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直线的方程
10-1
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
10-1 直线的方程.................................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：直线的方向向量...................................................2
考点2：直线的倾斜角.....................................................2
考点3：直线的斜率.......................................................2
考点4：直线方程的五种形式...............................................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 直线的倾斜角与斜率................................................3
题型二 求直线的方程......................................................4
题型三 直线方程的综合应用................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................6一、主干知识
考点1：直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
考点2：直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直
线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
考点3：直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即 k＝
tanα(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
考点4：直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x≠x，y≠y) 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 2 1 2 1 1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【常用结论总结】
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应
注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
二、分类题型题型一 直线的倾斜角与斜率
【例题精析1】 已知直线经过 ， 两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【答案】C
【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为 ，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果.
【解答】易知 两点间的斜率 ，
设直线倾斜角为 ，由斜率与倾斜角之间的关系可得 ，
故该直线的倾斜角为135°.
故选：C.
【例题精析2】 已知直线 过 ， 两点且倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【分析】根据斜率坐标表示以及倾斜角的关系，列出式子 计算即可.
【解答】由题可知： ，可得 .故选：B
【例题精析3】 若直线 与连接 的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可得直线过定点 ，则数形结合可得 或 即可求出.
【解答】由直线 可得直线的斜率为 ，且过定点 ，又 ，则由图可得，要使直线与线段 总有公共点，需满足 或 ，
又 ， 或 .故选：B.
【例题精析4】 直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为 .由已知，可推得 .分两种情况 时以及 时，结
合正切函数的性质求解即可得到结果.
【解答】设直线的倾斜角为 .因为， ， ，所以， .
又 ，则 .当 时， 单调递增，解 ，可得 ；
当 时， 单调递增，解 ，可得 .
综上所述， .故选：B.【例题精析5】 已知点 ， ，过点 的直线 与线段 相交，则 的斜率的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得直线 和直线 的斜率，再利用数形结合法求解.
【解答】解：如图所示：
，
由图象知：当 的斜率不存在时，直线与线段 相交，
故 的斜率的取值范围为 .
故选：D.
【例题精析6】 直线 与 夹角的大小为 .
【答案】
【分析】先求出两直线的倾斜角，即可求出两直线的夹角.
【解答】因为直线 的斜率为 ，所以直线 的倾斜角为 ，
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线 与 夹角的大小为 .故答案为： .
【例题精析7】 已知直线 过点 ，则直线 的斜率为 .
【答案】
【分析】根据斜率公式即可求解.
【解答】由斜率公式可得 ，故答案为：
分类标准的选择
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角
的范围时，要分 与 两种情况讨论．
→ π π
【对点精练1】 已知直线l的一个方向向量为p=(sin ，cos )，则直线l的倾斜角为（ ）
3 3
π π 2π 4π
A． B． C． D．
6 3 3 3
【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可．
π
cos
3 ❑√3 π
【解答】解：由题意可得：直线l的斜率k= = =tan ，
π 3 6
sin
3
π
即直线l的倾斜角为 ．
6
