文档文本内容
第02 讲 三角恒等变换
目 录
模拟·基础演练......................................................................................................................................2
题型01 给角求值.................................................................................................................2
题型02 给值求值...................................................................................................................8
题型03 给值求角.................................................................................................................13
题型04 三角函数化简与证明...........................................................................................19
题型05 辅助角公式综合
..............................................................................................25
题型06 恒等变换与解三角形综合
..............................................................................32
重难·创新演练....................................................................................................................................42
真题·实战演练....................................................................................................................................53
模拟·基础演练
考查重点：恒等变换与解三角形综合
题型01 给角求值
一、单选题
1．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意得到
进而得到
，
，从而有
.
【详解】∵
，
∴
，
则
，
，
∴
，
故选A.
2．
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：D.
3．如果将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】先根据左右平移不改变最值求得
，再根据平移规律列
等量关系，最后根据两角差正切公式解
得结果.
【详解】因为左右平移不改变最值，所以
因为
，向右平移
个单位得到
，
而
，
所以
，即
从而
故选：A
4．（2025·湖南永州·模拟预测）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】先将
进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．
【分析】
.
故选：D.
二、多选题
5．下列代数式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A 选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B 选项；利用二
倍角的正弦公式可判断CD 选项.
【详解】对于A 选项，
；
对于B 选项，
；
对于C 选项，
；
对于D 选项，
.
故选：BCD.
三、填空题
6．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
轴对称，若
，则
的最大值为______.
【答案】1
【详解】因为
与角
的终边关于
轴对称，所以
，
又因为
，所以
，
令
，则
.
所以
，
所以当
时，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值1.
7.计算：
______.
【答案】
/
【详解】由题意可得：
．
故答案为：
．
8.
______．
【答案】
【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值.
【详解】
.
故
.
故答案为：
.
9.
_________．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：
.
10.【变载体】（2026·江西上饶·二模）（1）证明：
，
；
（2）实数
，若不等式
在
恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明：
．
【答案】（1）设
，
，则
；
令
，
，则
，
得
在区间
上单调递减，
故
，所以
在区间
上单调递减，因此
．
所以当
时，
.
（2）
；
（3）由（2）可知，当
时，
，
，由（1）可知
，
，
，
，得证．
【分析】（1）构造函数并将不等式证明转化为函数值大小比较；利用导数判断单调性，结合端点值推出
函数在区间内的符号，从而证明不等式成立；
（2）将含参恒成立问题转化为函数图像的高低关系或差函数的符号判断；通过对函数求导分析单调性，
寻找临界点处的切线斜率作为参数边界，并分类讨论参数范围以验证恒成立条件；
（3）利用前两问已证的不等式作为放缩工具进行代数变形；通过逐项放缩将求和式转化为易于计算的裂
项形式，最终完成数列求和，不等式得到证明；
【详解】（1）略
（2）方法一：（数形结合）由题：
，令
不等式
恒成立，说明函数
，
的图象在直线
的下方．
函数
的周期为
，
当
时，
；
当
时，
，
．
故函数
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减．
可作出函数
的图象如图所示．
注意到
，
在
处的切线斜率为
，直线
的斜率为
．
于是，对任意
，当且仅当
时，
成立．
故
的取值范围为
．
方法二：设函数
，
，求导得
当
时，
，函数
在
上单调递增，
，因此
；
当
时，令
，求导得
，
，
则
，使得
，
当
时，
，函数
在
上递增，
当
时，
，即
，因此
，
此时
，不符合题意；
当
时，
，不符合题意，所以
的取值范围
．
（3）略
题型02 给值求值
一、单选题
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可.
【详解】
.
2．（2026·湖南湘西·三模）已知
，则
（ ）
A．-4
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出
和
的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果.
【详解】由
，得
，
即
，所以
，
所以
，所以
．
3．（2026·陕西咸阳·二模）已知
，若
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先通过同角三角函数的平方关系联立求解
、
的值，再代入三倍角公式计算
.
【详解】对已知等式
两边平方，得：
解得
.
由
，可知
，
，且
，故
，
计算得：
即
.
联立方程组{
sin α +cos α = 1
5
sin α -cos α = 7
5
，解得
，
.
代入三倍角公式
计算：
.
4．（2026·河南·三模）已知
，且
在第二象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在第二象限，所以
，
，根据三角恒等式可得
，
则
，
，化简可得
，
因为
在第二象限，即
，
所以
，即
在第一或第三象限，故
，
因此解得
.
5．设
，
，
，
，若满足条件的
与
存在且唯一，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】先由
，可得
，再根据
，结合两角差的正弦公
式求出
，进而可求出
，再根据唯一性可求出
，再求出
，结合
两角差的正切公式求出
，即可得解.
