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等式性质与不等式性质
1-3
1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用．
1.3 等式性质与不等式性质........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：两个实数比较大小的方法...........................................3
考点2：等式的基本性质...................................................3
考点2：不等式的基本性质.................................................3
二、分类题型................................................................5
题型一 比较两个数(式)的大小..............................................5
题型二 不等式的性质......................................................6
题型三 不等式性质的综合应用..............................................7
三、课堂总结：知识图谱......................................................8
四、分层训练：课堂知识巩固..................................................9一、主干知识
考点1：两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 (a∈R，b>0)
考点2：等式的基本性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
考点3：不等式的基本性质
性质1 对称性：a>b⇔ b < a ；性质2 传递性：a>b，b>c⇒ a > c ；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ac > bc ；a>b，c<0⇒ ac < bc ；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ a ＋ c > b ＋ d ；性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ac > bd ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
【常用结论归纳】
1、不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；
2、常用不等式
1．若ab>0，且a>b⇔<.2．若a>b>0，m>0⇒<；若b>a>0，m>0⇒>.二、分类题型
题型一 比较两个数(式)的大小
【例题精析1】 若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q
【解答】p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)· ＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，
p≤q.
【例题精析2】 (2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
【解答】a5＝5a，即＝，b4＝4b，即＝，c3＝3c，即＝，
设f(x)＝，则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，f′(x)＝(x>0)，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减，当0<x<e时，
f′(x)>0，f(x)＝单调递增，因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，
f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)<f(4)<f(3)，所以f(a)<f(b)<f(c)，a<b<c.
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
(3)函数的单调性法．【对点精练1】 已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
【解答】方法一：M－N＝－＝＝
＝>0.∴M>N.
方法二：令f(x)＝＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
【对点精练2】 已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M>N B．M<N
C．M＝N D．不能确定
【解答】∵0<a<，∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0.∴M－N＝＋＝>0，∴M>N.
【对点精练3】 eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
【解答】＝＝ ，又0<<1,0<π－e<1，∴ <1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ.
题型二 不等式的性质
【例题精析3】 设实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．【解答】若 ，则 ，故A错误；
若 时， ，此时 ，故B错误；
当 时， ，此时 ，故C错误；
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，故D正确.故选：D.
【例题精析4】 3．（多选）已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 则 . B．若 则 .
C．若 ，则 D．若 ，则
【解答】若 ，则 ，又 ，则 ，A选项正确；
若 ，满足 ，但 ， 不成立，B选项错误；
若 ， ，满足 ，但 ， 不成立，C选项错误；
，则 ，又 ，∴ ，即 ，D选项正确.故选：AD
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
【对点精练4】 （2023·广东惠州·统考模拟预测）已知实数 ，则下列结论一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【解答】A选项中，因为 ，所以 ，故A选项正确；
B选项中，因为函数 在 上单调递减且 ，所以 ，故B选项错误：
C选项中，因为 ，则 ，故C选项错误；
D选项中，若 ， ，满足 ，但 ，故D选项错误．故选：A．
【对点精练5】 (多选)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是( )
A.> B．bac>abc C．(1－c)a<(1－c)b D．log (a＋c)>log (b＋c)
b a
【解答】由题意知，a>b>1>c>0，所以对于A，ac>bc>0，故<，所以A错误；
对于B，取a＝3，b＝2，c＝，则bac＝2，abc＝3，所以bac<abc，故B错误；
对于C，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故C正确；对于D，a＋c>b＋c>1，
所以log (a＋c)>log (b＋c)>log (b＋c)，故D正确．
b b a
题型三 不等式性质的综合应用【例题精析5】 已知 ， ，则6x＋5y的取值范围为______．
【解答】解： ，即
故6x＋5y的取值范围为 ．故答案为：
【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）已知实数 ,则 的取值范围是________.
【解答】 , 又
根据不等式的基本性质可得: ，故答案为:
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
【对点精练6】 已知角 满足 ， ，则 的取值范围是__________．
【解答】结合题意可知： ，且： ，
利用不等式的性质可知： 的取值范围是 .