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．
【对点精练2】 已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，则
直线l的斜率k的取值范围为（ ）
3 3 1
A．k≥2或 k≤ B．k≥ 或 k≤−
4 4 4
3 3
C．−4≤k≤ D． ≤k≤2
4 4
【分析】直线l经过定点M（1，1），求得MA、MB的斜率，可得直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，
直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，即直线l：k（x﹣1）﹣y+1＝0，它经过定点M（1，1），
3−1 −2−1 3
MA的斜率为 =2，MB的斜率为 = ，
2−1 −3−1 4
3
则直线l的斜率k的取值范围为 k≥2 或 k≤ ，故选：A．
4
【点睛】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
【对点精练3】 已知直线l的方程为xsinα+❑√3 y−1=0， R，则直线l的倾斜角范围是（ ）
π 2 α∈π 5π
A．(0， ]∪[ π，π) B．[0， ]∪[ ，π)
3 3 6 6
π 5π π 2π
C．[ ， ] D．[ ， ]
6 6 3 3
❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3
【分析】计算k∈[− ， ]，再考虑k∈[0， ]和k∈[− ，0)两种情况，得到倾斜角范
3 3 3 3
围．
❑√3 ❑√3 ❑√3
【解答】解：xsinα+❑√3 y−1=0，则k=− sinα∈[− ， ]，
3 3 3
π ❑√3 ❑√3
设直线l的倾斜角为θ(0≤θ＜ )，故k=tanθ∈[− ， ]，
2 3 3
❑√3 π
所以当k∈[0， ]时，直线l的倾斜角θ∈[0， ]；
3 6
❑√3 5π
当k∈[− ，0)时，直线l的倾斜角θ∈[ ，π)；
3 6
π 5π
综上所述：直线l的倾斜角θ∈[0， ]∪[ ，π)故选：B．
6 6
【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，考查了正切函数的性质，属于基础题．
【对点精练4】 直线经过 A（2，1），B（1，m2）两点（m R），那么直线 l 的倾斜角的取值范围是
（ ） ∈
π π
A．[0， ） B．[0， ]∪（ ， ）
4 2
π π
π π π π
C．[0， ] D．[ ， ）∪（ ， ）
4 4 2 2
π
【分析】根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围．
m2−1
【解答】解：∵直线过A（2，1），B（1，m2）两点（m R），∴直线l的斜率为k= =1﹣m2≤1，
1−2
∈π π
∴tan ≤1，且 [0， ）；∴倾斜角 的取值范围是[0， ]∪（ ， ）．故选：B．
4 2
α α∈ π α π
【点睛】本题考查了利用两点求直线的斜率以及倾斜角的应用问题，是基础题目．
【对点精练5】 （多选）5．在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为
（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率
可以是（ ）
3 3 1
A．2 B． C． D．
2 4 4
【分析】假设AB所在的直线过点（0，0），分类讨论CD所在的直线所过的点，结合图象分析运算．
【解答】解：因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点（0，0），
π
设直线AB的倾斜角为α∈(0， )，斜率为k，
2
①若CD所在的直线过点（1，0），如图，可得BC＝sin ，CD＝2cos ，
因为BC＝CD，即sin ＝2cos ，则k＝tan ＝2； α α
α α α
②若CD所在的直线过点（2，0），如图，可得BC＝2sin ，CD＝3cos ，
3 α α
因为BC＝CD，即2sin ＝3cos ，则k=tanα= ；
2
α α
③若CD所在的直线过点（4，0），如图，可得BC＝4sin ，CD＝cos ，
1 α α
因为BC＝CD，即4sin ＝cos ，则k=tanα= ；
4
α α3 1
综上所述：k的可能值为2， ， ．故选：ABD．
2 4
【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于中档题．
题型二 求直线的方程
【例题精析8】 过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点 ，即可求
解.
【解答】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为 ，
因为直线过点 ，代入可得 ，即 ；
当所求直线过原点时，设直线方程为 ，
因为直线过点 ，代入可得 ，即 ，
综上可得，所求直线的方程为 或 .
故选：BC.【例题精析9】 直线l过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意结合截距式方程列式求解即可.
【解答】因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，
设直线l的在 轴上的截距分别为 ，则方程为 ，且 ，
又因为直线l过点 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
故所求直线的方程为 或 ，
即 或 .
故选：BC.
【例题精析10】 若直线 ： 在 轴和 轴上的截距相等，则直线 的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】AC
【分析】求出直线的横纵截距，并求出a值，再求出直线的斜率作答.
【解答】依题意， ，直线 ： 在 轴和 轴上的截距分别为 和 ，
因此 ，解得 或 ，
所以直线 的斜率为 或 .
故选：AC
【例题精析11】 在 轴、 轴上的截距分别是 、3的直线方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用直线的截距式方程即可求解.
