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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题23 平面向量第二缉
1．【2018 年河北预赛】在矩形ABCD 中，已知AB=3，BC=1，动点P 在边CD 上.设
∠PAB=α ，∠PBA = β，则⃑PA ⋅⃑PB
cos(α + β)的最大值为________.
【答案】-3
【解析】
因为⃑PA ⋅⃑PB
cos(α + β) =-|⃑PA|⋅|⃑PB|，所以问题转化为求|⃑PA|⋅|⃑PB|的最小值.
由等面积法可得1
2|⃑PA|⋅|⃑PB|⋅sin ∠APB = 1
2 ×3×1.
所以|⃑PA|⋅|⃑PB|=
3
sin ∠APB
.
当∠APB = π
2
，即sin∠APB =1时，所求最大值为-3.
2．【2018 年浙江预赛】设|⃑AB|=10.若平面上点P 满足，对于任意t ∈R,有|⃑AP -t⃑AB|≥3，则⃑PA ⋅⃑PB
的最小值为________，此时⃑PA +⃑PB =________.
【答案】-16 6
【解析】
由|⃑AP -t⃑AB|≥3可知点P 到直线AB 的距离为3.
设AB 的中点为O.由极化恒等式得：⃑
PA ⋅⃑PB = 1
4 {(⃑PA +⃑PB)
2-(⃑PA -⃑PB)
2}= 1
4 {(2 PO)
2-10
2}≥1
4
{36-100}=-16.
此时|⃑PA +⃑PB|=6.
3．【2018 年全国】设O 为△ABC 的外心，若⃑AO =⃑AB+2⃑AC，则sin∠BAC 的值为
.
【答案】
❑√10
4
【解析】不失一般性，设△ABC 的外接圆半径R=2.由条件知，
2⃑AC =⃑AO -⃑AB =⃑BO，①
故AC = 1
2 BO =1.
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取AC 的中点M，则OM⊥AC，结合①知OM⊥BO，且B 与A 位于直线OM 的同侧.
于是cos∠BOC=cos（90°+∠MOC）=-sin∠MOC=- MC
OC =- 1
4
.
在△BOC 中，由余弦定理得BC =
❑√O B
2+OC
2-2OB⋅OC ⋅cos∠BOC = ❑√10
.
进而在△ABC 中，由正弦定理得sin ∠BAC = BC
2 R =
❑√10
4
.
4．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设O 为△ABC 的外心，若⃑AO =⃑AB+2⃑AC，则sin∠BAC 的值
为
.
【答案】
❑√10
4
【解析】不失一般性，设△ABC 的外接圆半径R=2.由条件知，2⃑AC =⃑AO -⃑AB =⃑BO
①
故AC = 1
2 BO =1.
取AC 的中点M，则OM⊥AC，结合①知OM⊥BO，且B 与A 位于直线OM 的同侧.
于是cos∠BOC =cos(90
°+∠MOC)=-sin ∠MOC =- MC
OC =- 1
4
.
在△BOC 中，由余弦定理得BC =
❑√O B
2+OC
2-2OB⋅OC ⋅cos∠BOC = ❑√10
，
进而在△ABC 中，由正弦定理得sin ∠BAC = BC
2 R =
❑√10
4
.
5．【2017 年辽宁预赛】在△ABC中,AB = ❑√2, AC = ❑√3,∠BAC =30
∘, P是△ABC所在平面上任意一点,
则μ=⃗PA ⋅⃗PB+⃗PB⋅⃗PC +⃗PC ⋅⃗PA的最小值是
.
【答案】
❑√2
2 - 5
3
【
解
析
】
提
示
:
依
题
意
μ=⃗PA ⋅⃗PB+⃗PB⋅⃗PC +⃗PC ⋅⃗PA =⃗PA ⋅(⃗PA +⃗AB)+(⃗PA +⃗AB)⋅(⃗PA +⃗AC)+(⃗PA +⃗AC)⋅⃗PA =3⃗PA
2+2(⃗AB+⃗AC)⋅⃗P
则μmin=- 1
3 (⃗AB+⃗AC)
2+⃗AB⋅⃗AC =- 1
3 (⃗AB
2+⃗AC
2)+ 1
3⃗AB⋅⃗AC =
❑√2
2 - 5
3 .