【对点精练7】 已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】 .设 ，所以 ，解得： ， ，
因为 ， ，所以 ，
因为 单调递增，所以 .故选：C
【对点精练8】 （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知实数 x，y满足 则
（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【解答】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，则 ，
故A正确；因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以
，所以 ，故B正确；因为 ，所以
，则 ，故C错误；
因为 ，所以 ，则 ，故D
正确.故选：ABD.三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•泸县校级模拟）已知 ，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ， ， ， ， ， 正确，
，当 ， 时，满足 ，但 ， 错误，
，当 ， 时，满足 ，但 ， 错误，
， 在 上为减函数， ， ， 错误，
故选： ．
2．（2022•河南一模）已知 ，且 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，且 ，
， ， ，
，故 错误，令 ， ，则 ，故 错误，
令 ， ，
则 ，
故 在 递增，故 ，
故 ，故 ，
故 ，故 错误，
，
，故 正确，
故选： ．
3．（2022•沈阳模拟）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
设 ， ，则 时， ，
在 ， 上单调递减，
（e） （3） （4），即 ，
．
故选： ．
4．（2022•西安一模）若 ， ， ， 为实数，则下列命题正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则【解答】解：若 ，则 时“ ”成立），故 错误；
若 ，则 ，则 ，故 正确；
若 ， ，则 ，得 ，故 错误；
若 ， ，则 ，故 错误．
正确的命题是 ．
故选： ．
5．（2021•天津）已知 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①由 ，得 ，所以“ ”是“ ”的充分条件，
②由 ，得 或 ，所以“ ”是“ ”的不必要性条件，
故 是 的充分不必要条件，
故选： ．
6．（2021•石嘴山二模）已知 ，下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，当 时， ，故 错误；
对于 ，取 ， 时， ，故 错误；
对于 ，取 ， 时， ，故 错误；
对于 ，由于函数 在 上单调递增， ，故 正确．
故选： ．
7．（2021•房山区一模）已知 ， ，且 ，则下列各式中一定成立的是A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，当 时， ，故 不一定成立；
对于 ， ，则 ，故 一定成立；
对于 ，当 时， ，故 不一定成立；
对于 ，当 时， ，则 ，故 不一定成立．
故选： ．
8．（2021•绵阳模拟）若 ， ，则以下结论正确的有
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ， ，则 ，
，故①正确；
， ，
，
，故③正确；
，故②正确；
，
，
，
，故④正确；故选： ．
9．（2021•市中区校级模拟）已知实数 ， ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，当 时，不成立；
对于 ，当 时，不成立；
对于 ，由糖水原理可知， 错误 对．
故选： ．
10．（多选）（2022•岳麓区校级三模）若 ， ， ，则 的可能取值有
A． B． C． D．
【解答】解：原式
（当且仅当 ， 时取等号）．
故选： ．
11．（多选）（2022•沈河区校级模拟）下列说法正确的是
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C． ，则 D．若 ，则
【解答】解：对于 ， ，
，即 ，故 正确，
对于 ， ， ，
，故 正确，
对于 ， ，
，故 正确，对于 ，当 时， ，故 错误．
故选： ．
12．（多选）（2022•佛山模拟）下列命题为真命题的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【解答】解：对于 ， ， ， ，故 正确，
对于 ，令 ， ， ， ，满足 ， ，但 ，故 错误，
对于 ，令 ，则 ，故 错误，
对于 ， ， ， ，即 ，故 正确．
故选： ．
13．（多选）（2022•聊城一模）设 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ， ，且 ， ，解得 ，故 正确，
对于 ， ，即 ， ，故 错误，
对于 ， ，且 ， ，当且仅当 时，等号成立， ，故 正
确，
对于 ， ，且 ，
，当且仅当 ， 时等号成立，
故 错误．
故选： ．
14．（多选）（2022•呼伦贝尔二模）已知 为自然对数的底数），则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ， ，对 这三个数先取自然对数，再除以 ，
