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专题二
函数概念与基本初等函数
Ⅰ
第六讲函数的综合及其应用
一、选择题
1．（2017 天津）已知函数
2
3,
1,
( )
2 ,
1.
x
x
x
f x
x
x
x
−
+
= +
≤
设aR，若关于x 的不等式
( )
|
|
2
x
f x
a
+
≥
在
上恒成立，则
的取值范围是
R
a
A．
47
[
,2]
16
−
B．
47 39
[
,
]
16 16
−
C
．
[ 2 3,2]
−
D
．
39
[ 2 3,
]
16
−
2．（2015 北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗
升汽油行驶的里程，下图描述了甲、
1
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是
.
A
1
．消耗
升汽油，乙车最多可行驶
千米
5
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以
千米
80
/小时的速度行驶
小时，消耗
升汽油
1
10
D．某城市机动车最高限速
小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
80 千米/
3
2014
．（
北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为可食用率
“
”．在特定条件
下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系
2
p
at
bt
c
=
+
+
（a 、b 、
c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最
佳加工时间为（
）
A．3.50分钟
．
B
3.75分钟
．
C
4.00 分钟
．
D
4.25 分钟
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O
5
4
3
0.8
0.7
0.5
t
p
4
2014
．（
湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率
为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A．
2
p
q
+
B．
(
1)(
1) 1
2
p
q
+
+
− C．
pq D．
(
1)(
1) 1
p
q
+
+
−
二、填空题
5．（2017 山东）若函数
e
( )
x f x
(e=2
71828
．
，是自然对数的底数在
)
( )
f x 的定义域上单
调递增，则称函数
( )
f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是
．
①
( )
2 x
f x
−
=
②
2
( )
f x
x
=
③
( )
3
x
f x
−
=
④
( )
cos
f x
x
=
6
2017
．
（
江苏）设
( )
f x 是定义在R
且周期为
的函数，在区间
1
[0,1) 上，
2,
( )
,
x
x
D
f x
x
x
D
=
其中集合
1
{ |
,
}
n
D
x x
n
n
−
=
=
*
N
，则方程
( )
lg
0
f x
x
−
=
的解的个数
是
．
7
2017
．
（
新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC
的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC
，ECA
，FAB
分别是以BC ，
CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起
DBC
，ECA
，FAB
，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当ABC
的边长变
化时，所得三棱锥体积单位：
(
3
cm )的最大值为_______
．
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O
D
F
E
C
B
A
8
(2016
．
年北京) 设函数
3
3 ,
( )
2 ,
x
x x
a
f x
x x
a
−
= −
≤
．
①若
0
a =
，则
( )
f x 的最大值为____________________
；
②若
( )
f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________．
9
2015
．（
四川）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数
关系
b
kx
e
y
+
=
（
718
.2
=
e
为自然对数的底数，k
b
、
为常数）．若该食品在0 C 的
保鲜时间设计
小时，在
192
22 C
的保鲜时间是
小时，则该食品在
48
33 C 的保鲜时间
是
小时．
10．
（2014 山东）已知函数
( )(
)
y
f x x
R
=
，对函数
( )(
)
y
g x
x
I
=
，定义
( )
g x 关于
( )
f x
的“对称函数”为函数
( )(
)
y
h x
x
I
=
，
( )
y
h x
=
满足：对任意x
I
，两个点
( )
(
)
( )
(
)
,
,
,
x h x
x g x
关于点
( )
(
)
,x f x
对称，若
( )
h x 是
( )
2
4
g x
x
=
−
关于
( )
3
f x
x
b
=
+
的“对称函数”，且
( )
( )
h x
g x
恒成立，则实数b的取值范围是
．
____
11．（2014 福建）要制作一个容器为4
3
m ，高为m
1
的无盖长方形容器，已知该容器的底面
造价是每平方米
元，侧面造价是每平方米
元，则该容器的最低总造价是
20
10
_______
（单位：元）
12．（2014 四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数( )
x
组成的集合：对于函数( )
x
，存在一个正数M ，使得函数( )
x
的值域包含于区间
[
,
]
M M
−
．例如，当
3
1( )
x
x
=
，
2
( )
sin
x
x
=
时，
1( )x
A
，
2( )x
B
．现有如
下命题：
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①设函数
( )
f x 的定义域为D，则“
( )
f x
A
”的充要条件是“
b
R
，a
D
，
