专题2.4 函数的图象与函数的零点问题【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数图象的画法与图象变换】..................................................................................................................2
【题型2 函数图象的识别】......................................................................................................................................3
【题型3 函数图象的应用】......................................................................................................................................5
【题型4 函数零点所在区间的判断】......................................................................................................................6
【题型5 求函数的零点或零点个数】......................................................................................................................7
【题型6 根据函数零点的分布求参数】..................................................................................................................7
【题型7 根据函数零点个数求参数范围】..............................................................................................................8
【题型8 函数零点的大小与范围问题】..................................................................................................................9
1、函数的图象与函数的零点问题
函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以
选择题或填空题的形式出现，难度不大.
函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出
现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大.
【知识点1 函数的图象问题】
1.作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描
出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2.函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【知识点2 函数的零点问题】
1.函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合
函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个
不同的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期
函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2.已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两
个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确
画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【题型1 函数图象的画法与图象变换】
【例1】（2023 上·北京·高三校考阶段练习）要得到函数y =
x
x -1
的图象，只需将函数y = 1
x
的图象（ ）
A．向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
B．向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
C．向左平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
D．向左平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
【变式1-1】（2023 上·甘肃武威·高一统考开学考试）将函数y =|- x
2+1|+2
向左、向下分别平移2 个、3
个单位长度，所得图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 上·陕西汉中·高一校考期中）已知函数f (x)=¿.
(1)求f (6)，f (-1)的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出y = f (x)的简图（不用列表）.
【变式1-3】（2023 上·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：
(1)y = 2 x -1
x -1
；
(2)y = x
2-2| x|-1．
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2022·天津南开·统考一模）函数y =(x
2-1)e
x的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数y = f (x)的图象如图1 所示，则图2 对应的函数有可能
是（ ）
A．x
2f (x)
B．f (x)
x
2
C．xf (x)
D．x f
2(x)
【变式2-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）函数y =(x
3- x)⋅3
| x|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2020 上·广东·高三校联考阶段练习）函数f (x)= x
2sin x - x cos x在[- π ,π ]上的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 函数图象的应用】
【例3】（2023·河南郑州·统考二模）若函数f (x)=
2
a x
2+bx +c
的部分图象如图所示，则f (5)=（ ）
A．- 1
3
B．- 2
3
C．- 1
6
D．- 1
12
【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）如图为函数y = f (x)和y = g(x)的图象，则不等式f (x)⋅g(x)<0
的解集为（ ）
A．(-∞,-1)∪(-1,0)
B．(-∞,-1)∪(0,1)
C．(-1,0)∪(1,+∞)
D．(0,1)∪(1,+∞)
【变式3-2】（2023 上·浙江·高一校联考期末）函数y =
a
(x -b)|x -c|的图像如图所示，可以判断a，b，c
分别满足（ ）
A．a<0，b>0，c =0
B．a>0，b>0，c =0
C．a<0，b=0，c>0
D．a<0，b=0，c =0
【变式3-3】（2023·陕西西安·统考三模）定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y = f (x)和y = g(x)的
图象如图所示，则方程f [g(x)]=0解的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型4 函数零点所在区间的判断】
【例4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数f (x)=3
x+ x -6有一个零点x = x0，则x0属于
下列哪个区间（ ）
A．(
1
2 ,1)
B．(1, 3
2)
C．(
3
2 ,2)
D．(2, 5
2)
【变式4-1】（2023·海南·模拟预测）函数f ( x )=1
x -ln x +2的零点所在的大致区间为（ ）
A．(1,e)
B．(e,e
2)
C．(e
2,e
3)
D．(e
3,e
4)
【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数
f ( x)=2