6．【2017 年山东预赛】设I为△ABC的内心,且3⃗IA + 4⃗IB+5⃗IC =⃗0,则角C的大小为
.
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【答案】90
∘
【解析】提示：设a、b、c分别为角A 、B、C的对边,过I分别作△ABC三边的平行线,交点分别为
D、N , E、M 、F 、G,
因
为
I为
△ABC的
内
心
,
则
AN = AG = λ1,BD = BE = λ2,CF =CM = λ3.⃗AI =⃗AN +⃗AG = λ1(⃗
AB
c +⃗AC
b )⃗BI =⃗BD+⃗BE = λ2(⃗
BA
c +⃗BC
a )⃗CI =⃗CF +⃗C
由此得⃗AI
λ1
+⃗BI
λ2
+⃗CI
λ3
⇒⃗0.
因为MN // AC,则AN
c = CM
a
,同理可得BD
c = CF
b
,
所以λ1
λ3
= c
a , λ2
λ3
= c
b
,即1
λ1
: 1
λ2
: 1
λ3
=a:b:c ,
因此a⃗IA +b⃗IB+c⃗IC⃗0,由已知3⃗IA + 4⃗IB+5⃗IC =⃗0得△ABC三边之比为a:b:c =3:4:5,
即∠C =90
∘.
7．【2017 年湖北预赛】已知O为△ABC的外心,D为BC的中点,若⃗AO⋅⃗AD = 4 ,BC =2❑√6,则AD =
.
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【答案】❑√2
【解析】提示：由外心及中点的性质,得4 =⃗AO⋅⃗AD = 1
2⃗AO⋅(⃗AB+⃗AC)= 1
4 (⃗AB
2+⃗AC
2),即b
2+c
2=16.
所
以⃗
AD
2= 1
4 (⃗AB+⃗AC)
2= 1
4 (⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC)= 1
4(c
2+b
2+2bc⋅b
2+c
2-a
2
2bc )= 1
4 [2(b
2+c
2)-a
2]= 1
4
(2×16-24
故AD = ❑√2.
8．【2017 年甘肃预赛】已知⃗a=(λ+2, λ
2-cos
2α),⃗b=(m, m
2 +sinα)
,其中λ ,m、α为实数,若⃗a=2⃗b
,则
λ
m
的取值范围是
.
【答案】[-6,1]
【解析】提示：由题意知,2⃗b=(2m,m+2sinα ),所以λ+2=2m,且λ
2-cos
2α =m+2sinα
,
于是2 λ
2-2cos
2α = λ+2+ 4sinα ,即2 λ
2- λ =-2sin
2α + 4sinα + 4 =-2(sinα -1)
2+6,
故-2≤2 λ
2- λ≤6,即{
2 λ
2- λ≤6,
2 λ
2- λ≥-2,
解得- 3
2 ≤λ≤2,则
λ
m =
λ
λ
2 +1
=2-
4
λ+2 ∈[-6,1].
9．【2017 年黑龙江预赛】已知⃗a和⃗b的夹角为120
∘,且|⃗a|=2,|⃗b|=5,则(2⃗a-⃗b)⋅⃗a=
.
【答案】13
【解析】提示:(2⃗a-⃗b)⋅⃗a=2|⃗a|
2-⃗a⋅⃗b=13.
10．【2017 年贵州预赛】已知P为△ABC的外心,且⃗PA +⃗PB = λ⃗PC ,tanC = 12
5
,则实数λ的值为
.
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【答案】- 10
13
【解析】提示:设AB的中点为D,则⃗PA +⃗PB =2⃗PD,又⃗PA +⃗PB = λ⃗PC,故C 、P , D三点共线,
又P为△ABC的外心,于是CD⊥AB.
由tanC = 12
5 ⇒cosC = 5
13 ,所以λ=- 2|PD|
|PC| =- 2|PD|
|PA| =-2cos∠PAD =-2cosC =- 10
13.
11．【2017 年安徽预赛】设平面向量⃗α ,⃗β满足|⃗α +2⃗β|=3,|2⃗α +3⃗β|= 4,则⃗α ⋅⃗β的最小值是
.