【详解】由
，得
，即
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为满足条件的
与
存在且唯一，所以
唯一，
所以
，
所以
，经检验符合题意，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
则
，解得
，
所以
.
故选：B.
二、多选题
6．（2026·福建福州·三模）已知
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】BD
【分析】对于AB：利用诱导公式运算求解；对于C：利用倍角公式运算求解；对于D：利用两角和差公式
可得
，
，即可得结果.
【详解】对于选项A：当
时，则
，所以
，故A 错误；
对于选项B：当
时，则
，故B 正确；
对于选项C：当
时，则
，
可得
，即
，故C 错误；
对于选项D：因为
，
，
则
，
，
可得
，
，所以
，故D 正确.
三、填空题
7．（2026·陕西西安·模拟预测）若
，
，则
____.
【答案】
/
【详解】
，
.
.
8．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知
，
，则
________．
【答案】
/
【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
所以
.
9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知
，
，则
＝_________.
【答案】
/0.25
【分析】利用和角公式与同角三角函数关系求出
，再整体代入
的展
开式计算即得.
【详解】
，即
，即
，
因
，
联立①与②，解得
，
．
四、解答题
10.（2026·广东广州·三模）已知函数
，满足对于任意实数
，都有
恒成立，且函数
相邻两个零点的距离是
.
(1)求
的解析式和单调递增区间；
(2)若
，且满足
，求
.
【答案】(1)
，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的性质得
且
，结合已知求出函数解析式，进而求其递
增区间；
（2）根据已知有
且
，利用平方关系求余弦值，再由
和差角余弦公式求值即可.
【详解】（1）函数
相邻两个零点的距离是
，故
，解得
，
对于任意实数
，都有
恒成立，故
即
，故
，
因为
，故
，所以
，
若
，
，则
，
，
故
的单调递增区间为
；
（2）若
，则
，故
，
因为
，
故
故
题型03 给值求角
一、单选题
1．设
且
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到
即可分析计算求解.
【详解】由题
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
，
，
所以
或
，
解得
或
（舍去）.
故选：A
2．（2025·广东珠海·模拟预测）设
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知得
，结合角的范围及诱导公式得到
或
，
即可得.
【详解】由题设
，
所以
，
因为
，
，则
，又
，
所以
或
，即
或
（舍），
故
．
故选：D
3. （2015·四川成都·一模）若
，且
，
，则
的值是
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由题设条件分别求出
和
的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得.
【详解】因
则
.又
，则
，
可得
.
又
则
由
，可得
由
.
因
则
.
故选：A.
4．已知
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得
，利用两角和与差的正弦公式化简
，可得
，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
，所以
．
由
，得
，
即
，
所以
，所以
．
又
，所以
．
故选：D
5．已知
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小
与
的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角
公式求得
的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为
所以
则
所以
则
，
因为
，所以
，
又
则
，
所以
故
因为
所以
则
.
故选：A.
6．已知函数
的零点从小到大分别为
.若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】根据已知条件及函数的零点的定义，利用三角方程的解法即可求解.
【详解】令
，即
，解得
或
,
因为函数
的零点从小到大分别为
，
所以
，
由
，得
，
又因为
，
所以
，解得
.
故选：B.
二、填空题
7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
，
，
，
，则
______．
【答案】
/
【分析】根据题设进行拆角
，利用和角公式联立求出
与
的值，
进而再次利用拆角
求出
的值，结合角的范围确定答案.
【详解】因为
，
展开得
①
又由
，可得
②
由①②解得
，
，
又由
，
由
，
可得
，
又因
，则
，
，可得
，
故
8．（2026·河北沧州·二模）已知
，
，若
，
，则
______.
【答案】
【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得
，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
，所以
，又
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
又
，
所以
.
9.若
，且
，则
的值为______．
【答案】
或
.
【分析】由二倍角公式及两角差的正弦公式得到
，再分
与
两种情况讨论，分别求出
即可.
【详解】由
，
得
，
即
，
当
时，
，即
，由
，得
；
当
时，
，所以
，
即
，由
，得
，
所以
，所以
．
故
的值为
或
．
故答案为：
或
.
三、解答题
10．【变载体】（2026·浙江金华·二模）已知函数
，
．
(1)求
；
(2)
中，若
构成等差数列，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入
，根据正弦函数的图象确定
的值；
（2）先求出角
，代入已知条件，由角
的关系得出
，利用二倍角公式求解.
