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专题二
函数概念与基本初等函数
Ⅰ
第五讲
函数与方程
答案部分
2019
年
1.解析：因为
(
1)
2 ( )
f x
f x
+
=
，所以
( )
2 (
1)
f x
f x
=
−
，
8
3
7
3
3
2
1
O
y
x
当
(0,1]
x
时，
1
( )
(
1)
,0
4
f x
x x
=
−
−
，
当
(1,2]
x
时，
1
(0,1]
x −
，
1
( )
2 (
1)
2(
1)(
2)
,0
2
f x
f x
x
x
=
−
=
−
−
−
，
当
(2,3]
x
时，
1
(1,2]
x −
，
( )
2 (
1)
4(
2)(
3)
1,0
f x
f x
x
x
=
−
=
−
−
−
，
当
(2,3]
x
时，由
8
4(
2)(
3)
9
x
x
−
−
= −
解得
7
3
x =
或
8
3
x =
，
若对任意
(
,
]
x
m
−
，都有
8
( )
9
f x
−
…
，则
7
3
m„
．
故选．
B
2.解析
作出函数
( )
f x 与( )
g x 的图像
，
如图所示
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由图可知，函数
( )
f x 与
1
( )
(1
2,3
4,5
6,7
8)
2
g x
x
x
x
x
= −
剟
剟
仅有2 个实
数根；
要使关于
的方程
x
( )
( )
f x
g x
=
有
个不同的实数根，
8
则
2
( )
1 (
1)
f x
x
=
−
−
，
(0,2]
x
与
( )
(
2)
g x
k x
=
+
，
(0,1]
x
的图象有
个不同交点，
2
由(1,0) 到直线
2
0
kx
y
k
−
+
=
的距离为，得
1
2
|3 |
1
1
k
k
=
+
，解得
1
(
0)
2 2
k
k
=
，
因为两点 ( 2,0)
−
，(1,1) 连线的斜率
1
3
k =
，
所以1
1
3
2 2
k
„
，
即k 的取值范围为1
1
[ ,
)
3 2 2
.
3.解析：当
0
x
时，
( )
(1
)
y
f x
ax
b
x
ax
b
a x
b
=
−
−
=
−
−
=
−
−，最多一个零点；
当
0
x… 时，
3
2
3
2
1
1
1
1
( )
(
1)
(
1)
3
2
3
2
y
f x
ax
b
x
a
x
ax
ax
b
x
a
x
b
=
−
−
=
−
+
+
−
−
=
−
+
−
，
2
(
1)
y
x
a
x
=
−
+
，
当 1 0
a + „
，即
1
a −
„
时，
0
y
，
( )
y
f x
ax
b
=
−
−
在
上递增，
( )
y
f x
ax
b
=
−
−
最多一个零点不合题意；
当
1
0
a +
，即
1
a −时，令
0
y
得
(
1,
)
x
a
+
+，函数递增，令
0
y
得
(0,
1)
x
a
+
，
函数递减；函数最多有个零点；
2
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根据题意函数
( )
y
f x
ax
b
=
−
−
恰有
函数
3个零点
( )
y
f x
ax
b
=
−
−
在 (
,0)
−
上有一个
零点，在
[0,
)
+上有个零点，
2
如下图：
所以
0
1
b
a
−
且
3
2
0
1
1
(
1)
(
1)(
1)
0
3
2
b
a
a
a
b
−
+
−
+
+
−
，
解得
0
b
，1
0
a
−
，
3
1 (
1)
6
b
a
−
+
．
故选
．
C
2010-2018
年
1．C【解析】函数
( )
( )
=
+
+
g x
f x
x
a 存在
个零点，即关于
2
x 的方程
( ) = −−
f x
x
a
有2
个不同的实根，即函数
( )
f x 的图象与直线
= −−
y
x a
有
个交点，作出直线
2
= −−
y
x a
与函数
( )
f x 的图象，如图所示，
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x
y
–1
–2
1
2
3
–1
–2
1
2
3
O
由图可知，
1
−≤
a
，解得
1
≥
a
，故选C．
2
C
．【解析】令
( )
0
f x =
，则方程
1
1
2
(
)
2
x
x
a e
e
x
x
−
−+
+
= −
+
有唯一解，
设
2
( )
2
h x
x
x
= −
+
，
1
1
( )
x
x
g x
e
e
−
−+
=
+
，则( )
h x 与( )
g x 有唯一交点，
又
1
1
1
1
1
( )
2
x
x
x
x
g x
e
e
e
e
−
−+
−
−
=
+
=
+
≥
，当且仅当
1
x =
时取得最小值．
2
而
2
( )
(
1)
1
1
h x
x
= −
−
+ ≤，此时
1
