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专题一 三角函数、解三角形与平面向量
第1 讲 三角函数的运算
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α −π
4)等于( )
A.
❑√2
10
B.
❑√2
5
C.3 ❑√2
10
D.7 ❑√2
10
2.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于( )
A.-3m
B.-m
3
C.m
3
D.3m
3.(2024·全国甲卷，理T8)已知
cosα
cosα −sin α =❑√3，则tan (α + π
4)等于( )
A.2❑√3+1
B.2❑√3-1
C.
❑√3
2
D.1-❑√3
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α-β)=1
3，cos αsin β=1
6，则cos(2α+2β)等于( )
A.7
9
B.1
9
C.-1
9
D.-7
9
5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC 的面积为1
4 ，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=1
4 ，则(
)
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=❑√2
C.sin A+sin B=
❑√6
2
D.AC2+BC2=3
6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=❑√2+1，则
sin(α+β)= .
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查
一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6 分.
【考向预测】一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同
角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解
齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角
公式的灵活运用等.
考点一 同角三角函数基本关系与诱导公式
【典例】1 (1)(2025·石家庄模拟)已知x∈[0，π
4]，cos(x−π
2)-cos(3π+x)=3 ❑√5
5
，则tan(x + 5 π
4 )等于(
)
A.1
B.2
C.❑√5
D.3
(2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β- sin
2 β
tan
2 β
等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3
【考法归纳】应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项：
(1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以.
(2)含有sin α，cos α 的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入.
(3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限.
【变式训练】1 (1)(多选)已知sin α=4
5 ，α∈(
π
2 ，π)，则( )
A.sin(π-α)=4
5
B.tan(π+α)=-3
4
C.sin(
π
2 −α)=-3
5
D.cos(
3 π
2 −α)=-3
5
(2)(2025·安庆模拟)已知tanθ tan2θ
tanθ−tan2θ=4
5 ，则sin4θ+cos4θ 等于( )
A. 9
25
B.3
5
C.17
25
D.24
25
考点二 三角恒等变换
考向1 公式的直接应用
【典例】2 (1)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin(α −π
6)=
❑√3
4 ，则cos(2α + π
3)等于( )
A.3 ❑√3
8
B.5
8
C.-3 ❑√3
8
D.-5
8
(2)(2025·昆明质检)若cos2α
1+sin 2α = sin 2 β
1+cos2 β ，则( )
A.tan(α-β)=1
B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1
D.tan(α+β)=-1
考向2 角的配凑
【典例】3 (1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=
❑√5
5 ，sin(α+β)=
❑√2
10 ，则cos β 等于(
)
A.
❑√10
10
B.-
❑√10
10
C.9 ❑√10
50
D.-9 ❑√10
50
(2)(2025·济南模拟)若sin 2α=
❑√5
5 ，sin(β-α)=
❑√10
10 ，且α∈[
π
4 ，π
2]，β∈[π ，3 π
2 ]，则α+β 等于( )
A.4 π
3
B.5 π
3
C.7 π
4
D.11π
6
考向3 积化和差与和差化积
【典例】4 (1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈(0，π
4)是偶函数，则g(x)=sin
xsin(x+4θ)的最大值为( )
A.-1
4
B.3
4
C.1
D.1
4
(2)(2025·南昌模拟)已知α，β 终边不重合，sin α-3cos β=sin β-3cos α，则tan(α+β)等于( )
A.3
2
B.2
3
C.4
3
D.3
4
【考法归纳】三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=α + β
2
+α −β
2
，2α=(α+β)+(α-
β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单
一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
【变式训练】2 (1)(2025·亳州模拟)已知sin α=3
5，α∈(
π
2 ，π)，若sin(α + β)
cos β
=4，则tan(α+β)等于(
)
A.-16
7
B. -7
8
C.16
7
D.2
3
(2)(2025·长春模拟)已知cos(α + π
3)=4
5 ，cos(β −π
3)= 5
13，α，β∈(−π
3 ，π
3)，则cos(α+β)等于( )
A.16
65
B.33
65
C.56
65
D.63
65
(3)(2025·新余模拟)已知α，β∈(0，π
2)，cos2α-cos2β=1
5，cos(α+β)=2❑√2
3
，则tan α −β
2
等于( )
A.-1
3
B.1
3
C.3
D.-3
专题强化练
[分值：84 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.已知cos(
9 π
2 −α)=7
8，则sin(3π+α)等于( )
A.-7
8
B.7
8
C.-
❑√15
8
D.