【详解】（1）
，
或
，
又
，
（2）因为在
中，
构成等差数列，
则
，结合
，可得
，
，
，
，
，
．
题型04 三角函数化简与证明
一、单选题
1．若对任意的
，
恒成立，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
所以
．
令
，
记
，
，则
，
设
，因为
，所以
，
，
当
时，
，此时
，将其代回验算，
，当
时，
，与上面一致．
因为
恒成立，故实数
的取值范围为
．
2．【变载体】（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列
满足
，则
的值为
（ ）
A．6
B．
C．9
D．
【答案】B
【分析】由正余弦两角和公式可得
，然后由
最小正周期可得答案.
【详解】
注意到
，
又函数
的最小正周期为6，则
，
从而
.
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知
，
是第三象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据两角差的正弦公式得
，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，
即可求解.
【详解】
，
，又
是第三象限角，
．
从而
.
故选：B
4．（2026·山东济南·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】根据两角和差的正弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系计算求解.
【详解】已知
，
，
则
，
，
所以
，
则
.
5．已知圆的内接四边形
中，
，
，
，则
（ ）
A．-3
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】由于圆内接四边形对角互补，故
，求出
，
，利用两角和的正
切公式即可求解．
【详解】圆的内接四边形
中，
，则
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
．
故选：A
二、多选题
6．已知实数x，θ 满足
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】A 选项，由基本不等式推出
和
时，条件成立，故
，A 错误；
BCD 选项，在A 选项基础上结合三角恒等变换进行判断.
【详解】A 选项，若
，由基本不等式得
，当且仅当
时，等号成立，
又
，
，故只有
时，等号成立，此时
，
若
，可得
，当且仅当
时，等号成立，
又
，
，故只有
时，等号成立，此时
，
综上，
，A 错误；
B 选项，当
时，
，满足要求；
当
时，
，满足要求，B 正确；
C 选项，
，两边平方得
，
即
，C 正确；
D 选项，当
时，
，
，
满足要求；
当
时，
，
此时
，
故
成立，综上，D 正确.
故选：BCD
7.下面结论正确的有（ ）
A．若角
为锐角，则角
为钝角
B．
C．在
中，“
”是“
为钝角三角形”的充要条件
D．
【答案】BD
【分析】根据钝角的定义、两角和差的正弦公式、诱导公式，结合充要条件的定义逐一判断即可.
【详解】A：
是锐角，显然它的2 倍仍是锐角，故本选项结论不正确；
B：
，所以本选项结论正确；
C：当
时，显然
为钝角三角形”，
此时
，显然
不成立，因此本选项说法不正确，
D：
，
因此本选项结论正确，
故选：BD
三、填空题
8．【新思维】（2026·江西·模拟预测）设正数
满足
，若关于
的方程
的所有正实数解从小到大依次为
，则
的取值范围为
__________.
【答案】
【分析】根据题意，求得
，得到
，结合辅助角公式，分别求得
和
，得到
，结合
，即可求解.
【详解】由方程
的所有正实数解从小到大依次为
，
又由
，
所以
，即
当
时，
可得
且
，
，
可得
，解得
，
取
为最小正角，则
，则
，
同理可得，当
时，可得
，
将两组数据从小到大排列可得：
则
因为
，可得
，所以
的取值范围为
.
9．（2025·浙江金华·二模）已知
，则
________.
【答案】
/
【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，
即
，所以
.
故答案为：
10．【新题型】已知函数
在
内恰有两个不同的零点
，则
__________，
__________.
【答案】
/
【分析】由题意，根据两角和的正弦公式可得
，令
得
或
，设
，结合二倍角的正弦公式化简计算
即可.
【详解】由题意可得
.
令
，得
，
则
或
，
解得
或
.
由
，得
或
，所以
.
不妨取
，
则
.
题型05 辅助角公式综合
一、单选题
1．（2026·安徽·三模）已知
是函数
的对称轴，则
的值可以是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由题意可知函数在
处取最值，代入求解即可.
【详解】因为
，
又因为
是函数的对称轴，
所以函数在
处取最值，
所以
，
解得
，
所以当
时，
，
当
时，
，
故只有A 选项满足.
2．（2026·北京·三模）已知函数
．若
在区间
上既不是增函数也
不是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化简三角函数，再结合内层函数的取值范围与正弦函数的单调性，判断给定区
间内是否存在极值点，进而求解
的取值范围.
【详解】
，
当
时，令
，因
，故
随
单调递增，
。
正弦函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
若
在
上既不是增函数也不是减函数，则
的取值区间需包含
的极值点
，即
，解得
，故
的取值范围为
.
3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间(单位：秒)的函数解
析式分别是
，记它们合成后的电流
，则函数
的周期
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】使用辅助角公式化简
，再利用正弦型函数周期公式计算即可.
【详解】
，
，
，
其中
，则
的周期
.