x =
时取得最大值，
1
( )
( )
ag x
h x
=
有唯一的交点，则
1
2
a =
．选
．
C
3
B
．【解析】当
0
1
m
≤时，1
1
m ≥
，函数
2
( )
(
1)
y
f x
mx
=
=
−
，在[0,1] 上单调递减，
函数
( )
y
g x
x
m
=
=
+
，在[0,1] 上单调递增，因为
(0)
1
f
=
，
(0)
g
m
=
，
2
(1)
(
1)
f
m
=
−
，
(1)
1
g
m
= +
，所以
(0)
(0)
f
g
，
(1)
(1)
f
g
，此时
( )
f x 与
( )
g x
在
[0,1]
x
有一个交点；当
1
m 时，
1
0
1
m
，函数
2
( )
(
1)
y
f x
mx
=
=
−
，在
1
[0,
]
m
上单调递减，在1
[
,1]
m
上单调递增，此时
(0)
(0)
f
g
，在
1
[0,
]
m
无交点，
要使两个函数的图象有一个交点，需
(1)
(1)
f
g
≥
，即
2
(
1)
1
m
m
−
+
≥
，解得
3
m≥
．
选
．
B
4．C【解析】当
0
x
时，( )
f x 单调递减，必须满足
4
3
0
2
a −
−
… ，故
3
0
4
a
„
，此时函
数
( )
f x 在
[0,
)
+上单调递减，若( )
f x 在R 上单调递减，还需3
1
a … ，即
1
3
a …
，所
以1
3
3
4
a
剟
．当
0
x … 时，函数
|
( ) |
y
f x
=
的图象和直线
2
y
x
=
−
只有一个公共点，
即当
0
x … 时，方程
|
( ) | 2
f x
x
=
−
只有一个实数解．因此，只需当
0
x
时，方程
|
( ) | 2
f x
x
=
−
只有一个实数解，根据已知条件可得，当
0
x
时，方程
2
(4
3)
x
a
x
+
−
+
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3
2
a
x
=
−
，即
2
2(2
1)
3
2
0
x
a
x
a
+
−
+
−
=
在 (
,0)
−
上恰有唯一的实数解．判别式
2
4(2
1)
4(3
2)
4(
1)(4
3)
a
a
a
a
=
−
−
−
=
−
−
，当
3
4
a =
时，
0
=
，此时
1
2
x = −
满
足题意；令
2
( )
2(2
1)
3
2
h x
x
a
x
a
=
+
−
+
−
，由题意得
(0)
0
h
，即
3
2
0
a −
，即
2
3
a
时，方程
2
2(2
1)
3
2
0
x
a
x
a
+
−
+
−
=
有一个正根、一个负根，满足要求；当
(0)
0
h
=
，即
2
3
a =
时，方程
2
2(2
1)
3
2
0
x
a
x
a
+
−
+
−
=
有一个为、一个根为
0
2
3
−
，
满足要求；当
(0)
0
h
，即
3
2
0
a −
，即2
3
3
4
a
时对称轴
(2
1)
0
a
−
−
，此时方
程
2
2(2
1)
3
2
0
x
a
x
a
+
−
+
−
=
有两个负根，不满足要求；综上实数a 的取值范围是
1 2
3
[ , ]
{ }
3 3
4
．
5
A
．【解析】
cos
y
x
=
是偶函数且有无数多个零点，
sin
y
x
=
为奇函数，
ln
y
x
=
既不是
奇函数又不是偶函数，
2
1
y
x
=
+
是偶函数但没有零点．故选
．
A
6
D
．【解析】由韦达定理得
a
b
p
+
=
，
a b
q
=
，则
0,
0
a
b
，当
, , 2
a b −
适当排序后
成等比数列时，2
−
必为等比中项，故
4
a b
q
=
=
，
4
b
a
=
．当适当排序后成等差数
列时，2
−
必不是等差中项，当a 是等差中项时，
4
2
2
a
a
=
−
，解得
1
a = ，
4
b =
；
当4
a
是等差中项时，8
2
a
a
=
−
，解得
4
a =
，
1
b = ，综上所述，
5
a
b
p
+
=
=
，
所以p
q
+
9
=
，选
．
D
7
D
．【解析】由
( )
(
)
2
2
,
2,
2
,
2,
x
x
f x
x
x
−
=
−
得
2
2
2
,
0
(2
)
,
0
x x
f
x
x
x
−
−
−
=
，
所以
2
2
2
,
0
( )
(2
)
4
2
,
0
2
2
2
(
2) ,
2
x
x
x
y
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
+
−
=
−
−
−
−
−
+
−
，
即
2
2
2,
0
( )
(2
)
2,
0
2
5
8,
2
x
x
x
y
f x
f
x
x
x
x
x
+
+
=
+
−
=
−
+
，
( )
( )
( )
(2
)
y
f x
g x
f x
f
x
b
=
−
=
+
−
−
，所以
( )
( )
y
f x
g x
=
−
恰有
个零点等价
4
于方程
( )
(2
)