【答案】-170
【解析】提示:设⃗α +2⃗β =⃗u,2⃗α +3⃗β =⃗v ,|⃗u|=3,|⃗v|= 4.
由⃗α =2⃗v -3⃗u,⃗β =2⃗u-⃗v可得⃗α ⋅⃗β =-6|⃗u|
2-2|⃗v|
2+7⃗u⋅⃗v.
当⃗u⋅⃗v =-12时,⃗α ⋅⃗β =-54 -32-84 =-170为最小值.
12 ．【2017 年浙江预赛】已知平面向量⃗a,⃗b,⃗c, 满足|⃗a|=1,|⃗b|=2,|⃗c|=3,0< λ<1. 若⃗b⋅⃗c =0, 则
|⃗a- λ⃗b-(1- λ)⃗c|
所有取不到的值为
.
【答案】(-∞, 6
13
❑√13-1)∪(4 ,+∞)
【解析】提示:将向量⃗b,⃗c的起点平移至原点O,再以⃗b,⃗c分别为x , y轴正方向建立平面直角坐标系,
则向量λ⃗b+(1- λ)⃗c对应的点坐标为P(2 λ ,3(1- λ)),
于是OP =
❑√13 λ
2-18 λ+9
,
而|⃗a- λ⃗b-(1- λ)⃗c|表示的是点P到单位圆周上的距离d,则d的上界为4,下界为6
13
❑√13-1.
故所有取不到的值为(-∞, 6
13
❑√13-1)∪(4 ,+∞)
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13．【2017 年湖南预赛】已知A 、B、C为⊙O上三点,且⃗AO = 1
2 (⃗AB+⃗AC),则数量积⃗AB.⃗AC =
.
【答案】0
【解析】提示：设AD为⊙O的直径,连结DB、DC,
则由⃗AO = 1
2 (⃗AB+⃗AC)得⃗AD =⃗AB+⃗AC,
故四边形ABCD为圆内接平行四边形,必为矩形,∠BAC =90
∘,⃗AB⋅⃗AC =0.
14．【2017 年新疆预赛】设平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a+⃗b|=3,则⃗a⋅⃗b的最大值为
.
【答案】9
4
【解析】提示:由于⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2-(⃗a-⃗b)
2]= 1
4 [9-(⃗a-⃗b)
2]≤9
4 ,
其中当且仅当⃗a=⃗b时等号成立.
故⃗a⋅⃗b的最大值为9
4
.
15．【2016 年福建预赛】在空间四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5.则⃗AC ·⃗BD =________.
【答案】7
【解析】
以⃗AB 、⃗BC 、⃗CD为基底向量.
则⃗AD
2=(⃗AB+⃗BC +⃗CD)
2⇒⃗AD
2=(⃗AB+⃗BC +⃗CD)
2
⇒⃗AD
2=⃗AB
2+⃗BC
2+⃗CD
2+2⃗AB·⃗BC +2⃗AB·⃗CD+2⃗BC ·⃗CD
⇒25= 4 +9+16+2(⃗AB·⃗BC +⃗AB·⃗CD +⃗BC ·⃗CD)
⇒⃗AB·⃗BC +⃗AB·⃗CD +⃗BC ·⃗CD =-2.
故⃗AC ·⃗BD =(⃗AB+⃗BC )·(⃗BC +⃗CD ) =⃗AB·⃗BC +⃗AB·⃗CD +⃗BC ·⃗CD +⃗BC ·⃗BC
=-2+9=7.
16．【2016 年山东预赛】在P 为△ABC的外心，且⃑PA +⃑PB+ λ⃑PC =0,∠C =120°.则实数λ的值为
________.
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【答案】-1
【解析】
设△ABC 的外接圆的半径为R．由已知得
|⃑PA +⃑PB|
2+ λ
2|⃑PC|
=|⃑PA|
2+|⃑PB|
2-2|⃑PA||⃑PB|cos C
2
= R
2+ R
2-2 R
2⋅1
2 = R
2= λ
2 R
2
⇒λ =±1.
由题意得λ =±1.
17 ．【2016 年天津预赛】设向量a1=(1,5),a2=(4 ,-1),a3=(2,1), λ1、λ2、λ3
均为非负实数, 入
λ+ λ2
2 + λ3
3 =1.那么,|λ1a1+ λ2a2+ λ3a3|的最小值为______.