二、多选题
4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线
是函数
的图象的一条对称轴
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为
C．函数
在区间
上有3 个零点
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】ABD
【详解】由题意得
，
，
是函数
的图象的一条对称轴，故A 正确，
将函数
的图象向左平移
个单位长度后所得图象对应的函数为
，
要使
为奇函数，则
，解得
，
又
，则
的最小值为
，故B 正确，
令
，则
，解得
，
当
时，
或
，
函数
在区间
上有2 个零点，故C 错误，
当
时，令
，
在
上单调递增，
函数
在区间
上单调递增，故D 正确.
5.（2026·山东·模拟预测）已知函数
，满足
，
，且
的最小值为
，下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
单调递减
C．
在区间
有两个极值点
D．使得
为偶函数的最小正实数
为
【答案】AC
【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到
，结合选项，利用正弦型函
数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由
，
对于A，因为
，
，且
的最小值为
，
即函数
的最小正周期
满足
，所以
，所以A 正确；
对于B，由上分析可得
，解得
，则
，
当
时，
，
当
时，即
时，函数
单调递增；
当
时，即
时，函数
单调递减，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，所以B 错误；
对于C，令
，可得
，
因
，由
，解得
，又
，
故当
时，
；当
时，
，
即函数
在区间
有两个极值点
和
，所以C 正确；
对于D，由函数
，
因为函数
为偶函数，可得
，解得
，
当
时，
，所以最小正实数
为
，所以D 不正确.
6．（2026·陕西安康·模拟预测）定义关于
的函数
，
，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．对于任意
，
D．对于任意
，
【答案】AC
【分析】利用诱导公式对
进行化简可判断A；利用辅助角公式对
进行化简，再结
合三角函数的值域可判断B；分别表示出
，再根据
的取值范围比较大小关系，可判断C；分
别表示出
，再根据
的取值范围比较大小关系，可判断D.
【详解】对于A，当
时，
，
，
所以
，故A 正确；
对于B，当
时，
，
，
所以
则
，
不恒成立.故B 错误；
对于C，
，
，
，
，且
在
上单调递减，
则
，所以
.故C 正确；
对于D，令
，则
，
，
当
时，
与题干矛盾，故D 错误.
7．（2026·福建泉州·三模）已知函数
，则（）
A．
图象关于
轴对称
B．
的最小正周期为
C．
的值域为
D．
在
单调递增
【答案】ACD
【分析】先利用
判定函数为偶函数，再赋值验算排除周期为
，借助三角恒等变形确定函数
值域，最后换元结合余弦函数性质判断指定区间单调性，依次得出各选项正误.
【详解】选项A.因为
的定义域为
，且
.
所以
是偶函数，图象关于
轴对称，A 正确.
选项B.当
时，
;
当
时，
.
取
，
故
的最小正周期不是
，B 错误.
选项C.当
时，
;
当
时，
.
由三角函数性质知，
，
，所以
的值域为
，C 正
确.
选项D.当
时，
，
.
令
，则
，
.
当
时，
单调递增且非负，故
在
上单调递增，D 正确.
三、填空题
8．【变载体】（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系
中，
，
，
，点
在线段
上运动（包括端点），点
满足
，若点
满足
，则直线
的斜率的取
值范围为___________.
【答案】
【分析】设
上的点
，再应用三角换元及辅助角公式结合二次函数恒成立计算求解范围.
【详解】设
上的点
，
，
点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程为
，
设
，且
，
所以
，整理得
，所以
，
所以
，所以
能成立，
所以
或
，所以
；
9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
的最大值为2，且其图象的一条对称轴为
，则
__________.
【答案】
【分析】先利用辅助角公式结合三角函数最大值的性质得到
的可能取值，再利用对称轴处函数取最值的
性质，代入
计算验证得到符合条件的
值.
【详解】对于
，其中
，其最大值为
，
又最大值为2，所以
，解得
.
又
，
因为
是
的一条对称轴，所以
，
若
，则
，舍去；
若
，则
，符合；
所以
.
10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数
在区间
上有且
仅有两个零点，则实数
的取值范围为___________．
【答案】
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得出
，令
，将问题转化为方程
在区间
上有且仅有两个根，结合正弦函数的性质得出
即可.
【详解】
设
，因为
，所以
．
函数
在区间
上有且仅有两个零点，
即方程
在区间
上有且仅有两个根．
因为方程
的正根从小到大排列分别是
所以
，解得
，
题型06 恒等变换与解三角形综合
一、单选题
1．函数
在区间
内所有零点的和为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化简函数
，由零点意义求得
或
，再
借助正余弦函数图象性质求解即得.
【详解】依题意，
，
由
，得
或
或
（不符合题意，舍去），
函数
是偶函数，在
上的所有零点关于数0 对称，它们的和为0，
正弦函数
的周期为
，方程
在
的两根和为
，
在
上的两根和为
，因此
在
上
的两根和构成首项为
，末项为
的等差数列，共有
项，所有根的和为
.