0
f x
f
x
b
+
−
−
=
有
个不同的解，即函数
4
y
b
=
与函数
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( )
(2
)
y
f x
f
x
=
+
−
的图象的
个公共点，由图象可知
4
7
2
4
b
．
x
y
O
8
A
．【解析】由
知
A
0
a
b
c
−+ =
；由
知
B
( )
2
f
x
ax
b
=
+
，2
0
a
b
+
=
；由
知
C
( )
2
f
x
ax
b
=
+
，令
( )
0
f
x
=
可得
2
b
x
a
= −
，则
(
)
3
2
b
f
a
−
=
，则
2
4
3
4
ac
b
a
−
= ；
由
知
D
4
2
8
a
b
c
+
+
=
，假设
选项错误，则
A
2
0
2
0
4
3
4
4
2
8
a
b
c
a
b
ac
b
a
a
b
c
−+
+
=
−
=
+
+
=
，得
5
10
8
a
b
c
=
= −
=
，满足
题意，故
结论错误，同理易知当
或
或
选项错误时不符合题意，故选
．
A
B
C
D
A
9
B
．【解析】如图所示，方程
( )
( )
f x
g x
=
有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有
两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y
kx
=
的斜率大于坐标原点与点(2,1) 的连续
的斜率，且小于直线
1
y
x
=
−的斜率时符合题意，故选1
1
2
k
．
x
y
(2,1)
g(x)=kx
f(x)=|x -2|+1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
O
10．C【解析】∵
2
(1)
6
log 1
6
0
f
=
−
=
，
2
(2)
3
log 2
2
0
f
=
−
=
，
2
3
1
(4)
log 4
0
2
2
f
=
−
= −
，∴
( )
f x 零点的区间是 (
)
2,4 ．
11．【解析】
A
( )
( )
g x
f x
mx
m
=
−
−
在 ( 1,1]
−
内有且仅有两个不同的零点就是函数
( )
y
f x
=
的图象与函数
(
1)
y
m x
=
+
的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函
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数
1
3,
( 1,0]
( )
1
,
(0,1]
x
f x
x
x x
−
−
=
+
，和函数
(
1)
y
m x
=
+
的图象，如图，
当直线
(
1)
y
m x
=
+
与
1
3,
( 1,0]
1
y
x
x
=
−
−
+
和
,
(0,1]
y
x x
=
都相交时
1
0
2
m
≤
；当直线
(
1)
y
m x
=
+
与
1
3,
( 1,0]
1
y
x
x
=
−
−
+
有两个交点时，
由
(
1)
1
3
1
y
m x
y
x
=
+
=
−
+
，消元得1
3
(
1)
1
m x
x
−=
+
+
，即
2
(
1)
3(
1)
1
0
m x
x
+
+
+
−=
，
化简得
2
(2
3)
2
0
mx
m
x
m
+
+
+
+
=
，当
9
4
0
m
= +
=
，即
9
4
m = −
时直线
(
1)
y
m x
=
+
与
1
3,
( 1,0]
1
y
x
x
=
−
−
+
相切，当直线
(
1)
y
m x
=
+
过点
(0, 2)
−
时，
2
m = −，所以
9
(
, 2]
4
m−
−
，综上实数m 的取值范围是
9
1
(
, 2]
(0, ]
4
2
−
−
．
12．D【解析】当
0
x≥
时，函数( )
g x 的零点即方程
( )
3
f x
x
=
−
的根，由
2
3
3
x
x
x
−
=
−
，
解得
1
x =
或；当
3
0
x
时，由
( )
f x 是奇函数得
2
( )
(
)
3(
)
f x
f
x
x
x
−
=
−
=
−
−
，
即
( )
f x =
2
3
x
x
−
−
，由
( )
3
f x
x
=
−
得
2
7
x = −−
（正根舍去）．
13．A【解析】
2
'( )
3
2
f
x
x
ax
b
=
+
+
，
1
2
,
x x 是方程
2
3
2
0
x
ax
b
+
+
=
的两根，
由
2
3( ( ))
2
( )
0
f x
af x
b
+
+
=
，则又两个
( )
f x 使得等式成立，
1
1
(
)
x
f x
=
，
2
1
1
(
)
x
x
f x
=
，其函数图象如下：
x
y
y=x2
f(x 1)=x1
O
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如图则有
个交点，故选
3
A.
