文档文本内容
4.2 简单的三角恒等变换
目录
01思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、两角和与差公式................................................................................................................3
知识点二、二倍角公式........................................................................................................................3
知识点三、降幂公式............................................................................................................................3
知识点四、升幂公式............................................................................................................................3
知识点五、辅助角公式........................................................................................................................3
知识点六、和差化积公式....................................................................................................................4
方法总结1：化简小技巧.....................................................................................................................4
方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余.................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................6
题型一：和差角三角公式....................................................................................................................8
题型二：和差公式逆向运用................................................................................................................9
题型三：辅助角公式多场景应用........................................................................................................9
题型四：由值求值问题......................................................................................................................10
题型五：由角求值问题......................................................................................................................10
题型六：由值求角问题......................................................................................................................11
题型七：正切恒等式综合运用..........................................................................................................12
题型八：三角式化简..........................................................................................................................12
题型九：三角恒等变换综合题型......................................................................................................12
05 课后拓展精练................................................................................................................................17知识点一、两角和与差公式
① ；③ ；
② ；④ ；
⑤ ；变形公式： ；
⑥ ；变形公式： ．
知识点二、二倍角公式
① ；
② ；
③
知识点三、降幂公式
① ；
② ；
③ ．
知识点四、升幂公式
① ，
② ；
③ ，
④ ．
知识点五、辅助角公式
．①其中辅助角 是由方程 ， ， ．决定
②正弦在前，余弦在后（确保系数 ， 不会弄反）
③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限.
④保证 ， ．
知识点六、和差化积公式
1、积化和公式
①
②
③
2、和化积公式
①
②
③
④
方法总结1：化简小技巧
1的代换： ；
①
② ．
方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余
①两角互组：②两角互补：
③两角互余：1．（2026·全国二卷·高考真题）已知 为第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·上海·高考真题）已知 ，则 __________．
9．（2025·上海·高考真题）已知 ，则 __________．
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，，则 _______.
11．（2023·上海·高考真题）已知 ，则 =__________.
12．（2022·上海·高考真题）已知 ，则 _________.
13．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 __________， _________．题型一：和差角三角公式
【典例1-1】已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系 ．设时针长为
，若某时刻时针指向 点到 点之间，且针尖所在点的纵坐标为 ，则在经过 小时后，时针针尖所在点
的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026·山东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．-3
【变式1-4】（2026·高三·浙江·开学考试）若 ， ，则 的值为（ ）A． B．2 C． D．
题型二：和差公式逆向运用
【典例2-1】 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】若 且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】 （ ）
A．1 B． C． D．4
【变式2-4】（2026·高三·河南南阳·期中）tan （ ）
A．0 B． C．2 D．
题型三：辅助角公式多场景应用
【典例3-1】已知函数 ，其中 是常数.
①若 ，则 的最大值是___________；
②若 且 的最大值是 ，则 的一个取值为___________.
【典例3-2】函数 ， 的值域为_________．
【变式3-1】已知 ，则 的值为______．
【变式3-2】（2026·北京大兴·三模）函数 的最大值是_____________， 取最大值
时， ____________．【变式3-3】函数 的最大值为_____.
【变式3-4】（2026·河北雄安·三模）函数 的最大值为________．
【变式3-5】已知函数 ，若 ，则 的值为___________．
题型四：由值求值问题
【典例4-1】（2026·海南三亚·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2026·河南周口·模拟预测）已知 ， 均为锐角，且满足 ，
，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【变式4-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2026·甘肃·模拟预测）已知 ， ， ， 都是锐角，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
题型五：由角求值问题
【典例5-1】（2026·高三·江苏淮安·期中） （ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】 （ ）
A． B． C． D．2
【变式5-1】 =（ ）
A．16 B．32 C． D．
【变式5-2】 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2026·高三·甘肃·阶段检测）计算 （ ）
A．2 B． C． D．
【变式5-4】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）求值： （ ）
A．1 B． C． D．
题型六：由值求角问题
【典例6-1】已知 ，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】在 中，已知 ， 是关于 的方程 的两个实根，则 （ ）
A． B． C． D．【变式6-1】已知 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
【变式6-2】已知 均为钝角， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知角 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】已知 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-5】（2026·高三·福建莆田·阶段检测）设 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型七：正切恒等式综合运用
【典例7-1】 _____.
【典例7-2】求值： ______.
【变式7-1】（2026·湖南长沙·模拟预测） ___________．
【变式7-2】使得 成立的 的一个值为______________ ．
【变式7-3】已知 满足 ，则 ______．
【变式7-4】在△ABC中，内角 所对的边分别为 且满足
，若 ，则 的取值范围是____.
【变式7-5】设a，b是非零实数，且满足 ，则 ______.【变式7-6】计算： ________．
【变式7-7】在 ABC中，若 ，则 _____________．
△
题型八：三角式化简
【典例8-1】在 中， ．
(1)当 时，求 的值；
(2)求C；
(3)若 ， ，求 的外接圆半径．
附： ； ．
【典例8-2】已知向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求函数 的最小值.
【变式8-1】设 为实数，已知函数 的最小值为 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ， ， 均为锐角，求 ．
【变式8-2】 ，其最小正周期为 ．
(1)求 的值及函数 的单调减区间；(2)已知 ，求 ．
【变式8-3】已知函数 ．
(1)求 的值及 的最小正周期；
(2)求 的单调递减区间．
【变式8-4】已知函数 .
(1)求 的最小正周期：
(2)求 在区间 上的最小值.
【变式8-5】已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，且 ，求 的值．
【变式8-6】（2026·宁夏·模拟预测）已知函数 的图象的相邻两
个对称中心之间的距离为 ．(1)求 的值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
题型九：三角恒等变换综合题型
【典例9-1】（2026·上海·模拟预测）已知 .
(1)求函数 的最小正周期和最大值；
(2)在 中，若 ， ，求 .
【典例9-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 ，若 ，
在 上有最大值，且无最小值.
(1)求 的值及 的取值范围；
(2)若 ，求函数 图象的对称中心.
【变式9-1】已知角 且 .
(1)若 ，求 的值；(2)若 ，求 的值.
【变式9-2】已知 .若锐角 满足 ，求 的
值.
【变式9-3】（2026·高三·福建莆田·期中）已知函数
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
【变式9-4】（2026·高三·山东临沂·阶段检测）（1）化简： ；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ， ，求 的值．1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则
（ ）
A． B． C． D．0
2．（2026·广西·模拟预测）角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，则 （ ）．
A． B． C．1 D．0
3．（2026·山东聊城·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知 为第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2026·云南玉溪·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知 ，且 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
9．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）下列各式中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2026·辽宁·模拟预测）下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知 ，若 ， ，则 _____．
13．（2026·河北秦皇岛·一模）已知 ，则 __________.
14． ，则 _________．
15．（2026·山西忻州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ， ，
.
(1)求a，c；
(2)求 ；
(3)求 .
16．已知 ．(1)求最小正周期；
(2)若 ，求 的最大值和最小值；
(3)若 ， ，求 ．
17．已知 ， ，求 的值．