故选：B
2.在
中，
，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到
或
，得到三角形形状
【详解】
，由正弦定理得
，
故
，
又
，
，
所以
，
所以
，
即
，所以
或
，
由
得
或
（舍去），
由
得
，
故这个三角形一定是等腰或直角三角形
二、多选题
3．（2026·浙江·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，下列说法正确的有
（ ）
A．若
为锐角三角形，则
B．若
为钝角三角形，则
C．存在
，满足
且
D．若
，则
，
，成等差数列
【答案】ABD
【分析】A 选项，锐角三角形中
，利用
可直接推得
；
B 选项，钝角三角形中钝角余弦值为负，结合恒等式
，可知整体
大于小于2；
C 选项，由
得则
，平方后
，再由
得矛盾；
D 选项，用和差化积与
可推导出
，由正弦定理得
，即
成等差
数列.
【详解】A 选项：因为
为锐角三角形，所以
，即
.
由于
，
均为锐角，正弦函数在
上单调递增，所以
.
同理可得，
.
将两不等式相加，得到
，故A 选项正确.
B 选项：运用降幂公式和和差化积公式化简：
因为
为钝角三角形，所以三个角中必定有且只有一个钝角，另外两个为锐角.因此
从而推导出
，即
，故
选项正确.
C 选项：假设存在，则
，熟知
，则
，
，则
，矛盾，
C 错误；
D 选项：由
，得
，故
.
代入已知条件：
又
，代入得：
因
，故
，则：
，
两边同乘
，得
，
由正弦定理可得
，D 正确.
4．（2026·海南·模拟预测）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
一定是直角三角形
D．若
，则
是等腰三角形或直角三角形
【答案】AD
【详解】对于选项A，由
化简得
，
所以
，所以
，即A 正确；
对于选项B，若
，由正弦定理可得
，即
，得
，所以B 错误；
对于选项C，由
得
，因为
，所以
，
当
时，可得
，即
，此时
为直角三角形，
当
，且
时，
，例如
，满足条件，
不是直
角三角形，所以C 错误；
对于选项D，可知
，所以
，由
可知，
当
时，即
时，
是等腰三角形，
当
时，可得
，此时
，所以
为直角三角形，所以D 正确.
5．（2026·江苏无锡·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
是锐角三角形，则
C．存在钝角三角形
，满足
D．若
，则
成等差数列
【答案】ABCD
【分析】根据正弦定理结合大边对大角可判断A；根据诱导公式，正弦函数的单调性结合锐角三角形的条
件可判断B；利用三角恒等变换公式可得
可判断C；利用和差化
积公式结合正弦定理，等差数列的性质可判断D.
【详解】根据正弦定理：
，得
，
因此
， 三角形中大边对大角，故
，A 正确；
若
为锐角三角形，则
，且
，
因此
，即
，又
，
在
单调递增，故
，B 正确；
，
若
是钝角三角形，仅一个角为钝角，其余两个为锐角，故
，
因此
，存在这样的钝角三角形，C 正确；
，
：
因为
，两边约去
得：
，
.
由正弦定理得
，故
成等差数列，D 正确.
6．在
中，角A，B，C 所对边分别为a，b，c，AC 的中点为M，
，且
，延长AC
到点D，使点C 为线段AD 的中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．△ABD 的面积的最大值为
C．若△ABC 为锐角三角形，BM 的取值范围为
D．BD 的最小值为
【答案】ACD
【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角
判断选项A；由余弦定理和基本不等式得
，
再由
求最小值判断选项B；由
，利用向量的数量积和三角恒
等变换化简得
，△ABC 为锐角三角形，有
，结合正弦函数的性质
求取值范围判断选项C；设
，由余弦定理
，利用辅助角公式和正弦
函数的性质求最小值判断选项D.
【详解】对于A，已知
，由正弦定理得
，
即
，得
，
则有
，得
，
又由于
，所以
，故
，
而
，所以
，选项A 正确；
对于B，在
中，由余弦定理
，得
，
所以
，所以
，当且仅当
时取等号，
由于
，
所以
的面积的最大值为
，故选项B 错误；
对于C，在
中，由正弦定理得
，
，
，
由AC 的中点为M，有
，
，
△ABC 为锐角三角形，则
，得
，
当
，有
，所以
，
有
，故
，选项C 正确；
对于D，设
，所以
，在
中由余弦定理，
，
，
，
故当
，即
时，
取最小值
，所以
的最小值为
，故D 选项正确.
故选：ACD
三、填空题
7．【新题型】在
中，
，点D，E 分别在线段
上，
，
°，则
_________，
的面积等于_________．
【答案】
；
.