14．A【
】由
解析
a
b
c
，可得
( )
(
)(
)
0
f a
a
b a
c
=
−
−
，
( )
(
)(
)
0
f b
b
c b
a
=
−
−
，
( )
(
)(
)
0
f c
c
a c
b
=
−
−
．显然
( )
( )
0
f a
f b
，
( )
( )
0
f b
f c
，
所以该函数在
( , )
a b 和
( , )
b c
上均有零点，故选
．
A
15．B【解析】二次函数
( )
2
4
5
g x
x
x
=
−
+
的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为
2
x =
，
(2)
1
g
= ；
(2)
2ln2
ln4
1
f
=
=
．所以
(2)
(2)
g
f
，从图像上可知交点
个数为．
2
16．B【解析】令
( )
0
f x =
，可得
0.5
1
log
2 x
x =
，由图象法可知
( )
f x 有两个零点．
17．B【解析】因为
( )
f x 在
[0,
)
+内单调递增，又
1
(0)
1
0, (1)
0
2
f
f
= −
=
，
所以
( )
f x 在
[0,
)
+内存在唯一的零点．
18．C【解析】
0
)
(
=
x
f
，则
0
=
x
或
0
cos
2 =
x
，
Z
k
k
x
+
=
,
2
2
，又
4,0
x
，
4,3,2,1,0
=
k
所以共有
个解
6
.选
．
C
19．B【解析】由题意
(
)
( )
f
x
f x
−
=
知，所以函数
( )
f x 为偶函数，所以
( )
(2
)
(
2)
f x
f
x
f x
=
−
=
−
，所以函数
( )
f x
为周期为
的周期函数，
2
且
(0)
0
f
=
，
(1)
1
f
=
，而
( ) |
cos(
) |
g x
x
x
=
为偶函数，
且
1
1
3
(0)
( )
(
)
( )
0
2
2
2
g
g
g
g
=
=
−
=
=
，在同一坐标系下作出两函数在
1 3
[
, ]
2 2
−
上的图
像，发现在
1 3
[
, ]
2 2
−
内图像共有
个公共点，则函数
6
( )
( )
( )
h x
g x
f x
=
−
在
1 3
[
, ]
2 2
−
上
的零点个数为，故选
．
6
B
20．【解析】由题意知，若
B
2
2
2
(
)
1
x
x
x
−
−
−
，即
3
1
2
x
−
时，
2
( )
2
f x
x
=
−
；当
2
2
2
(
)
1
x
x
x
−
−
−
，即
1
x −或
3
2
x
时，
2
( )
f x
x
x
=
−
，要使函数
( )
y
f x
c
=
−
的
图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程
( )
0
f x
c
−
=
有两个不相等的实数根即可，即函
关注公众号：数学货
数
( )
y
f x
=
的图像与直线y
c
=
有两个不同的交点即可，画出函数
( )
y
f x
=
的图像与
直线y
c
=
，不难得出答案
．
B
21．C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式
0
，即
2
4
0
m −
，
解得
2
m −或
2
m
，故选
．
C
22．D【
】图像法求解．
解析
1
1
y
x
=
−
的对称中心是(1,0) 也是
2sin
( 2
4)
y
x
x
=
−
的
中心，
2
4
x
−
他们的图像在
1
x =
的左侧有
个交点，则
4
1
x =
右侧必有
个交点．不
4
妨把他们的横坐标由小到大设为
1,
2
3
4
5
6
7
8
,
,
,
,
,
,
x x x x x x x x ，
则
1
8
2
7
3
6
4
5
2
x
x
x
x
x
x
x
x
+
=
+
=
+
=
+
=
，所以选D
23．B【解析】因为当0
2
x
时,
3
( )
f x
x
x
=
−
,又因为
( )
