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简单的三角恒等变换
3-3
1. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行
简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
3-3 简单的三角恒等变换......................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：两角和与差的正余弦与正切................................................................................................1
考点2：二倍角公式................................................................................................................................2
考点3：降次（幂）公式.......................................................................................................................2
考点4：半角公式.....................................................................................................................................2
考点5：辅助角公式................................................................................................................................2
【方法技巧与总结】...............................................................................................................................2
1．两角和与差正切公式变形.......................................................................................................2
2．降幂公式与升幂公式................................................................................................................2
3．其他常用变式..............................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 三角函数式的化简....................................................................................................................3
题型二 三角函数式的求值....................................................................................................................4
命题点1 给角求值........................................................................................................................4
命题点2 给值求值........................................................................................................................5
命题点3 给值求角........................................................................................................................6
题型三 三角恒等变换的综合应用......................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................8一、主干知识
考点1：两角和与差的正余弦与正切
① ；
② ；
③ ；
考点2：二倍角公式
① ；
② ；
③ ；
考点3：降次（幂）公式
考点4：半角公式
考点5：辅助角公式
b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
asinα+bcosα= √a2 +b2 sin(α+ϕ)
（其中
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．【方法技巧与总结】
1．两角和与差正切公式变形
tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)
；
tanα+tanβ tanα−tanβ
tanα⋅tanβ=1− = −1
tan(α+β) tan(α−β)
．
2．降幂公式与升幂公式
1−cos2α 1+cos2α 1
sin 2α= ；cos 2α= ；sinαcosα= sin2α
2 2 2 ；
1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sinα+cosα) 2 ；1−sin2α=(sinα−cosα) 2
．
3．其他常用变式
2sinαcosα 2tanα cos2α−sin2α 1−tan2α α sinα 1−cosα
sin2α= = ；cos2α= = ；tan = =
sin2α+cos2α 1+tan2α sin2α+cos2α 1+tan2α 2 1+cosα sinα
．
3. 拆分角问题：① ； ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
注意 特殊的角也看成已知角，如 ．二、分类题型
题型一 三角函数式的化简
【例题精析1】 （2021•甲卷）若 ， ，则
A． B． C． D．
【例题精析2】 （2021•乙卷）
A． B． C． D．
【例题精析3】 （2019•江苏）已知 ，则 的值是 ．
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．【对点精练1】 （2020•新课标Ⅰ）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【对点精练2】 （2019•全国）已知 ，则
A． B． C．3 D．5
【对点精练3】 （2019•新课标Ⅱ）已知 ， ，则
A． B． C． D．
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
【例题精析4】 （2023 春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）若 ，则
___________.
【例题精析5】 （2021春·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中） ______.【对点精练1】 若 ,则 __________．
【对点精练2】 求 ________.
命题点2 给值求值
【例题精析6】 已知 ，则 ______．
【例题精析7】 若 ， ，则 ________
【对点精练3】 已知 ，且 ，则 _________
【对点精练4】 设 ，若 ，则 ______.
【对点精练5】 若 ，则 __________.
命题点3 给值求角【例题精析8】 已知 ， ，且 ， ，则 的值是___________.
【例题精析9】 若 为锐角， ，则角 __________.
【例题精析10】 已知 都是锐角， ，则 ___________.
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的
联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
【对点精练6】 已知 ， ， ， ，则
________．
【对点精练7】 已知 ， 均为锐角，若 ，则 值为____________．
【对点精练8】 已知 ，且 ，则 _____________.
题型三 三角恒等变换的综合应用
【例题精析11】 （2022•新高考Ⅱ）若 ，则A． B． C． D．
【例题精析12】 （2021•全国）函数 图像的对称轴是
A． B．
C． D．
【例题精析13】 （2020•新课标Ⅲ）已知 ，则
A． B． C．1 D．2
【例题精析14】 （2022•浙江）若 ， ，则 ， ．
【例题精析15】 （2021•浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在 ， 上的最大值．
【例题精析16】 （福建高考专题）已知函数 ．
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函数 的最小正周期及单调递增区间．
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式
的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与
对称性．【对点精练1】 （2020•新课标Ⅲ）已知 ，则
A． B． C． D．
【对点精练2】 （2022•北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
【对点精练3】 （2018•江苏）已知 ， 为锐角， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【对点精练4】 （2018•北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若 在区间 ， 上的最大值为 ，求 的最小值．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•北京）已知函数 ，则
A． 在 ， 上单调递减
B． 在 ， 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 ， 上单调递增
2．（2018•新课标Ⅲ）若 ，则
A． B． C． D．
3．（2018•新课标Ⅲ）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
4．（2018•新课标Ⅱ）若 在 ， 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
5．（2018•新课标Ⅰ）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，
，且 ，则A． B． C． D．1
6．（2018•新课标Ⅱ）若 在 ， 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
7．（2018•新课标Ⅱ）已知 ，则 ．
8．（2019•江苏）已知 ，则 的值是 ．
9．（2017•江苏）若 ，则 ．
10．（2017•北京）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若
，则 ．
11．（2017•新课标Ⅰ）已知 ， ，则 ．
12．（2017•江苏）已知向量 ， ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）记 ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值．
13．（2023•和平区校级一模）已知 ， ．
（1）求 的大小；
（2）设函数 ， ， ，求 的单调区间及值域．
14．（2023•香坊区校级二模）已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，依次成等比数列，
．
（1）求角 ，并判断三角形的形状．（2） 在区间 是单调增函数，求 的取值范围．
15．（2023•河北模拟）在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
（1）求 ；
（2）求 的取值范围．
16．（2023•浉河区校级模拟）已知函数 的最大值为1，且
图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ．
（1）求 和 的值；
（2）当 ，求函数 的单调递增区间和值域．
1．（2023•铁岭模拟）已知定义在 上的偶函数 对任意
都有 ，当 取最小值时， 的值为
A．1 B． C． D．
2．（2023•乌鲁木齐模拟）已知 ，则
A． B． C． D．3．（2023•江西模拟）若 ， 是第三象限的角，则
A．2 B． C． D．
4．（2022•聊城三模）已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
5．（2022•二模拟）已知函数 ，则下列结论中正确的是
A．函数 的最小正周期为 B． 时 取得最小值
C． 关于 对称 D． 时 取得最大值
6．（2022•安徽模拟）已知函数 在区间 不存在极值点，则 的取值范围
是
A． B． C． D．
7．（2022•泸县校级模拟）若 ，则
A． B． C． D．
8．（2021•江苏二模）计算 所得的结果为
A．1 B． C． D．2
9．（2023•温州模拟）若 ， ，则 ， ．
10．（2022•苍南县校级模拟）设函数 ．（Ⅰ）求函数 的对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）函数 在 ， 上满足 ，求 的取值范围．
1．已知 为第二象限角，且 ，则 ．
2．设 ， ， ，则 的值是 ．
3．已知 ， ， ，则 的最大值为 ．
