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4.4 简单的三角恒等变换的应用
1．降幂公式
sin2α＝，cos2α＝.
2．升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
3．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
4．积化和差公式与和差化积公式
积化和
差公式
sin αcos β＝1
2[sin (α＋β)＋sin (α－β)]
cos αsin β＝1
2[sin (α＋β)－sin (α－β)]
cos αcos β＝1
2[cos (α＋β)＋cos (α－β)]
sin αsin β＝－1
2[cos (α＋β)－cos (α－β)]
和差化
积公式
sin θ＋sin φ＝2sin θ+φ
2
cos θ−φ
2
sin θ－sin φ＝2cos θ+φ
2
sin θ−φ
2
cos θ＋cos φ＝2cos θ+φ
2
cos θ−φ
2
cos θ－cos φ＝－2sin θ+φ
2
sin θ−φ
2
5．半角公式
(1)sin α
2 ＝{
❑√
1−cosα
2
，α
2 是第一、第二象限角
−❑√
1−cosα
2
，α
2 是第三、第四象限角
(2)cos α
2 ＝{
❑√
1+cosα
2
，α
2 是第一、第四象限角
−❑√
1+cosα
2
，α
2 是第二、第三象限角
(3)tan α
2 ＝±❑√
1−cosα
1+cosα ＝
sin α
1+cosα ＝1−cosα
sin α
．
[常用结论]
公式的常用变式(万能公式)
(1)sin 2α＝＝；
(2)cos 2α＝＝；
(3)1＋cos α＝2cos2；
(4)1－cos α＝2sin2；
(5)1＋sin α＝2；
(6)1－sin α＝2；
(7)tan ＝＝.
考点一 辅助角公式与降幂公式
考点二 积化和差、和差化积与半角公式
考点三 利用三角恒等变换公式化简求值
考点四 三角恒等变换综合应用
考点一 辅助角公式与降幂公式
1．（25-26 高三上·上海·期中）函数
的值域是______________．
【答案】
【详解】因为
，所以
，其中
，
因此
的值域为
.
2．（2026·江苏淮安·模拟预测）
的值域为___________．
【答案】
【分析】首先根据
的正负去掉绝对值符号，将
整理为分段函数形式，再利用辅助角公式求出
的整体取值范围，最后结合分段函数的表达式即可得到
的值域.
【详解】设
，化简得
，
因此
，当
时：
，
当
时：
，此时
，
合并两种情况，可得
的所有取值范围是
.
3．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列各式中，化简结果为1 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】因为
，所以A 正确；
因为
，所以B 正确；
因为
，所以C 错误；
因为
，所以D 正确.
4．（25-26 高三上·湖南永州·开学考试）（多选）已知函数
的图象关于点
对
称，则
的值可以是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】依题意，函数
，
由
，得
，
则函数
的图象关于点
对称，即
，
当
时，
；当
时，
，BD 是，
不存在整数
，使得
，AC 不是.
5．（25-26 高三下·安徽·期中）（多选）已知
为锐角，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据
结合题干式子可求出
，根据同角三角关系可求出
，可判断A；利
用
可判断B；根据齐次式转换可判断C；利用同角三角关系求出
，结合辅助角公式可
判断D.
【详解】由
，得
，解得
，
因为
为锐角，所以
，所以
，
所以
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
，又
为锐角，解得
，
，
故D 错误.
6．（2026·河南焦作·一模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
.
考点二 积化和差、和差化积与半角公式
7．（2026·重庆·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定角的范围，求出
值，利用正弦和余弦的差角公式求出
和
，最后用半角公式
即可求解.
【详解】已知
，因此
，
所以
，
所以
，
化简得
①；
而
，
化简得
②；
联立①②，相加得：
相减得：
，
由
，得
，
根据半角公式
，代入
得
.
8．（2026·青海西宁·二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两角和的余弦公式，可得
的值，根据半角公式，即可得答案.