【分析】在
中，利用正弦定理求得
和
，再利用三角形面积公式直接求出
的面积.
【详解】在
中，
，点D，E 分别在线段
上，
，
所以
，
.
因为
，所以
，所以
，
.
在
中，
,
，
,
.
由正弦定理得：
,即
.
因为
，
所以
.
.
所以
的面积为
.
故答案为：
；
.
8．【新题型】在
中，已知
，则
________，
________．
【答案】
【分析】先由正弦定理及三角公式求出
；利用余弦定理求出
.
【详解】由正弦定理可知，
，
整理化简可得：
.
因为
所以
为钝角，
为锐角.
因为
，解得：
.
由余弦定理得：
，解得：
或
.
因为
为钝角，所以
，所以
.故
（
舍去）.
故答案为：
四、解答题
9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求
的值；
(2)若
是边
上一点，
，
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合分式有意义得到
，根据二倍角公式、辅助角公式得到
，进而求出角
及
.
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【详解】（1）由题意知，
，即
，即
.
因为
，所以
，
即
，
所以
，
又
，
，
所以
或
，所以
（舍）或
，
因为
，所以
，则
.
（2）
方法一：设
，则
，
，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
由
，可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，
联立解得
，
，
所以
的周长为
.
方法二：设
，则
，
，即
，
故
，故
，
所以
，可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，
联立解得
，
，所以
的周长为
.
10．在
中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，已知
．
（1）求角
；
（2）若
，
，求
的面积．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）方法一：由
可得
，从而可求出角
，方法二：把
化简可得
，从而可求出角
，
（2）方法一：由余弦定理可求得
，从而可求出
的面积，方法二：由正弦定理可求得
，则可得
，从而可求出
，进而可求出三角形面积
【详解】（1）方法一：
，
，
由
，得
，因此
．
方法二：
，
由于
，所以
．
（2）方法一：由余弦定理得
，
而
，
，
，得
，即
，
因为
，所以
，故
的面积
．
方法二：由正弦定理得
，从而
，
又由
，知
，所以
为锐角，
，
故
，
所以
．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知
中，角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．3
B．5
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，结合二倍角公式及正弦定理求出
，再由余弦定理求出
或
，
讨论舍去
即可求出答案.
【详解】由
，得
，
所以
.
由余弦定理
，得
，
解得
或
.
若
，则
，得
，又由
且
，得
，
所以
，与
矛盾；
若
，由余弦定理得
，
又
，且
，
所以
，符合题意．
综上所述，
.
2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
为函数
的最小正周期，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【详解】
.
，
.
3．（2026·河南开封·模拟预测）已知
的外接圆半径为
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理求出
，
，利用平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换并
结合角
的取值范围可求得
的最大值.
【详解】由正弦定理可得
，则
，
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
故当
时，
取最大值
.
二、多选题
4．（2026·海南三亚·一模）已知
中，
与
均为锐角，
的面积为
，
且
，则（）
A．
B．
C．
周长为
D．
【答案】ACD
【分析】利用和角公式结合已知等式推出
，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算
，逐一判断选项正误.
【详解】由
，可得
.
因为
，
所以
，
则
，
即
.
因为
与
均为锐角，所以
当
时，此时
，
.
当
时，
，
此时
，
，则
，
且
，
，则
，
此时
与
不能同时成立，同理，
也不成立，
综上
， 选项A 正确.
因为
，则
，由
可得
成立，
又
，则
，
成立，
此时
，
由正弦定理：
，
，即
，
故
.
，
，即
，所以
，
，选项B 错误.
，选项D 正确.
因为
，
所以
，所以周长
选项C 正确.
5．（2026·安徽合肥·二模）已知
是定义域为
，最小正周期为
的函数，我们把
称为
的叠加函数，则（ ）
A．
的叠加函数是最小正周期为
的周期函数
B．当
时，
的值域为
C．当
时方程
在
上有25 个实根
D．当
，
，
时方程
在
有实根的充要条件为
【答案】BCD
【分析】由题意，求出
，分析可判断A 的正误；当
时，可得最小正周期
，即
可得
的解析式，即可得
的解析式，根据正弦型函数的值域，即可判断B 的正误；分别讨论
和
两种情况，分别求出
的解析式，根据条件，求出根，可判断C 的正误；分别讨论
和
两种情况，分别求出
的解析式，根据二次函数的性质，可得
的值域，分析可
判断D 的正误.