f x 是R
上最小正周期为2 的周
期函数，且
(0)
0
f
=
,所以
(6)
(4)
(2)
(0)
0
f
f
f
f
=
=
=
=
,又因为
(1)
0
f
=
,
所以
(3)
0
f
=
,
(5)
0
f
=
,故函数
( )
y
f x
=
的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为
7
,
B
个选
．
24．C【解析】当
0
x
时，令
2
2
3
0
x
x
+
−
=
解得
3
x = −；
当
0
x
时，令
2
ln
0
x
−+
=
解得
100
x =
，所以已知函数有两个零点，选
．
C
25．B【解析】因为
1
( 1)
2
3
0
f
−
−
=
−
，
0
(0)
2
0
1
0
f
=
−
=
，所以选B．
26．A【解析】
2
0
x
x
m
+
+
=
有实数解等价于
1 4
0
m
= −
≥
，即
1
4
m≤
．当
1
4
m
时，
1
4
m≤
成立，但
1
4
m≤
时，
1
4
m
不一定成立，故选
．
A
27．A【解析】
(0)
4sin1
0
f
=
，
(2)
4sin5
2
f
=
−
，由于
5
2
，所以
(2)
0
f
，
故函数
( )
f x 在[0,2] 上存在零点；由于
( 1)
4sin( 1) 1
0
f −
=
−
+
，故函数( )
f x 在
[ 1,0]
−
上存在零点，在[0,2] 上也存在零点，令
5
2
[2,4]
4
x
−
=
，
则
5
2
5
5
2
(
)
4sin
0
4
2
4
f
−
−
=
−
，而
(2)
0
f
，
所以函数在[2,4]
上存在零点，故选
．
A
28．3【解析】由题意知，
cos(3
)
0
6
x
+
=
，所以3
6
2
x
k
+
=
+
， k Z，
关注公众号：数学货
所以
9
3
k
x
=
+
， k Z，当
0
k =
时，
9
x
=
；当
1
k = 时，
4
9
x
=
；
当
2
k =
时，
7
9
x
=
，均满足题意，所以函数
( )
f x 在
[0, ]
的零点个数为．
3
29．
(4 8)
，【解析】当
0
x≤
时，由
2
2
x
ax
a
ax
+
+
=
，得
2
a
x
ax
= −
−
；
当
0
x
时，由
2
2
2
x
ax
a
ax
−
+
−
=
，得
2
2a
x
ax
= −
+
．
令
2
2
,
0
( )
,
0
x
ax x
g x
x
ax x
−
−
=
−
+
≤
，作出直线y
a
=
，
2
y
a
=
，
函数( )
g x 的图象如图所示，
y=a
y=2a
O
y=g(x)
y
( )
g x 的最大值为
2
2
2
4
2
4
a
a
a
−
+
=
，由图象可知，若
( )
f x
ax
=
恰有
个互异的实数解，
2
则
2
2
4
a
a
a
，得4
8
a
．
30．3
−【解析】
2
( )
6
2
2 (3
)
f
x
x
ax
x
x
a
=
−
=
−
(aR )，当
0
a≤
时
( )
0
f
x
在
(0,
)
+
上恒成立，则( )
f x 在
(0,
)
+上单调递增，又
(0)
1
f
=
，所以此时
( )
f x 在
(0,
)
+内
无零点，不满足题意．当
0
a
时，由
( )
0
f
x
得
3
a
x
，由
( )
0
f
x
得0
3
a
x
，
则
( )
f x 在
(0,
)
3
a 上单调递减，在
( ,
)
3
a +上单调递增，又
( )
f x 在
(0,
)
+内有且只有
一个零点，所以
3
( )
1
0
3
27
a
a
f
= −
+ =
，得
3
a =
，所以
3
2
( )
2
3
1
f x
x
x
=
−
+ ，
则
( )
6 (
1)
f
x
x x
=
−
，当
( 1,0)
x−
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增，当
(0,1)