【详解】由题得
，
又
，所以
是锐角，所以
．
9．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
且
，则
的值为_____________．
【答案】2
【分析】由已知条件求出
值，进而求出
，再利用半角正切公式计算求解．
【详解】
由
且
，可知
，
，
，
，
．
故答案为：
．
10．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】运用和差化积公式进行化简分子部分变为
，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问
题得到解决.
【详解】运用和差化积公式进行化简，得
.
11．（湖北武汉市2026 届高三年级五月供题数学试题）已知
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助和差化积公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式计算即可得.
【详解】由
，故
，
由
，故
，
则
，
则
.
12．（2026 高三·全国·专题练习）（1）求值：
______；
（2）若
，则
的最大值是______．
【答案】
/
【分析】（1）先利用降幂公式，再利用和差化积和积化和差公式化简即可；
（2）利用和差化积公式化简，结合三角函数的最值求解或利用消元思想，结合辅助角公式化简，最后利用三角函
数的最值求解.
【详解】（1）原式
．
（2）（方法一）因为
，
所以
，
当且仅当
时取等号，则
的最大值为
．
（方法二）由于
，
则
，
当且仅当
，
即
时，
取最大值，
且
的最大值为
．
考点三 利用三角恒等变换公式化简求值
13．（25-26 高三上·江苏盐城·阶段检测）（1）已知
，求
的值；
（2）化简：
.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到
的值，再平方求
；
（2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果.
【详解】（1）由二倍角公式：
，
由余弦差角公式：
.
由于原式分母不为0，故
，则
，
化简得
，两边平方得
，
解得
.
（2）将
代入
得
，
则分子
，
由降幂公式可知分母
，
从而原式
.
14．（2026·海南海口·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，
即
，得
，
则
.
因为
，
所以，
.
15．（25-26 高三上·广东中山·阶段检测）（多选）下列各式化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式计算即可.
【详解】对于A：
，A 错误；
对于B：因为
，
所以
所以
，B 正确；
对于C：因为
，
所以
，C 正确；
对于D：
，D 正确.
16．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知
．
(1)化简
，并求值；
(2)若
且
，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）因为
，
，所以
，
原式
，
所以，原式
（2）因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
17．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）已知函数
.
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，
，且
，
均为锐角，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
.
（2）
，即
，
.
（3）因为
，
均为锐角，所以
，
因为
，
，
所以
，解得
.
18．（25-26 高三上·云南昆明·阶段检测）化简
（ ）
A．-1
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据同角三角函数商的关系，诱导公式，辅助角公式，二倍角公式化简可得.
【详解】解析：
故选：A
19．（25-26 高三上·江苏镇江·阶段检测）（1）已知
，
，其中
，
.求角
的值.
（2）化简：
.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求出
的余弦和
的正弦，再利用两角差的正弦求出
的值，从而可求
的值；
（2）利用同角三角函数基本关系式可得
，再利用辅助角公式和两角差的正弦可求三角
函数的值.
【详解】（1）因为
，
且
，
，可得
，
所以
，
则
.
因为
，
，可得
，
又因为
，
，
所以
，
，可得
，
所以
，所以
.
（2）原式
.
20．（25-26 高三上·全国·课后作业）化简：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行化简；
（2）利用同角三角函数的基本关系进行化简；
（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简；
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
.
考点四 三角恒等变换综合应用
21．（25-26 高三上·湖北·期中）（多选）在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形
对应的函数为
，下列关于该函数说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最大值为
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递增
【答案】AB
【分析】化简函数
，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由函数
，
对于A，函数
的最小正周期为
，所以A 正确；
对于B，函数
的最大值为
，所以B 正确；
对于C，令
，可得
，
其中
不是
的解，所以
不是
的对称轴，所以C 错误；
对于D，由
，可得
，
当
时，即
时，函数
单调递增；
当
时，即
时，函数
单调递减，所以D 错误.