( )
f a
b
=
”；
②函数
( )
f x
B
的充要条件是
( )
f x 有最大值和最小值；
③若函数
( )
f x ，( )
g x 的定义域相同，且
( )
f x
A
，
( )
g x
B
，则
( )
( )
f x
g x
B
+
；
④若函数
2
( )
ln(
2)
1
x
f x
a
x
x
=
+
+
+
（
2
x −，a
R
）有最大值，则
( )
f x
B
．
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
13．（2018 上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平
均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中
%(0
100)
x
x
的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
30,
0
30,
( )
1800
2
90,30
100
x
f x
x
x
x
=
+
−
≤
（单位：分钟）
（单位：分钟）
（单位：分钟）
（单位：分钟）
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x
影响，恒为
分钟，试根据上述分析结果回答下列
40
问题：
(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S 的人均通勤时间( )
g x 的表达式；讨论( )
g x 的单调性，并说明其实
际意义．
14．（2018 江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为
此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O
的半径为
米，点
40
P 到MN
的距离为50
米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚
Ⅱ内的地块形状为
CDP
△
，要求
,
A B均在线段MN 上，,
C D 均在圆弧上．设OC 与MN
所成的角为．
N
M
P
O
A
B
C
D
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(1)用分别表示矩形ABCD 和
CDP
△
的面积，并确定sin的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积
年产值之比为4
3
∶．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
15．(2016 年上海高考已知
)
a
R
，函数
2
1
( )
log (
)
f x
a
x
=
+
.
（）当
1
5
a =
时，解不等式
( )
0
f x
；
（）若关于
2
x 的方程
2
( )
log [(
4)
2
5]
0
f x
a
x
a
−
−
+
−
=
的解集中恰好有一个元素，求
a 的取值范围；
（）设
3
0
a
，若对任意
1 [ ,1]
2
t
，函数
( )
f x 在区间
[ ,
1]
t t +
上的最大值与最小值的
差不超过1，求a 的取值范围.
16．（2015 江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，
计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为1
2
l
l
，，
山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得
点M 到
1
2
l
l
，
的距离分别为
千米和
千米，点
5
40
N 到
1
2
l
l
，
的距离分别为
千米和
20
2.5
千米，以1
2
l
l
，所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xoy，假设曲线C 符合
函数
2
a
y
x
b
=
+
（其中,a b 为常数）模型．
（）求
I
,a b 的值；
（）设公路
II
l 与曲线C相切于P 点，P 的横坐标为t .
①请写出公路l长度的函数解析式
( )
f t ，并写出其定义域；
②当t 为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
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17．（
重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面
2013
半径为r 米，高为h米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建
造成本为
元平方米，底面的建造成本为
元平方米，该蓄水池的总建造成本为
100
/
160
/
12000元（为圆周率）．
（Ⅰ）将V 表示成r 的函数( )
V r ，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数
( )
V r 的单调性，并确定r 和h为何值时该蓄水池的体积最大．
18．（
）设函数
2012 陕西
( )
(
, ,
)
n
f x
x
bx
c n
N
b c
R
+
=
+
+
（）设
1
2
n… ，
1,
1
b
c
=
= −，证明：
( )
f x 在区间1 ( ,1)
2
内存在唯一的零点；
（）设
为偶数，
2
n
( 1)
1
f −
„
，
(1)
1
f
„
，求
3
b
c
+
的最小值和最大值；
（）设
3
2
n =
，若对任意
1
2
,
x x
[ 1,1]
−
，有
1
2
( )
(
)
4
f x
f x
−
„
，求b 的取值范围；
19．（2011 江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD
是边长为
的正方形硬纸片，
60cm
切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点
重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去
的等腰直角三角形斜边的两个端点，设
AE
FB
x
=
=
cm
x
x
E
F
A
B
D
C
P
（）某广告商要求包装盒侧面积
1
S （cm
2 ）最大，试问x 应取何值？
（）某广告商要求包装盒容积
2
V （cm 3 ）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒
的高与底面边长的比值．