【答案】3 ❑√2
【解析】
令b1=a1=(1,5),b2=2a2=(8,-2)
b3=3a3=(6,3), P1= λ11, P2= λ2
2 , P3= λ3
3
，
则λ1a1+ λ2a2+ λ3a3= p1b1+ p2b2+ p3b3.
于是,问题转化为在p1、p2、p3
均为非负实数,且p1+ p2+ p3=1的条件下,求|p1b1+ p2b2+ p3b3|的最小值.
记O(0,0), A (1,5),B (8,-2),C (6,3),
⃑OP = p1b1+ p2b2+ p3b3
.
则p1、p2、p3均为非负实数, p1+ p2+ p3=1的条件就对应于P 为△ABC 内(含边界)一点.
由图形,知当P 为线段AB 上(3,3)这一点时, OP⊥AB,此时,
|⃑OP|=|p1b1+ p2b2+ p3b3|取得最小值3 ❑√2.
18．【2016 年吉林预赛】给定平面上四点O、A、B、C，满足OA = 4 ,OB =3,OC =2,⃑OB⋅⃑OC =3.则
S△ABC的最大值为________.
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【答案】2❑√7+ 3 ❑√3
2
【解析】
试题分析：
由已知⃗OB⋅⃗OC =3=3×2×cos∠BOC，得∠BOC =60°，由余弦定理可得BC = ❑√7，从而ΔOBC中边
BC边上的高为3 ❑√3
❑√7
，由OA = 4知点A在以O为圆心，4 为半径的圆上，A到直线BC的距离最大值为
4+ 3 ❑√3
❑√7
，∴ΔABC面积的最大值为1
2 ×(4 + 3 ❑√3
❑√7 )×❑√7 =2❑√7+ 3 ❑√3
2
．
考点：向量的数量积，三角形面积最大值．
19 ．【2016 年新疆预赛】在平面直角坐标系xOy中，点A 、B在抛物线y
2=2 x上，满足⃑
OA ⋅⃑OB =-1，F为抛物线的焦点. 则S△OFA+ S△OFB的最小值为______.
【答案】
❑√2
2
【解析】
易知，F(
1
2 ,0)
. 设A(x1, y1)，B(x2, y2).则x1= y1
2
2 ，x2= y2
2
2
.
注意到，-1=⃑OA ⋅⃑OB = x1 x2+ y1 y2 = 1
4 ( y1 y2)
2+ y1 y2.
从而，y1 y2=-2.
故S△OFA+ S△OFB
= 1
2|OF||y1|+ 1
2|OF||y2| = 1
4 (|y1|+|y2|)≥1
2
❑√|y1 y2|=
❑√2
2
，
其中，当且仅当|y1|=|y2|= ❑√2，即点A (1,❑√2)、B(1,- ❑√2)或A (1,- ❑√2)、B(1,❑√2)时，上式等号成
立.从而，S△OFA+ S△OFB取得最小值
❑√2
2
.
9 / 15
20．【2016 年四川预赛】已知△ABC 的外心为O，且2⃑OA +3⃑OB+ 4⃑OC =0，则cos∠BAC =________.
【答案】1
4
【解析】
不妨设△ABC 的外接圆半径为1.
由2⃑OA +3⃑OB+ 4⃑OC =0⇒2⃑OA =-3⃑OB - 4⃑OC
⇒4 =9+16+24⃑OB⋅⃑OC ⇒⃑OB⋅⃑OC =- 7
8
.
类似地，⃑OA ⋅⃑OC =- 11
16 ，⃑OA ⋅⃑OB = 1
4
.
则⃑AB⋅⃑AC =(⃑OB -⃑OA)⋅(⃑OC ⋅⃑OA)=⃑OB⋅⃑OC -⃑OA ⋅⃑OC -⃑OA ⋅⃑OB+⃑OA ⋅⃑OA
=- 7
8 + 11
16 - 1
4 +1= 9
16
.
