1 / 5
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题22 平面向量第一缉
1．【2021 年福建预赛】如图,在四边形ABCD 中,已知cos∠BAD = 3
4 ,∠BAC =∠DAC , AD< AB ,且
AB =5 ,
AC = BD = ❑√14 . 若⃑AC = λ⃑AB+ μ⃑AD ( λ , μ∈R) ,则λ+ μ=
.
2．【2021 年重庆预赛】已知点H 是△ABC 的垂心，且满足⃑HA +2⃑HB+6⃑HC =⃑0 ,则角B =
3．【2021 年浙江预赛】已知单位向量⃗a,⃗b ,则|⃗a-2⃗b| 的取值范围为
.
4 ．【2021 年广西预赛】已知⃗m 为非零向量，⃗n 为单位向量,⃗m≠⃗n,⃗m 与⃗m-⃗n 的夹角为
60
°,|⃗m|∈(0,a] ,则a
的最小值为
.
5 ．【2021 年新疆预赛】己知A,B,C 为圆O¿ 为坐标原点) 上不同的三点, 且∠AOB = 2π
3
, 若⃑
OC = λ⃑OA + μ⃑OB( λ , μ∈R) ，则当ω= ❑√3 λ+ λ+ μ 取最大值时，λ
u =
.
6．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F1, F2
为两个焦点.若⃗A F1⋅⃗A F2+⃗B F1⋅⃗B F2=0,则| AB|
| F1 F2| 的值为
.
7．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在凸四边形ABCD 中, ⃗BC =2⃗AD点P 是四边形ABCD 所在平
面上一点,满足⃗PA +2020⃗PB+⃗PC +2020⃗PD =⃗0.设s,t 分别为四边形ABCD 与ΔPAB 的面积,则t
s
=
.
2 / 5
8．【2020 年甘肃预赛】已知等边△ABC 的边长为1,⃑AP = 1
3 (⃑AB+⃑AC ),⃑AQ =⃑AP+ 1
2⃑BC .则△APQ 的
面积为
.
9．【2020 年四川预赛】设△ABC 的外接圆圆心为O ,且3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =0 .则∠C 的大小为
.
10．【2020 年四川预赛】在平面直角坐标系中,A(1,2) ,B(3,0), P 为圆( x -3)
2+( y -2)
2=1 上任意一点.
设⃗OP = λ⃗OA + μ⃗OB( λ , μ∈R) .则11 λ+9 μ 的最小值为
.
11．【2020 年浙江预赛】已知平面上不共线的三个单位向量⃗a,⃗b,⃗c ,满足⃗a+⃗b+⃗c =⃗0 若0⩽t ⩽1 ,则
|-2⃗a+t⃗b+(1-t )⃗c| 的取值范围是
.
12．【2020 年重庆预赛】已知向量⃗a,⃗b 满足:|⃗a-⃗b|=3,|⃗a+2⃗b|=6 ,⃗a
2+⃗a⋅⃗b-2⃗b
2=-9 .则|⃗b|=
.
13．【2019 年全国】平面直角坐标系中，⃑e是单位向量，向量⃑a满足⃗a⋅⃗e =2，且|⃗a|
2≤5|⃗a+t⃑e|对任意
实数t 成立，则|⃑a|的取值范围是
.
14．【2019 年江苏预赛】在矩形ABCD中，AC =1, AE⊥BD，垂足为E，则(⃑AD⋅⃑AE)(⃑CB⋅⃑CA)的最
大值是
.
15．【2019 年浙江预赛】如图，在△ABC中，D , E , F分别为BC ,CA , AB上的点，且CD = 3
5 BC，
EC = 1
2 AC , AF = 1
3 AB.设P为四边形AEDF内一点(P点不在边界上).若⃑DP =- 1
3⃑DC + x⃑DE，则实数x的
取值范围为
.
16．【2019 年重庆预赛】已知向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|∶|⃗b|∶|⃗c|=1∶k ∶3(k ∈Z
+)，且⃗b-⃗a=2(⃗c -⃗b)，若
α为⃗a，⃗c的夹角，则cosα =________.
3 / 5
17．【2019 年福建预赛】已知I 为△ABC 的内心，且5⃑IA = 4(⃑BI +⃑CI ).记R、r 分别为△ABC 的外接圆、
内切圆半径，若r=15，则R=
.
18．【2019 年贵州预赛】在△ABC 中,⃑GA +⃑GB+⃑GC =0,⃑GA ⋅⃑GB =0.则(tan A + tan B)tanC
tan A ⋅tan B
=
.
19．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】平面直角坐标系中，⃑e已是单位向量，向量⃑a满足⃗a⋅⃗e =2，且
|⃗a|
2⩽5|⃗a+t⃗e|对任意实数t 成立，则|⃗a|的取值范围是
.
20．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】若平面向量⃗a=(2
m,-1)与⃗b=(2
m-1,2
m+1)垂直，其中m 为实
数，则a
→的模为
.
21．【2018 年江苏预赛】在ΔABC中，AB =5，AC = 4，且⃗AB⋅⃗AC =12，设P为平面ABC上的一点，
则⃗PA ⋅(⃗PB+⃗PC )的最小值是________.
22．【2018 年浙江预赛】设|⃑AB|=10.若平面上点P 满足，对于任意t ∈R,有|⃑AP -t⃑AB|≥3，则⃑PA ⋅⃑PB
的最小值为________，此时⃑PA +⃑PB =________.
23．【2018 年重庆预赛】设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P 是线段AB 上的一个动点，
，若
,
则实数λ 的取值范围是______．
24．【2018 年贵州预赛】己知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足⃑OP=⃑OA + λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
，
其λ∈[0，+∞]，则P 点的轨迹为________．
25．【2018 年广西预赛】设点Q 在△ABC 所在平面α 内，点P 在平面α 外.若对任意的实数x 和y，
|⃑AP - x⃑AB - y⃑AC|≥|⃑PQ|，则向量⃑PQ与⃑BC所成的角θ=_________.
26．【2018 年安徽预赛】设H 是△ABC 的垂心，且3⃑HA + 4⃑HB+5⃑HC =0，则cos∠AHB =
_____________.
27．【2018 年山东预赛】在△ABC中，∠BAC =60°，∠BAC的平分线AD 交BC 于D，且有⃑
AD = 1
4⃑AC +t⃑AB．若AB =8，则AD =______．
4 / 5
28．【2018 年甘肃预赛】在ΔABC中，已知AB = 4 , AC =3．如图所示，P是边BC的垂直平分线上一点，
则⃑BC ⋅⃑AP =______．
29．【2018 年吉林预赛】如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = π
2 ，AC = BC =2，点P 是斜边AB 上
一点，且BP =2 PA，那么⃑CP⋅⃑CA +⃑CP⋅⃑CB =__________.
30．【2018 年河南预赛】已知点P在△ABC内，且满足⃑AP = 1
3⃑AB+ 1
4⃑AC，设
△PBC 、△PCA 、△PAB的面积依次为S1、S2、S3，则S1:S2:S3=______．
5 / 5
