
1
x
m
x
的整数解共有4 个，则m 的取值范围是 ( )
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
5．某班有学生48 人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人
数的2 倍少3 人，两种棋都会下的至多9 人，但不少于5 人，则会下围棋的人有 （ ）
A．20 人 B．19 人 C．11 人或13 人 D．20 人或19 人
6．某城市的一种出租车起步价是7 元（即在3km 以内的都付7 元车费），超过3km 后，
每增加1km 加价1.2 元（不足1km 按1km 计算），现某人付了14.2 元车费，求这人乘的最
大路程是（ ）
A．10km B．9 km C．8km D．7 km
二、填空题
7.已知
2
4
2
2
1
x
y
k
x
y
k
，且1
0
x
y
，则k 的取值范围是________．
8．如果不等式组
无解，则a 的取值范围是
．
9．如果不等式组
2
2
2
3
x
a
x
b
的解集是0≤x＜1，那么a+b 的值为_______．
10．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4 个，则剩下9 个橘子；若每人分6 个，则
最后一个孩子分得的橘子将少于3 个，则共有_______个儿童，_______个橘子．
11．对于整数a、b、c、d，规定符号
a
b
ac
bd
d
c
．已知
，则b+d
的值是________．
12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,
（1）如果
3
a
x
，
4
b
x
，
28
c
，那么x 的取值范围是 ；
（2）已知△ABC 的周长是12，若b 是最大边，则b 的取值范围是 ；
（3）
c
a
b
b
a
c
a
c
b
c
b
a
．
三、解答题
13.解下列不等式组．
(1)
2
3
1
3
1 3(
1)
6
x
x
x
x
(2)
2
1
2
1
x
（3）
2
1
0
3
1
0
3
2
0
x
x
x
（4）
2
1
5
3
x
≤
14.已知：关于x，y 的方程组
2
7
2
4
3
x
y
a
x
y
a
的解是正数，且x 的值小于y 的值．
（1）求a 的范围；
（2）化简|8a +11|-|10a +1|．
15.某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的
价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1 个气排球和2 个篮球共需210 元；
购买2 个气排球和3 个篮球共需340 元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50 个，总费用不
超过3200 元，且购买气排球的个数少于30 个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最
低费用是多少元？
答案与解析
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】解：不等式组变形得：
，
由不等式组的解集为x＜3，
得到m 的范围为m≥3，
故选D.
2. 【答案】A；
【解析】原不等式组可化为
5
3
x
x
m
而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法
“大小小大中间找”可知m≤5
3 ．
3. 【答案】B；
【解析】原不等式组可化为
1,
.
x
x
a
根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解
了”可知a≤1．
4. 【答案】D；
【解析】解得原不等式组的解集为：3≤x＜m，表示在数轴上如下图，由图可得：6
＜m≤7．
5. 【答案】D；
6. 【答案】B；
【解析】设这人乘的路程为xkm，则13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解得8＜x≤9.
二、填空题
7. 【答案】1
2
＜k＜1；
【解析】解出方程组，得到x，y 分别与k 的关系，然后再代入不等式求解即可．
8. 【答案】a≤1；
【解析】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，
解不等式x﹣a＜0，x＜a．
∵不等式组
无解，
∴a≤1．
9.【答案】1；
【解析】由不等式
2
2
x
a
解得x≥4—2a．由不等式2x-b＜3，解得
3
2
b
x
．
∵ 0≤x＜1，∴ 4-2a＝0，且
3
1
2
b
，∴ a＝2，b＝-1．∴ a+b＝1．
10．【答案】7， 37；
【解析】设有x 个儿童，则有0＜(4x+9)-6(x-1)＜3．
11.【答案】3 或-3 ；
【解析】根据新规定的运算可知bd＝2，所以b、d 的值有四种情况：①b＝2，d＝1；
②b＝1，d＝2；③b＝-2，d＝-1；④b＝-1，d＝-2．所以b+d 的值是3 或-3．
12.【答案】(1) 4＜x＜28 (2)4＜b＜6 (3)2a；
【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）解不等式组
2
3
1
3
1 3(
1)
6
x
x
x
x
①
②
解不等式①，得x＞5，
解不等式②，得x≤-4．
因此，原不等式组无解．
(2)把不等式
1
2
1
x
x
进行整理，得
1
0
2
1
x
x
，即1
0
2
1
x
x
，
则有①1
0
2
1
0
x
x
或②1
0
2
1
0
x
x
解不等式组①得1
1
2
x
；解不等式组②知其无
解，
故原不等式的解集为1
1
2
x
.
（3）解不等式组
2
1
0
3
1
0
3
2
0
x
x
x
①
②
③
解①得：
1
2
x
，
解②得：
1
3
x
，
解③得：
2
3
x
，
将三个解集表示在数轴上可得公共部分为：1
2
≤x＜2
3
所以不等式组的解集为：1
2
≤x＜2
3
(4) 原不等式等价于不等式组：
2
1
5
3
2
1
5
3
x
x
①
②
解①得：
7
x ，
解②得：
8
x
，
所以不等式组的解集为：7
8
x
14.【解析】
解：（1）解方程组
2
7
2
4
3
x
y
a
x
y
a
，得
8
11
3
10
2
3
a
x
a
y
根据题意，得
8
11
0
3
10
2
0
3
8
11
10
2
3
3
a
a
a
a
①
②
③
解不等式①得
11
8
a
．解不等式②得a ＜5，解不等式③得
1
10
a
，①②③的解集
在数轴上表示如图．
∴ 上面的不等式组的解集是
11
1
8
10
a
．
（2）∵
11
1
8
10
a
．
∴ 8a +11＞0，10a +1＜0．
∴ |8a +11|-|10a +1|＝8a +11-[-(10a +1)]＝8a +11+10a +1＝18a +12．
15.【解析】
解：（1）设每个气排球的价格是x 元，每个篮球的价格是y 元．
根据题意得：
解得：
所以每个气排球的价格是50 元，每个篮球的价格是80 元．
（2）设购买气排球x 个，则购买篮球（50﹣x）个．
根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200
解得x≥26 ，
又∵排球的个数小于30 个，
∴排球的个数可以为27，28，29，
∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，
∴当购买排球29 个，篮球21 个时，费用最低．
29×50+21×80=1450+1680=3130 元．