x+ log2 x ,g( x)=(
1
2)
x
- log2 x ,h( x)= x
3+ log2 x的零点分别为a,b,c，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．b>c>a
【变式4-3】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数f (x)=¿，若方程f ( x)=1的实根在区间
(k ,k +1),k ∈Z上，则k 的最大值是（ ）
A．-3
B．-2
C．1
D．2
【题型5 求函数的零点或零点个数】
【例5】（2023·陕西西安·西安校考模拟预测）函数f (x)=1-lg(3
x+2)的零点为（ ）
A．log38
B．2
C．log37
D．log25
【变式5-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f ( x)=¿，则函数y = f ( x)- log2 x的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式5-2】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，
对任意x∈R，都有f (x +2)+ f (2- x)=0，当x∈(0,2)时，f (x)=ln x，则f (x)在[-10,10]上的零点个数
为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．21
【变式5-3】（2023·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数y = f ( x)，对于∀x∈R都有
f (1+ x)= f (1- x)，当-1≤x<0时，f ( x)= log2(- x)，则函数g( x)= f ( x)-2在(0,8)内所有的零点之
和为（ ）
A．16
B．12
C．10
D．8
【题型6 根据函数零点的分布求参数】
【例6】（2023 上·山东青岛·高一校考阶段练习）已知函数f (x)=a x
2- 4 x -1(a≠0)在区间(-1,1)内恰有
一个零点，则满足条件的所有实数a的集合是（ ）
A．(-3,0)∪(0,5)
B．[-3,0)∪(0,5]
C．{- 4}∪(-3,0)∪(0,5)
D．{- 4}∪[-3,0)∪(0,5]
【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知函数f ( x)=3ax -1-2a在区间(-1,1)上存在零点，则实数a的取
值范围是
A．(-∞,-1)∪(
1
5 ,+ ∞)
B．(
1
5 ,+∞)
C．(-∞,- 1
5)∪(1,+ ∞)
D．(-∞,- 1
5)
【变式6-2】（2023·云南·统考二模）设x1, x2是关于x 的方程x
2+(a-1) x +a+2=0的根．若
-1< x1<1,1< x2<2，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(- 4
3 ,-1)
B．(- 3
4 , 1
2)
C．(-2,1)
D．(-2,-1)
【变式6-3】（2022·高一课时练习）已知函数f ( x)=m x
2-3 x +1的零点至少有一个大于0，则实数m的取
值范围为（ ）
A．(-∞,2)
B．(-∞, 9
4 ]
C．(-∞, 9
4 )
D．(-∞,2]
【题型7 根据函数零点个数求参数范围】
【例7】（2023 上·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数f (x)=¿，若函数g(x)= f (x)+m有3 个零点，则
m的取值范围是（ ）
A．(0,2)
B．(-2,0)
C．(0,1)
D．(-1,0)
【变式7-1】（2023 上·四川凉山·高一校联考期末）设函数f ( x)=¿，若方程f
2( x)-af ( x)-a+3=0有6
个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．(
3
2 , 7
3)
B．(2, 7
3)
C．(
7
3 ,3)
D．(3,4)
【变式7-2】（2023 上·山东滨州·高一校考竞赛）已知函数f (x)=¿.
(1)求f (4)的值；
(2)若关于x的方程f
2(x)-2tf (x)- f (x)+t
2+t =0(t ≤0)有且仅有四个不相等的实数解，求t的取值范围.
【变式7-3】（2023 上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知a>0且a≠1，函数f (x)= loga x - x.
(1)若a=e且x∈[
1
e ,e]，求函数f (x)的最值；
(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围.
【题型8 函数零点的大小与范围问题】
【例8】（2023 下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数f (x)=min{x|x -2a|, x
2-6ax +8a
2+ 4}（a>1），
其中min( p,q)=¿，若方程f (x)= 5
2
恰好有3 个不同解x1，x2，x3（x1< x2< x3），则x1+ x2与x3的大小关
系为（ ）
A．不能确定
B．x1+ x2= x3
C．x1+ x2< x3
D．x1+ x2> x3
【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数f (x)=¿，若存在f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)，且x1，x2，x3
两两不相等，则x1+ x2+ x3的取值范围为（ ）
A．(-1,1)
B．(-1,1]
C．(0,1]
D．[0,1]
【变式8-2】（2023·广西·模拟预测）已知函数f (x)=2ln(x +1)+ 1
2 x
2-2 x +m有三个零点，m∈R.
(1)求m的取值范围；
(2)记三个零点为x1, x2, x3，且x1< x2< x3，证明：x3- x1<2.
【变式8-3】（2023 下·湖南·高二校联考期末）已知函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx(a≠0)，且6a+b=0，
f (1)= 4 a．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若x∈[0,3]，函数F( x)= f ( x)- x e
- x有三个零点x1
，x2
，x3
，且x1< x2< x3
，试比较x1+ x2+ x3
与2 的
大小，并说明理由．
1．（2018·浙江·高考真题）函数y=2
| x|sin 2 x的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·天津·统考高考真题）设a∈R，函数f ( x)=¿，若f ( x)在区间(0,+∞)内恰有6 个零点，则a
的取值范围是（ ）
A．(2, 9
4]∪(
5
2 , 11
4 ]
B．(
7
4 ,2)∪(
5
2 , 11
4 )
C．(2, 9
4]∪[
11
4 ,3)
D．(
7
4 ,2)∪[
11
4 ,3)
3．（2023·天津·统考高考真题）若函数f (x)=a x
2-2 x -|x
2-ax +1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为
．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=cosωx -1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3 个零点，则ω
的取值范围是 ．
5．（2022·天津·统考高考真题）设a∈R，对任意实数x，记f (x)=min{|x|-2, x
2-ax +3a-5}．若f (x)
至少有3 个零点，则实数a的取值范围为 .
6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数f ( x)=|lg x|-kx -2，给出下列四个结论：
①若k =0，f ( x)恰 有2 个零点；
②存在负数k，使得f ( x)恰有1 个零点；
③存在负数k，使得f ( x)恰有3 个零点；
④存在正数k，使得f ( x)恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
7．（2018·全国·高考真题）已知函数f (x)=1
3 x
3-a(x
2+ x +1)．
（1）若a=3，求f (x)的单调区间；
（2）证明：f (x)只有一个零点．
8．（2018·全国·高考真题）已知函数f (x)=e
x -a x
2．
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f (x)≥1；
（2）若f (x)在(0,+∞)只有一个零点，求a的值.