22．（25-26 高三上·海南海口·期中）已知函数
.
(1)求
的最小正周期和对称中心；
(2)求
在区间
内的单调递增区间.
【答案】(1)最小正周期
，对称中心为
；
(2)
和
.
【分析】
利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相
位等于
，解出
即为对称中心的横坐标；
（2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出
的范围，得到单调递增区间的通式，再与给
定区间
取交集，即得所求的单调递增区间.
【详解】（1）函数
，
所以
的最小正周期
，
令
，解得：
，此时
，
的对称中心为
；
（2）令
，
解得
，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；当
时，
的单调递增区间为
；
在区间
内单调递增区间
和
.
23．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知
，
，
．
(1)当
，
时，求函数
在
上的单调区间；
(2)若
在区间
上有解，求
的取值范围．
【答案】(1)函数单调递增区间为
和
；函数递减区间为
和
．
(2)
【分析】（1）用二倍角公式把原函数转化为关于
的二次函数，利用换元法结合二次函数和余弦函数的单调性，
利用同增异减原则分析函数单调性，求出函数单调区间；
（2）利用二倍角公式结合两角和与差的公式化简已知不等式，把在区间上有解问题转化为最小值问题，进而求解；
【详解】（1）当
，
时，
，
令
，则
，开口向上，对称轴为
，
则
时，函数单调递减；当
时，函数单调递增；
在
上单调递增，在
上单调递减，
令
，在
上，解得
，
根据同增异减原则，当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
故函数单调递增区间为
和
；函数递减区间为
和
．
（2）由题意得
，
则不等式
化简为
，
即
，
在
时，
，
，
，
故
，不等式转化为
，
即
，
当
时，
，故
，
令
，则
，
存在
使得
等价于
，
．
24．（25-26 高三上·江苏南京·阶段检测）（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知角
，
，且
，
，求
和
的值．
【答案】（1）
；（2）
，
【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解；
（2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出
、
、
，再由
展开计算即可．
【详解】（1）
，
得
，
解得
；
（2）
，
，
，
，
，
，
又
，
，
．
25．（25-26 高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数
，
．
(1)求
在
的单调递减区间；
(2)当
时，求
的最大值和最小值；
(3)若
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)最大值为
，最小值为
(3)
【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简
，再根据正弦函数的性质即可求解；
（2）根据三角函数的性质即可求解最值；
（3）由已知得出
，结合
及同角三角函数的平方关系得出
，由两角和的正弦公
式即可求解．
【详解】（1）
，
由
，解得
，
又
，所以
的单调递减区间为
．
（2）因为
，所以
，则
，
所以
，
所以
的最大值为
，最小值为
．
（3）由
，所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
．
1．（2026·浙江金华·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．
或3
【答案】C
【详解】
，所以
，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
或.
2．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）下列函数的最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的周期公式可判断ACD 选项；利用函数周期性的定义可判断B 选项.
【详解】对于A 选项，函数
的最小正周期为
，A 符合要求；
对于B 选项，对于函数
，因为
，故函数
的最小正周期不是
，B 不符合要求；
对于C 选项，函数
的最小正周期为
，C 不符合要求；
对于D 选项，函数
的最小正周期为
，D 不符合要求.
3．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】换元法构造函数利用单调性求最值
【详解】令
，则
，且
，
所以
，
，
因为
，
令
，得
，令
，得
，
故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以其最大值
.
4．（25-26 高三上·安徽马鞍山·期末）已知角
满足
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解.
【详解】角
满足
，
则
.
故选：D
5．（2026·福建泉州·三模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式可得
，结合特殊角的三角函数值求得
，代入
即可求
解.