则 ， ， ，
设 ，则 ，
由 ，解得 ， 在 上单调递增，
（a） （b） （e），
，
．
故选： ．
15．（多选）（2022•惠州一模）对于实数 ， ， ，下列结论正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【解答】解：对于 ，令 时，则 ，故 错误，
对于 ， ，
又 ，
，故 正确，
对于 ， ，
，故 正确，
对于 ， ，
， ，
，即 ，故 正确．
故选： ．16．（多选）（2022•天河区校级三模）如果 ， ，那么下面一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：当 ， ， ， 时，
，故选项 错误；
， ，
， ，
，故选项 正确；
， ，
，故选项 错误；
， ，
，故选项 正确；
故选： ．
1．（2022•临澧县校级模拟）若正实数 ， 满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，正实数 ， 满足 且 ，则有 或 ，
依次分析选项：对于 ，无论 或 ，都有 ，所以 错误；
对于 ， ，
当 时， ，即 ，所以 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即选项 错误；
对于 ，由 ，两边取自然对数，得 ，
因为 ，所以 ，
设 ， ， ， ，则 ，
设 ， ， ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 （1） ，所以 ， 在 和 上都是单调减函数，
所以 （a） （b），即选项 正确．
故选： ．
2．（2021•泸州模拟）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
设 ， ， 为偶函数，
当 时，则 ，
设 ，则 恒成立，在 时单调递增，且 ， 当 时， ，
又 ，即 ，
在 时单调递增，在 时单调递减，
．
故选： ．
3．（2019•厦门一模）已知 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：解法一：由题意，令 ， ，则 ， ， ；
显然有 ，即 ．
解法二： 时， ，
，
，
这里 ， ，
即 ．
故选： ．
4．（2015•朝阳区模拟）若 ，则下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：若 ，
则 ，故 错误；，故 错误；
，故 正确；
，故 错误；
故选： ．
5．（多选）（2022•聊城三模）已知实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，因为 ，所以 ，即 ，所以
，选项 正确；
对于 ，当 ， 时，满足 ，但 ，所以 不成立，即选项
错误；
对于 ， 时，幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，
又因为指数函数 在定义域 上是单调减函数，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，选项 正确；
对于 ，令 ， ，满足 ，则 ，所以 不成立，选
项 错误．
故选： ．
6．（多选）（2021•河北二模）已知 ，则下列不等式成立的有
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，例如 时， ， 错；
由 ，得 ， ， 对；
幂函数 在 上单调递增且 ， ， 对；
当 时， ，此时 无意义， 错．
故选： ．
7．（多选）（2021•张家口二模）已知 ，则下列选项一定正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由 ，得 ， ，
， ， ，
， ， ， ， 正确，
， 正确，
， ，
， 正确，
， ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
又 ， ， 错误，
故选： ．8．（2020•西宁模拟）设 ， ，则 ， 的大小关系为 ．
【解答】解： ， ，
，
、 的大小关系为 ；
故答案为 ．
1．（2022•凤阳县校级三模）定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，若函数
， ， 的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，
对于函数 ，由于 ，故得 ，即
对于函数 ，由于 ，故得 ，令 ，可知 （1） ， （2） ，故
对于函数 ，由于 ，故得 ， ， ，故
综上
故选： ．
2．（2014•金凤区校级一模）给出下列命题：
①已知 ， ， 都是正数，且 ，则 ；②已知 是 的导函数，若 ， ，则 （1） （2）一定成立；
③命题“ ，使得 ”的否定是真命题；
④“ ，且 ”是“ ”的充要条件．
其中正确命题的序号是 ①③ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【解答】解：对于：
①已知 ， ， 都是正数，且 ；正确；
②若 是常数函数，则 （1） （2）不成立；故错；
③命题“ ，使得 ”的否定是“ ，使得 ”真命题；正确；
④若“ ，且 ”则“ ”不能推得“ ，且 ”故④错；
正确命题的序号是①③．
故答案为：①③．