【解答】因为直线在 轴、 轴上的截距分别是 、3，
所以直线方程是 ，即 ．
故选：C．
【例题精析12】 写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点 ，斜率为3；
(2)经过点 ，倾斜角是 ；
(3)经过点 ，倾斜角是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；
（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；
（3）利用倾斜角是 可得直线斜率为 ，代入点斜式方程求出结果；
【解答】（1）由题意可知，将 和斜率3直接代入直线点斜式方程 可得，
直线的点斜式方程为 ；
（2）由倾斜角是 可得直线斜率 ，
将 代入点斜式方程即为（3）由倾斜角是 可得直线斜率 ，
将 代入点斜式方程即为
【例题精析13】 已知 的顶点坐标分别是 .
(1)求直线 的方程（答案用一般式方程表示）；
(2)求 边上的高线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点 ， ，结合直线的点斜式方程，即可求得 的方程；
（2）过点作 ，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【解答】（1）解：由点 ， ，可得直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（2）解：如图所示，过点作 ，即设 的边 上的高线为 ，
由直线 的方程为 ，
又由 ，根据点到直线的距离公式，可得 ，
即 边上的高线的长 .求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件
求出待定系数．
x
【对点精练6】 已知a＞0，b＞0，直线 + y=b在x轴上的截距为1，则a+9b的最小值为（ ）
a
A．3 B．6 C．9 D．10
【分析】由已知求得ab＝1，再由基本不等式求a+9b的最小值．
x
【解答】解：由直线 + y=b在x轴上的截距为1，得ab＝1，
a
又a＞0，b＞0，∴a+9b≥2❑√9ab=6，
1
当且仅当a＝9b，即a＝3，b= 时等号成立．
3
故选：B．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
【对点精练7】 若kxy﹣x+6y﹣3＝0表示两条直线，则实数k的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】若kxy﹣x+6y﹣3＝0表示两条直线，则有kxy﹣x+6y﹣3＝（ax+b）（cy+d），其中，abcd≠0，不
妨令d＝1．可得结论．
【解答】解：∵kxy﹣x+6y﹣3＝0表示两条直线，
∴kxy﹣x+6y﹣3＝（ax+b）（cy+d）＝acxy+adx+bcy+bd，其中，abcd≠0，
∴k＝ac，ad＝﹣1，bc＝6，bd＝﹣3，
不妨令d＝1，则b＝﹣3，c＝﹣2，a＝﹣1，k＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，属于中档题．
【对点精练8】 过点（3，﹣2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 2 x + 3 y ＝ 0 或 x + y ＝ 1 ．
【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可得解．
【解答】解：由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，2
即直线过原点，又过（3，﹣2），则直线方程为y=− x，
3
若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，
x y
则直线方程为 + =1，
a a
又直线过点（3，﹣2），
3 −2
则 + =1，解得a＝1，
a a
所以此时直线方程为x+y＝1．
故答案为：2x+3y＝0或x+y＝1．
【点睛】本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题．
【对点精练9】 若a，b为正实数，直线2x+（2a﹣4）y+1＝0与直线2bx+y﹣2＝0互相垂直，则ab的最大值
1
为 ．
2
【分析】直接利用直线垂直的充要条件和二次函数的性质求出结果．
【解答】解：若a，b为正实数，直线2x+（2a﹣4）y+1＝0与直线2bx+y﹣2＝0互相垂直，
则2×2b+2a﹣4＝0，整理得a+2b＝2，
1 1
故ab＝（2﹣2b）b=−2(b− ) 2+ ，
2 2
1 1
当b= 时，ab的最大值为 ．
2 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学
思维能力，属于基础题．
题型三 直线方程的综合应用
【例题精析14】 已知： ， ， ， ， ，一束光线从F点出发射到BC上的
D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于
直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.
【解答】由题意可知：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，如图：
设 关于直线 的对称点为 ，则 ,
解得 ，故 ，
同理可求 关于直线 的对称点为 ,连接 , 交 于N，
而MN方程为y=2,联立 得N点坐标为 ，
连接 ，分别交 于 ,
方程为： ，和直线 方程 联立，
解得H点坐标为 ,
PN的方程为x=2,和直线 方程 联立解得 ，
连接 ,则 之间即为动点D点的变动范围，
而 ,
故FD斜率的取值范围是 ，故选B.
【例题精析15】 已知等腰直角三角形 的斜边 所在直线方程为 ，直角顶点为 ，求
两条直角边所在直线的方程.