又|⃑AB|
2=(⃑OB -⃑OA)⋅(⃑OB -⃑OA)=2-2× 1
4 = 3
2
，
|⃑AC|
2=(⃑OC -⃑OA)⋅(⃑OC -⃑OA)=2-2(- 11
16)= 27
8
.
故cos∠BAC =⃑AB⋅⃑AC
|⃑AB||⃑AC|= 1
4
.
21．【2016 年湖北预赛】已知MN 是边长为2❑√6的等边△ABC 的外接圆的一条动弦，MN=4，P 为△ABC
边上的动点．则|⃑MP⋅⃑PN|的最大值为_______.
【答案】4
【解析】
设△ABC 外接圆的圆心为0．
易求得⊙O的半径为r =2❑√2．
又MN=4，故△OMN 为等腰直角三角形，且⃑
OM ⋅⃑ON =0 ，|⃑OM +⃑ON|= 4.
设⃑OP = x.
则❑√2≤x ≤2❑√2，⃑
MP⋅⃑PN =(⃑OP -⃑OM )⋅(⃑ON -⃑OP)
=-⃑OP
2+(⃑OM +⃑ON )⋅⃑OP -⃑OM ⋅⃑ON
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=- x
2+(⃑OM +⃑ON )⋅⃑OP
≤- x
2+|⃑OM +⃑ON||⃑OP|
=- x
2+ 4 x = 4 -(x -2)
2≤4，
当且仅当x＝2 且⃑OP与⃑OM +⃑ON同向时，上式等号成立．
因此，⃑MP⋅⃑NP的最大值为4．
22 ．【2016 年河南预赛】在ΔABC中，AB =2, AC =1,BC = ❑√7 ,O 为ΔABC的外心，且⃑
AO = λ⃑AB+ μ⃑AC。则λ+ μ=______________。
【答案】13
6
【解析】
在ΔABC中，由余弦定理得
∠BAC =120
°⇒⃑AB⋅⃑AC =-1.
又O 为ΔABC的外心，故
¿ ,
⇒¿ ,
⇒¿ .
23．【2016 年甘肃预赛】已知⃑OP =(2,1),⃑OA =(1,7),⃑OB =(5,1).设C 为直线OP 上的一点（为为坐标原
点）.当⃑CA ⋅⃑CB取到最小值时，⃑OC的坐标为___________.
【答案】(4,2)
【解析】
由题意，知向量⃑OC 与⃑OP共线.
不妨设.⃑OC =t⃑OP.
则⃑OC =t (2,1)=(2t ,t ).⃑
CA =⃑OA -⃑OC =(1-2t ,7 -t ),⃑CB =⃑OB -⃑OC =(5-2t ,1-t ),⃑
CA ⋅⃑CB =(1-2t )(5-2t )+(7-t )(1-t )=5t
2-20t +12=5(t -2)
2-8
.
故当t =2时，⃑CA ⋅⃑CB取得最小值.此时，⃑OC =(4,2).
24．【2015 年全国】在矩形ABCD中，AB =2，AD =1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延
长线上（包含点B）的动点Q满足|⃗DP|=|⃗BQ|.则向量⃗PA 与⃗PQ的数量积⃗PA ⋅⃗PQ的最小值为______.
11 / 15
【答案】3
4
【解析】
不妨设点A(0,0)，B(2,0)，D(0,1).
设点P(t ,1)(0≤t ≤2).
则由|⃗DP|=|⃗BQ|，得Q(2,-t ).
故⃗PA =(-t ,-1)，⃗PQ =(2-t ,-t -1),
⇒⃗PA ⋅⃗PQ =(-t )(2-t )+(-1)(-t -1),
=t
2-t +1=(t - 1
2 )
2
+ 3
4 ≥3
4
,
当t = 1
2
时，(⃗PA ⋅⃗PQ)min= 3
4
.
故答案为：3
4
25 ．【2015 年浙江预赛】设向量a、b的夹角为π
3
，向量c -a、c -b的夹角为
2π
3 ，|a-b|=5，|c -a|=2❑√3.则a⋅c的最大值为______.
【答案】24
【解析】
设⃑OA =a，⃑OB =b，⃑OC =c.
则|⃑AC|=|c -a|=2❑√3，|⃑AB|=|a-b|=5.
又∠AOB =π
3 ，∠ACB = 2π
3
，此时，O、A 、C 、B四点共圆.