❑√15
8
2.已知cos α+❑√3sin α=8
5，则sin(α + π
6)等于( )
A.3
5
B.4
5
C.-3
5
D.-4
5
3.(2025·惠州模拟)若tan α= cosα
3−sin α ，则sin(2α + π
2)等于( )
A.2
3
B.1
3
C.8
9
D.7
9
4.(2025·济宁模拟)已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点A(m，3m)(m≠0)是角α 终
边上一点，则cos(2α −π
4)等于( )
A.-
❑√2
10
B.- 1
10
C. 1
10
D.
❑√2
10
5.(2025·张家口模拟)已知sin(α + π
6)=- 1
12，则sin(2α −π
6)等于( )
A.12
13
B.-12
13
C.71
72
D.-71
72
6.(2025·南昌模拟)已知α，β 都是锐角，sin(α+β)=3 ❑√10
10
，tan α=2tan β，则cos(α-β)等于( )
A.
❑√6
3
B.2❑√5
5
C.
❑√6
4
D.3 ❑√10
10
7.(2025·安徽皖北协作区模拟)如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，
G，H 恰好是一个正八边形的八个顶点，设∠ACG=α，∠EBH=β，则tan(α+β)等于( )
A.-3
B.-2❑√2
C.-2❑√2+1
D.-❑√2-1
8.(2025·南通模拟)已知x，y∈(0，π
2)，cos(x+y)=- 5
13，sin 2x-sin 2y=- 6
13，则tan 2x 等于( )
A.63
16
B.33
16
C.-33
56
D.-9
8
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·佛山模拟)已知角α 的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是( )
A.sin(α-π)=4
5
B.sin(α + π
2)=-3
5
C.sin 2α=-24
25
D.cos 2α= 7
25
10.下列说法正确的有( )
A.tan 200°+tan 40°+❑√3tan(-160°)tan 40°=-❑√3
B.已知cos(
π
6 +α)=2
5，则sin(
5 π
6 +2α)=-17
25
C.sin 50°(1+❑√3tan 10°)=1
D.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若tan Atan B>1，则tan Atan Btan C>2
11.(2025·哈尔滨模拟)已知锐角α，β 满足
1−cos2α
2sin α −sin2α = sin2 β
1+cos2 β ，
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，则(
)
A.α+2β=π
B.tan(α+β)=-2
C.sin α=3
5
D.tan α∶tan β=2∶3
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.若cos(α + π
4)cos(α −3 π
4 )=-1
3，则sin 2α= .
13.(2025·浙江Z20 名校联盟联考)已知α，β∈(0，π
2)，且满足sin αtan β=1-cos α，sin(α-β)=1
3，则cos α=
.
14.(2025·昆明模拟)已知α，β∈(0，π
2)，sin(2α+β)=3sin β，则tan β 的最大值为 .
【巩固必刷题】(15 题6 分，16 题5 分，共11 分)
15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆的交点P 的横坐标x 和纵坐
标y 都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x、纵坐标y 都是角α 的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函数，记作sin α，即y=sin α；
②把点P 的横坐标x 叫做α 的余弦函数，记作cos α，即x=cos α；
③把点P 的纵坐标y 的倒数叫做α 的余割函数，记作csc α，即1
y =csc α；
④把点P 的横坐标x 的倒数叫做α 的正割函数，记作sec α，即1
x =sec α.
下列结论正确的有( )
A.csc5 π
4 =-❑√2
B.cos α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x 的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5
16.(5 分)在正三角形ABC 中，由e·(⃗AB+⃗BC +⃗CA)=e·0=0(e 为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos
(θ+ 2π
3 )+cos(θ+ 4 π
3 )=0，其中θ=〈e，⃗AB〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式
；通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°= .