【详解】选项A：
，
所以
的叠加函数的一个周期为
，故A 错误；
选项B：当
时，最小正周期
，
则
，
所以
，
因为
，所以
，则
，所以
，故B 正确；
选项C：
的最小正周期
，则
，
当
时，
，
，则
，
此时方程
在
上的根为
，共13 个；
当
时，
，
，
所以
，
令
，则
，
所以
，则
，
此时方程
在
上的根为
，共12 个，
所以方程
在
上有25 个实根，故C 正确；
选项D：由题意
的最小正周期为2，则
，
当
时，
，
则
，
因为
，所以
，
当
时，
，
则
，
因为
，所以
，综上
在
上的值域为
，
则方程
在
有实根的充要条件为
，故D 正确.
6．（2026·湖北·模拟预测）已知
分别为双曲线
的左、右顶点，
为双曲
线上位于第一象限内任意一点，记
（其中
均不为
），
的面
积为，则（ ）
A．
的值随着
的增大而减小
B．
C．
为定值
D．
为定值
【答案】ACD
【分析】由正弦定理结合正弦函数单调性可判断A；借助倾斜角与斜率的关系计算可得B；借助面积公式、
三角形内角和关系、诱导公式与倾斜角与斜率的关系计算可得C；借助三角形内角和关系、诱导公式与两
角和与差的余弦函数公式计算可得D.
【详解】对A：
，当
增大时，
增大，且
，故
增大，
增大，且
，故
减小，故
减小，即
的值随着
的增大而减小，故A 正确；
对B：
、
，由
，满足
，
则
，
，
则
，
由
为双曲线渐近线方程，则
，即
，
故
，故B 错误；
对C：
，
，
且
，
则
，故
为定值，故C 正确；
，
故
为定值，故D 正确.
三、填空题
7．（2026·四川绵阳·模拟预测）在△ABC 中，已知M、N 分别是AC、BC 的中点，且
，则
______；若△ABC 的面积为3，则AB 的最小值为______.
【答案】
【分析】设
，
角A，B，C 的对边分别为a，b，c，通过已知条件得
，再
通过正弦定理即可求出
的值；过A 作AH 垂直于BC 与
，通过△ABC 的面积为3 得到
，再把
代入即可求出.
【详解】设
，
角A，B，C 的对边分别为a，b，c
因为M、N 分别是AC、BC 的中点，所以
，又
；
所以
，化简得：
，即
（C 为锐角）
由正弦定理可得：
，又
，
所以
，所以
，即
；
如图，过A 作AH 垂直于BC 于H.
因为
，所以
，则
；
又△ABC 的面积为3，所以
；
所以
，即
，所以AB 的最小值为
.
8．（2026·江苏徐州·三模）已知三角形
的内角
的对边分别为
，
，
，则
的最大值为_______．
【答案】
【分析】利用正余弦定理得到
，根据两角差的正切公式得到
，令
，结合基本不等式求解即可.
【详解】由余弦定理得，
，
又
，所以
，即
.
由正弦定理得，
，所以
，
即
，
斜三角形
中，
，
，
所以
.
.
因为
，则
，所以
，若
为钝角，
也为钝角，不满足，故
为锐角，
令
，则
.
则
，当且仅当
，即
时取等号.
故
的最大值为
.
9．（2025·山东青岛·二模）已知
，曲线
与
相邻的三个交点构成一个直角三
角形，则
______．
【答案】
/
【分析】联立方程，利用和差公式化简，表示出相邻三点的坐标，然后根据三角形的特征列方程求解即可.
【详解】设三个相邻的交点分别为
，
，
，
不妨设
，由
，
得
，整理得
，
所以
，所以
，
，
不妨令
，0，1，得
，
，
，
则
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，因为
是一个直角三角形，
所以
为等腰直角三角形，底边为
，
即
，
整理得
，因为
，所以
.
10．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在
中，内角
的对边分别是
，若
，
，则
的面积最大值为___________．
【答案】
【分析】由已知条件可得
，进而可得
，利用余弦定理结合基本不等式可得
，最后根
据
求出三角形面积最大值.
【详解】解：由
，则
，
化简整理得
，即
，
则
，此时
，则
，
或
，
，则
，在三角形中不合题意，
因此，
，
由余弦定理可得
，又
，代入化简得
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
因此，
的面积最大值为
.
四、解答题
11．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知
分别为
三个内角
的对边，且
(1)求角
；
(2)已知
，
为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出
角
；
（2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简
，再由锐角三角形约束
的范围，
最后结合正弦函数的单调性即可得出
的取值范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理
得：
，
因为
，所以
，则
，
即
，
，
因为
，则
，所以
，即
.
（2）因为
，
，所以
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，
所以
，
所以
，
所以
．
真题·实战演练
高频考点：三角恒等变换的应用
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得
，则
，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】
，
因为
，则
，则
，
则
.
故选：D.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得
的值，最后利用三角
形内角和定理可得
的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，由于
，故
，
据此可得
，
则
.
故选：C.