【详解】由
，
所以
,则
，
即
，所以
6．（2026·河南开封·二模）设函数
，若
恒成立，且
在
上最
大值与最小值的和为0，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．5
D．4
【答案】B
【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出
的特征，再结合最大值与最小值的和为0 的条件，求出
的最
小值．
【详解】
，周期为
，
，则
是周期，
，即
是正偶数，
当
时，
，
已知最大值与最小值的和为0，
最大值与最小值互为相反数，
若
，区间
，
最大值为
，最小值为1，和不为0；
若
，区间
，
最大值为
，最小值为
，和不为0；
若
，区间
，
最大值为
，最小值为
，和为0；
的最小值为6．
7．（25-26 高三上·广东江门·期中）设函数
，若
，则函数
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】利用降幂公式
，代入原函数得
，
再用辅助角公式整理得
. 已知
，则
，
正弦函数
，
的取值范围是
，故
，
则
，
因此函数
的值域为
.
8．（24-25 高三上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列各式的值正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A 选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B 选项；利用二倍角
的正切公式可判断C 选项；利用两角和的正切公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，
，A 错；
对于B 选项，
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，因为
，
所以，
，
故
，D 对.
故选：BD.
9．（24-25 高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案.
【详解】
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
，故
，故D 正确.
故选：ACD.
10．（25-26 高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为
，且在
上单调递增的为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】选项A：
的最小正周期为
，
单调递增区间为
，满足在
上单调递增，故A 正确；
选项B：
，定义域为
且
，
没有意义，最小正周期
不是
，故B 错误；
选项C：
的最小正周期为
，
在
单调递减，
则
在
单调递减，故
在
单调递增，故C 正确；
选项D：
，最小正周期为
，
在
时，
，函数
在区间内先增后减，故D 错误．
11．（25-26 高三上·辽宁抚顺·期中）（多选）下列各式计算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用和差角的三角函数公式、辅助角公式、二倍角公式逐项求解判断.
【详解】对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，由
，得
，
因此
，D 错误.
12．（25-26 高三上·四川巴中·期中）（多选）下列代数式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数式的
值，判断是否等于
.
【详解】选项A：由二倍角余弦公式
，
得
，A 错误.
选项B：由二倍角正弦公式
，
得
，B 正确.
选项C：由同角三角函数关系
，
代入得
，C 正确.
选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：
，
D 错误.
13．（24-25 高三上·江苏南通·阶段检测）已知
，则
的值为__________．
【答案】
【详解】
，
，
，
又
，
，
．
14．（25-26 高二下·北京·期中）已知函数
．若
在区间
上的最大值为
，
则
___________．
【答案】
【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性与最值特征，根据给定区间的
最大值条件求解参数
。
【详解】因为
，
所以
，
当
时，
，
若
在区间
上的最大值为
，
则
，
，
则
，即得
.
15．（25-26 高三上·上海·期中）化简：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
．
(1)求函数的最小正周期、对称轴和零点；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若关于x 的方程
在
上有两个不同的解
、
，求实数m 的取值范围及
的值．
【答案】(1)
，对称轴
，零点
或
．
(2)
(3)
且
，
或
【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式及辅助角公式化简函数为
，再利用正弦型函数的性
质求最小正周期、对称轴和零点；
（2）利用已知条件求出
，进而根据
求出
，最后利用余弦的和角公式计算求解；
（3）把零点问题转化为
与直线
的交点问题，作出
的大致图象，结合图象及正弦型函数的对称
性求实数m 的取值范围及
的值．
【详解】（1）
，
函数的最小正周期为
，
令
，解得对称轴为
，
令
，即
，则
或
，
解得
或
．
（2）
，解得
，
，
，则
位于第四象限，
，
，
．
（3）方程
在
上有两个不同的解
、
，等价于
与
在
有两个不同交点，
，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
最大值为
，最小值为
，且
，
作出函数大致图象如下：
由图象可知，
且
时，直线与
有两个交点，
解得
且
，
当
，即
时，两交点关于对称轴
对称，
则
；
当
，即
时，两交点关于对称轴
对称，
则
．