由正弦定理得sin ∠ABC = 3
5 ⇒cos∠ABC = 4
5
.
在△ACO中，由∠AOC =∠ABC，结合余弦定理得
A C
2=|a|
2+|c|
2-2|a||c|cos∠AOC ⇒12≥2|a||c|- 8
5|a||c|
⇒a⋅c =|a||c|cos∠AOC ≤24.
当∠ACO =π
4 + 1
2 arctan 4
3
时，以上各不等式等号成立.
12 / 15
因此，a⋅c的最大值为24.
26．【2015 年四川预赛】在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PA=2,
PC = ❑√21,则⃑PB⋅⃑PD = .
【答案】【答题空11-1】0
【解析】
如图.设AC 与BD 交于点E，联结PE.则E 为AC、BD 的中点.
注意到，⃑PB⋅⃑PD = 1
4 [(⃑PB+⃑PD)
2-(⃑PB -⃑PD)
2]
= 1
4 [(2⃑PE)
2-(⃑DB)
2]=|⃑PE|
2- 1
4|⃑DB|
2.
类似地，⃑PA ⋅⃑PC =|⃑PE|
2- 1
4|⃑CA|
2.
又|⃑DB|=|⃑CA|,于是，⃑PB⋅⃑PD =⃑PA ⋅⃑PC.
由AC = BD =
❑√3
2+ 4
2=5=
❑√P A
2+ PC
2⇒∠APC =90
∘
故⃑PB⋅⃑PD =⃑PA ⋅⃑PC =0.
27．【2015 年安徽预赛】设平面向量α 、β满足1≤|α| 、|β| 、|α + β|≤3.则α ⋅β的取值范围是______.
【答案】[- 17
2 , 9
4]
【解析】
注意到，α ⋅β = 1
2 (|α + β|
2-|α|
2-|β|
2)
≥1-9-9
2
=- 17
2
，
α ⋅β = 1
4 (|α + β|
2-|α - β|
2)≤9
4
.
13 / 15
例如：设|α|=|β|=t ，|α + β|= 4 -t ，
4
1+ ❑√2 ≤t ≤3，则α ⋅β的值域覆盖[- 17
2 ,0]
；设
|α|=|β|=t ，|α + β|=3，3
2 ≤t ≤3
❑√2
，则α ⋅β的值域覆盖[0, 9
4]
.
因此，α ⋅β的取值范围是[- 17
2 , 9
4]
.
28．【2015 年陕西预赛】设O 为△ABC的外心，且满足⃑OA +⃑OB =⃑OC.则∠ACB =______.
【答案】2π
3
【解析】
由⃑OA +⃑OB =⃑OC，知四边形OACB为平行四边形.
又|OA|=|OB|=|OC|，所以，平行四边形OACB为菱形，且∠OAC =∠OBC =π
3
.
从而，∠ACB = 2π
3
.
29．【2015 年黑龙江预赛】如图1，在△ABC 中，O为边BC 的中点，过O的直线分别与直线AB、AC交
于不同的两点M 、N.若⃑AB =m⃑AM ,⃑AC =n⃑AN,则m+n=___________.
【答案】2
【解析】
试题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，
其系数和为一．
∵M、O、N 三点共线，∴m
2 + n
2 =1，∴m+n=2．
考点：平行向量与共线向量．
14 / 15
30．【2015 高中数学联赛（第01 试）】在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，边DC 上(包含点D，C)的动点P
与CB 延长线上(包含点B)的动点Q 满足| DP|=|BQ|，则向量PA与向量PQ的数量积PA ⋅PQ的最小值
为
.
【答案】3
4
【解析】不妨设A(0，0)，B(2，0)，D(0，1).设P 的坐标为(t，1)(其中0≤t≤2)，
则由| DP|=|BQ|得Q 的坐标为(2，－t)，故PA =(-t ,-1)，PQ =(2-t ,-t -1),
因此PA ⋅PQ =(-t )⋅(2-t )+(-1)⋅(-t -1)=t
2-t +1=(t - 1
2)
2
+ 3
4 ⩾3
4
，
当t = 1
2
时( PA ⋅PQ)min= 3
4
.
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