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，则
max
( )
(0)
1
f x
f
=
=
，
( 1)
4
f −
= −
，
(1)
0
f
=
，则
关注公众号：数学货
min
( )
4
f x
= −，所以
( )
f x 在 [ 1,1]
−
上的最大值与最小值的和为3
−．
31．(1,4) ；
(1,3]
(4,
)
+【解析】若
2
=
，则当
2
x≥
时，令
4
0
x−
，得
2
4
x
≤
；
当
2
x
时，令
2
4
3
0
x
x
−
+
，得1
2
x
．综上可知1
4
x
，所以不等式
( )
0
f x
的解集为(1,4) ．令
4
0
x −
=
，解得
4
x =
；令
2
4
3
0
x
x
−
+
=
，解得
1
x = 或
3
x =
．因
为函数
( )
f x
恰有
个零点，结合函数的图象（图略）可知
2
1
3
≤
或
4
．
32．8；11【解析】因为
81
z =
，所以
19
5
3
73
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得
8
11
x
y
=
=
．
33．8【解析】由于
( )
[0,1)
f x
，则需考虑 1
10
x
的情况，
在此范围内，xQ 且x
D
时，设
*
, ,
,
2
q
x
p q
p
p
=
N
，且,p q 互质，
若
lg xQ ，则由
lg
(0,1)
x
，可设
*
lg
,
,
,
2
n
x
m n
m
m
=
N
，且
,
m n 互质，
因此10
n
m
q
p
=
，则
10
(
)
n
m
q
p
=
，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
因此
lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内x
D
对应的部分相等，
只需考虑lg x 与每个周期x
D
的部分的交点，
画出函数
，图中交点除外
图象
(1,0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x
D
的
部分，
且
1
x = 处
1
1
(lg )
1
ln10
ln10
x
x
=
=
，则在
1
x = 附近仅有一个交点，
因此方程
( )
lg
0
f x
x
−
=
的解的个数为8．
34．
(3,
)
+【解析】由题意，当x
m
时，
2
2
2
( )
2
4
(
)
4
f x
x
mx
m
x
m
m
m
=
−
+
=
−
+
−
，
其顶点为
2
( ,4
)
m
m
m
−
；当x
m
„
时，函数
( )
f x 的图象与直线x
m
=
的交点为
( ,
)
Q m m ．
关注公众号：数学货
①当
2
0
4
m
m
m
m
−
…
，即
0
3
m
„
时，函数
( )
f x
的图象如图
所示，此时直线
1
y
b
=
与函数
( )
f x 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；
②当
2
4
0
m
m
m
m
−
，即
3
m
时，函数( )
f x
的图象如图
所示，则存在实数
2
b 满足
2
4m
m
b
m
−
„
，使得直线y
b
=
与函数( )
f x 的图象有三个不同的交点，符合题
意．综上，m 的取值范围为
(3,
)
+．
x
y
x= m
y=b
O
x
y
x=m
y= b
O
图1
2
图
35．2【解析】因为
2
( )
4cos
cos(
)
2sin
| ln(
1) |
2
2
x
f x
x
x
x
=
−
−
−
+
2(1 cos ) sin
2sin
| ln(
1)|
x
x
x
x
=
+
−
−
+
=
sin 2
| ln(
1) |
x
x
−
+
36．1
− 1 [ ,1)
2
[2,
)
+【解析】①若
1
a = ，则
2
1
( )
4(
)(
2 )
1.