二、多选题
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知
的面积为
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对
由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较
和
的
大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利
用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用
算出
取值，最后利用三角形面积求
出三边长，即可判断每个选项.
【详解】
，由二倍角公式，
，
整理可得，
，A 选项正确；
由诱导公式，
，
展开可得
，
即
，
下证
.
方法一：分类讨论
若
，则
可知等式成立；
若
，即
，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，
，同理
，
又
，于是
，
与条件不符，则
不成立；
若
，类似可推导出
，则
不成立.
综上讨论可知，
，即
.
方法二：边角转化
时，由
，则
，
于是
，
由正弦定理，
，
由余弦定理可知，
，则
，
若
，则
，注意到
，则
，
于是
（两者同负会有两个钝角，不成立），于是
，
结合
，而
都是锐角，则
，
于是
，这和
相矛盾，
故
不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由
，结合正弦定理可得，
，由射影定理可得
，于
是
，
则
，可同方法一种讨论的角度，推出
，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知
同时为
或者异号，即
，展开可得，
，
即
，结合和差化积，
，由上述分析，
，则
，则
，则
，即
，于是
，可
知
.
由
，由
，则
，即
，
则
，同理
，由上述推导，
，则
，
不妨设
，则
，即
，
由两角和差的正弦公式可知
，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，
，
设
，则
，
由
，则
，则
，
于是
，B 选项正确，由勾股定理可知，
，D 选项错误.
故选：ABC
三、填空题
4．（2025·上海·高考真题）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
的取值范围是_______．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得
，再根据数量积关系设出
坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若
，则
，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量
两两垂直，显然不成立；
故
.
不妨设
，则
，
不妨设
，
，
则
，则
，
则
，
由
，
，
则
，
故
.
故答案为：
.
5．（2024·上海·高考真题）三角形
中，
，则
______
【答案】
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
【详解】三角形
中，
，
，
由正弦定理
，
，
，
得
．
故答案为：
．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
_______.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
7．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终
点距离水平面的垂直高度为4 米，游客每走一米消耗的体能为
，要使游客从斜坡底走到斜坡
顶端所消耗的总体能最少，则
______．
【答案】
【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力
关于
的函数，利用导数求解作答.
方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力
关于
的函数，借助辅助角公式求解作答.
【详解】方法1：依题意，斜坡长度
，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力
，
求导得
，由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，人上坡消耗的总体力
最小.
方法2：依题意，斜坡长度
，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力
，
由
，得
，即
，其中锐角
由
确定，
显然
，而
，则
，当且仅当
，即
时取等号，
此时
，即
，
所以当
时，人上坡消耗的总体力
最小.
故答案为：
四、解答题
8．（2026·全国二卷·高考真题）在
中，已知
，
．
(1)证明：
为钝角三角形；
(2)若
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)证明：由
，则
，
又
，得
，则
，
由两角和的余弦公式，
，
结合
可知
，
则
异号，必然一个为负，一个为正.
又
，即
中必有一个是钝角；
(2)
【分析】（1）
，结合题设得出
，然后由两角和的余弦展开得到
，进而得解；
（2）先推出三角形面积公式的变形式
，解得
，由正弦定理进而得出
，然后
列余弦定理和面积公式的关于
的方程组求解.
【详解】（1）略
（2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式，
，
（
是
外接圆半径）
又
，
，则
，解得
，
又
，则
，
由余弦定理
，即
，
又
，则
，
于是
，即
，
，解得
，
故
周长为
.
方法二：由
，则
，
即
，
由正弦定理可得，
，
由三角形面积公式，
，
得到
，则
，其余同上.
9．（2026·天津·高考真题）已知
．
(1)求最小正周期；
(2)若
，求
的最大值和最小值；
(3)若
，
，求
．
【答案】(1)
(2)最大值为
，最小值为
(3)
【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；
（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；
（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.
【详解】（1）
；
（2）若
，则
，
由正弦函数性质可知，当
，即
时，函数
有最小值，即
，
当
，即
时，函数
有最大值，即
.
所以函数
的最大值为
，最小值为
；
（3）若
，
，所以
，
则
，
，
则
.
10．（2025·天津·高考真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于
的方程，求解可得
，进而求得；
（3）利用正弦定理先求
，再由二倍角公式分别求
，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知
，由正弦定理
，
得
，显然
，
得
，由
，
故
；
（2）由（1）知
，且
，
，
由余弦定理
，
则
，
解得
（
舍去），
故
；
（3）由正弦定理
，且
，
得
，且
，则
为锐角，
故
，故
，
且
；
故
.
11．（2023·全国甲卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出
即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为
，所以
，解得：
．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：
，即
，
而
，所以
，又
，所以
，
故
的面积为
．