【答案】 和
【分析】先讨论斜率存在不存在，再利用待定系数法求出直线方程.
【解答】设所求直线为l.
当l的斜率不存在时，l: 与 所成的角不是45°，不能构成等腰直角三角形，不合题意，舍
去.
当l的斜率存在时，设其为k，则直线l： ， .
因为 等腰直角三角形，所以 ，由夹角公式可得： ，
解得： 或 .所以两直角边所在直线的方程为 和 ，
即 和 .
【例题精析16】 已知直线 的方程为 ，若直线 在 轴上的截距为 ，且 ．
(1)求直线 和 的交点坐标；
(2)已知直线 经过 与 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）由 ，可得直线 的斜率 ，从而可得 ，联立方程组即可求得交点；
（2）由题意知 的斜率k存在，设 ，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求
解.
【解答】（1）（1）因为 ，又直线 的斜率 ,
所以直线 的斜率 ,则 .
由所以直线 和 的交点坐标为 .
（2）由题意知 的斜率k存在，设
令 得 ，令 得 ，
因为直线 与两坐标轴的正半轴相交，所以 ，解得 ，
，解得 或 ，
即 或 .
【例题精析17】 已知 的顶点 ，高CD所在直线方程为 ，角 的平分线BE所在直线
方程为 ．求：
(1) 点的坐标；
(2)BC边所在直线方程．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先求出直线 的斜率 ，从而求出直线 的方程，由此能求出 点坐标．
（2）由 ， ，角 的平分线 所在直线方程为 ，得 ，
求出 ，由此能求出直线 的方程．
【解答】（1）解：∵ 的顶点 ，高CD所在直线方程为 ，
角 的平分线BE所在直线方程为 ，∴直线AB的斜率 ，
∴直线AB的方程为： ，即 ，
联立 ，得 ，
∴B点坐标为 ；
（2）解：∵ ， ，角 的平分线BE所在直线方程为 ，
∴ ，
∴ ，解得 或 （舍），
∴直线BC的方程为： ，即 ．
【例题精析18】 已知直线
(1)若直线的倾斜角 ，求实数m的取值范围；
(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求 面积的最小值及此时直线l
的方程．
【答案】(1)
(2) 最小值为2，直线l方程为： ．
【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得 的不等式，解不等式可得；
（2）由题意可得点 和点 ，可得 ，由基本不等式求
最值可得．【解答】（1）解：由题意可知当 时，倾斜角为 ，符合题意
当 时，直线l的斜率
∵倾斜角 ，∴ ．
故m的范围： ．
（2）解：在直线l中：令x＝0时 ，即 ，令y＝0时x＝m，即
由题意可知： 得
即
当且仅当 时取等号，
故 最小值为2，此时直线l方程为： ．
【例题精析19】 直线 过点 且与 轴、 轴正半轴分别交于 、 两点.
(1)若直线 与 法向量平行，写出直线 的方程；
(2)求 面积的最小值；
(3)如图，若点 分向量 所成的比的值为2，过点 作平行于 轴的直线交 轴于点 ，动点 、 分
别在线段 和 上，若直线 平分直角梯形 的面积，求证：直线 必过一定点，并求出该定
点坐标.【答案】(1) ；
(2)12；
(3)证明见解析，定点为 .
【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点 即可求出直线方程；
（2）设直线截距式为 ，代入点 得到 ，利用基本不定式即可求出面积最小值；
（3）设 ，利用定比分点公式得到 ，再设 ，根据四边形面积得到
，代回直线 方程，求出定点.
【解答】（1）由题设直线 ，将点 代入得 ， ,故直线
（2）设直线 的方程为 ，
将点 代入得 ，则 ，
则 ，当且仅当 ，结合 ，即 时等号成立.
故 的面积最小值为12.
（3）证明：点 分向量 所成的比的值为2,即为 ,
设 ,由 ,
即有 ,可得 , ,
梯形 的面积为 ,由题意可得梯形 的面积为6,
设 ,可得 ,即 ,
由直线 的方程为 ,
将 代入上式可得
,
由 解得 ,
则直线 经过定点 .