x
a x
f x
x
a x
a
x
−
=
−
−
≥
‚
‚
‚
，作出函数
( )
f x 的图象如图所示，由图可知
( )
f x 的最小值为1
−．
关注公众号：数学货
x
y
1
-1
–1
1
2
O
②当
1
a≥时，要使( )
f x
恰好有
个零点，需满足
3
1
2
0
a
−
≤
，即
2
a≥
．所以
2
a≥
；
当
1
a < 时，要使
( )
f x
恰好有
个零点，需满足
2
1
1
2
2
0
a
a
a
−
≤
，解得1
1
2
a <
≤
．
37．
)
,1(
)
0,
(
+
−
【解析】分析题意可知，问题等价于方程
)
(
3
a
x
b
x
=
与方程
)
(
2
a
x
b
x
=
的根的个数和为2 ，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组
−
a
b
a
b
a
b3
1
有解，从而
1
a
；若方程
)
(
3
a
x
b
x
=
无解，方程
)
(
2
a
x
b
x
=
有
个根：
2
则可知关于b的不等式组
−
a
b
a
b3
1
有解，从而
0
a
；综上，实数a 的取值范围是
)
,1(
)
0,
(
+
−
．
38．
1
(0, )
2
【解析】函数
( )
y
f x
a
=
−
在区间 [ 3,4]
−
上有互不相同的
个零点，即函数
10
( )
y
f x
=
与y
a
=
的图象有
个不同的交点，在坐标系中作出函数
10
( )
y
f x
=
在一个周
期内的图象，可知
1
0
2
a
．
39．2【解析】当
0
x≤
时，令
2
2
0
x −
=
，解得
2
x = −
；
关注公众号：数学货
当
0
x
时，
( )
2
6
ln
f x
x
x
=
−+
，∵
1
( )
2
0
f
x
x
=
+
，∴
( )
f x 在
(0,
)
+上单调递
增，因为
(1)
4
0
f
= −
，
(3)
ln3
0
f
=
，所以函数
( )
2
6
ln
f x
x
x
=
−+
在
(0,
)
+有
且只有一个零点，所以
( )
f x
的零点个数为．
2
40．0
1
a
<
<
或
9
a >
【解析】法一显然
0
a >
．(
)
ⅰ当
(
1)
y
a x
= −
−
与
2
3
y
x
x
= -
-
相
切时，
1
a =
，此时
( )
|
1| 0
f x
a x
−
−=
恰有
个互异的实数根．
3
（ⅱ）当直线
(
1)
y
a x
=
−
与函数
2
3
y
x
x
=
+
相切时，
9
a =
，此时
( )
|
1| 0
f x
a x
−
−=
恰有
个互异的实数根结合图象可知
2
.
0
1
a
<
<
或
9
a >
．
x
y
1
3
O
t
y
O
9
1
法二：显然
1
a ¹
，所以
2
3
1
x
x
a
x
+
=
-
.令
1
t
x
=
-
，则
4
5
a
t
t
=
+
+
．
因为
4
(
, 4]
t
t
+
−−
[4,
)
+，所以
4
5
t
t
+
+
Î
(
,1]
[9,
)
−
+．
结合图象可得0
1
a
<
<
或
9
a >
.
41．1
3
16
−
（
）
,0 【解析】由定义运算“ ”可知
*
2
2
(2
1)
(2
1)(
1),2
1
1
( )
(
1)
(2
1)(
1),2
1
1
x
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
„
=
2
2
2
,
0
,
0
x
x x
x
x x
−
−
+
„
，如图可知满足题意
的m 的范围是
1
0
4
m
，
关注公众号：数学货
x
y
O
不妨设
1
2
3
x
x
x
，当
0
x
时，
2
x
x
−
+ =m ，即
2
0
x
x
m
−
+
=
∴
2
3
1
x
x
+
=
；∴
2
2
3
2
3
1
0
(
)
2
4
x
x
x x
+
=
当
0
x„
时，由
2
1
2
,(
0)
4
x
x
x
−
=
，得
1
3,
4
x
−
=
∴
1
1
3
0
4
x
−
，
1 2
3
1
3
0
4
x x x
−
42．(0,1) 【解析】当
2
x
时，
2
( )
3(
1)
0
f
x
x
=
−
≥
，说明函数在 (
,2)
−
上单调递增，
函数的值域是 (
,1)
−
，又函数在
[2,
)
+上单调递减，函数的值域是(0,1] ，因此要使
方程
( )
f x
k
=
有两个不同实根，则0
1
k
．
43．
(
,2ln2
2]
−
−
【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程
2
0
x
e
x
a
−
+
=
有解问
题，即方程
2
x
a
x
e
=
−
有解．令函数
( )
2
x
g x
x
e
=
−
，则
( )
2
x
g x
e
=
−
，令
( )
0
g x
=
，
得
ln2
x =
，所以( )
g x 在 (
,ln2)
−
上是增函数，在
(ln2,
)
+上是减函数，所以( )
g x
的最大值为
(ln2)
2ln2
2
g
=
−
，所以
(
,2ln2
2]
a−
−
．