【例题精析20】 已知 的顶点 的坐标为 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ，
的角平分线 所在的直线方程为 ．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）设 ，则 的中点 ，将 代入直线 的方程和将 代入直线
的方程即可得到答案；
（2）设点 关于直线 的对称点的坐标为 ，将利用 和将线段 的中点代入角平
分线 上，可得到关于 的方程组，最后利用点斜式方程即可求解
【解答】（1）设 ，则 的中点 在直线 上，所以 ，即 ①，
又点 在直线 上，所以 ②，
由①②得： ， ，即顶点
（2）设点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
则点 在直线 上，线段 的中点 在角平分线 上，
由题意知， ，解得 ， ，即 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
即
【例题精析21】 过点 作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.
(1)求 的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求 的最小值，及此时直线l的截距式方程.
【答案】(1)8，
(2)4，
【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为 ，代入点结合基本不等式可求出结果.
（2）由（1）可得 ，则可推出 ，结合基本不等式可求出结果.
【解答】（1）根据题意可设直线l的方程为 ，则 ， ，因为直线l过点 ，所以 ，
又 （当且仅当 ，即 ， 时取等号），
所以 ，即 ，
所以 的最小值为8，此时直线l的截距式方程为 .
（2）由（1）可知 ，
所以 ，则 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为4，此时 ， ，直线l的截距式方程为 .
【例题精析22】 已知直线 .
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求 面积的最小值；
（3）已知 ，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据方程可得直线l恒过定点 ，然后可得答案；
（2）可得 ，然后利用基本不等式可求出其最小值；
（3）当 时，d最大，然后可求出答案.
【解答】（1）直线l的方程为 ，直线l恒过定点 ，
∴若直线l不经过第四象限，则 ，
（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以
取 ， ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
（3）当 时，d最大， ，可得直线的斜率为 ，
则直线的方程 ，即 .
【例题精析23】 在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为
．
（1）若 ，求直线BC的方程；
（2）若 ，求直线BC的横截距．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）求出 ，根据垂直关系，利用点斜式求解方程；
（2）建立方程求出 ，得出直线BC的方程即可得解.
【解答】（1）由题边AB，AC所在直线的方程分别为 ．
的交点就是 ，
若 ， ，所以直线BC的方程： 即 ；
（2）设 ，
所以 解得 ，
所以
所以直线 的方程为 ，即 ，
令 得 ，
直线BC的横截距 .
【例题精析24】 在平面直角坐标系 中，若动点 到两直线 和 的距离之和为 ，
则 的最大值为 .
【答案】8
【分析】由已知可知两直线 ，取 在 的右侧时，分别过 作两直线的垂线，结合几何性质确定
点轨迹，即可求得 的最大值,其他位置同理可得．
【解答】若动点 到两直线 和 的距离之和为 ，
交点为 的斜率分别为 ，则 ，
在 的右侧时，过 分别向 引垂线，
垂足分别为 ，那么 ，
过 作 轴的平行线，与 交点为 如图，则 ，所以 ，
其它位置同理，那么点 轨迹为正方形 ，
当 在 时， 取得最大值 ，即 取得最大值8.
故答案为：8．
【例题精析25】 莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、
垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知 的三个顶点坐标分别是 ，
， ，则 的垂心坐标为 ， 的欧拉线方程为 ．
【答案】 /(0,1.5)
【分析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.
【解答】由 ，可知 边上的高所在的直线为 ，
又 ，因此 边上的高所在的直线的斜率为 ，
所以 边上的高所在的直线为： ，即 ，
所以 ，所以 的垂心坐标为 ，
由重心坐标公式可得 的重心坐标为 ，所以 的欧拉线方程为： ，化简得 .
故答案为： ；
利用两个计数原理解题时的三个注意点
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中 x，y的关系，将问题转化
为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
【对点精练10】 设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点
，则 的取值范围是
A． ，2 B． ，4 C． ，4 D． ，2
【分析】动直线 经过定点 ，动直线 定点 ，由此能求出
的取值范围．
【解答】解：由题意可知，动直线 经过定点 ，
动直线 即 ，经过定点 ，
动直线 和动直线 始终垂直， 又是两条直线的交点，
， ．
由基本不等式可得 ，即 ，可得 ．
故选： ．
【点睛】本题考查动点到两个定点的距离之和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直
线、基本不等式性质的合理运用，是中档题．
【对点精练11】 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 定 义 ， ， ， 两 点 间 的 折 线 距 离
，该距离也称曼哈顿距离．已知点 ， ，若 ，则
的最小值与最大值之和为
A．0 B． C． D．
【分析】利用新定义，求解 ， 的关系，然后转化求解不等式的最大值即可．
【解答】解：点 ， ，若 ，
可得 ，
，
，当且仅当 时，取等号．
所以 ，
的最小值为0，最大值为1，
的最小值为 ，最大值为0，
的最小值与最大值之和为 ．故选： ．
【点睛】本题考查新定义的应用，基本不等式求解表达式的最值的方法，考查分析问题解决问题的能力，
是中档题．
【对点精练12】 设 ，若函数 图象上任意一点 ， 满足 ，则
A． B． C．2 D．4
【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解： ， ， 满足 ，
则 ，
， 在 上，
，即 ，
，两边同时平方可得， ，解得 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题．
【对点精练13】 若直线 与直线 的交点在直线 上，则实数
A．4 B．2 C． D．
【分析】首先利用直线的交点建立方程组，进一步求出交点的坐标，进一步利用该点的坐标满足直线的方
程求出 的值．
【解答】解：直线 与直线 的交点，
满足： ，解得 ，
由于该点在直线 上，故 ，解得 ．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识要点：直线的交点，方程组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于
基础题．
【对点精练14】 点 在单位圆上运动，则 点到直线 为任意实数）的距
离的最大值为
A． B．6 C． D．5
【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距
离．
【解答】解：将直线方程变形为 ，由 ，解得直线过定点
，
在单位圆上运动，圆 ，圆的半径
故原点到直线 距离的最大值为 ，
则 点到直线 的距离的最大值为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
【对点精练15】 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不
垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点 作两坐标轴的平行线，其在 轴
和 轴上的截距 ， 分别作为点 的 坐标和 坐标，记 ．若斜坐标系中， 轴正方向和 轴正方
向的夹角为 ，则该坐标系中 和 两点间的距离为A．2 B．1 C． D．
【分析】利用向量的求模公式，结合向量的数量积运算，求解即可．
【解答】解：设与 轴方向相同的单位向量为 ，与 轴方向相同的单位向量为 ，
则 ， ，
则 ，
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的求模公式，属于中档题．
【对点精练16】 平面直角坐标系中， ， ，动点 满足 ，则使 为等腰三角
形的点 个数为
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】设 ，根据 可得动点 的轨迹方程为圆 ，再结合 为
等腰三角形分析即可求解．
【解答】解：设 ，由 ，
得 ，整理得 ，记为圆 ．
又 ， 为等腰三角形，
则有 或 ．
因为圆 与圆 相交，故满足 点 有2个；
因为圆 与圆 相交，故满足 点 有2个，
故使 为等腰三角形的点 共有4个．
故选： ．
【点睛】本题主要考查两点间的距离考查运算求解能力，属于中档题．
【对点精练17】 在平面直角坐标系内，已知 ， ，动点 满足 ，则
的最小值是
A． B．2 C．4 D．16
【分析】由题意求出点 的轨迹方程，则 可以看成圆 上动点 与定
直线 上动点 的距离，求得其最小值，即可求得答案．
【解答】解：因为 ， ，动点 满足 ，
则 ，整理得 ，
可以看成圆 上动点 与定直线 上动点 的距离，
其最小值为圆心 到直线 的距离减去圆的半径2，即 ，
因此， 的最小值是 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查圆的性质的求解，属于中档题．【对点精练18】 已知 ， ，若直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值
范围为
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可得直线 与圆 有公共点（公共点不能是 、 ，结合直线
与圆的位置关系求解即可．
【解答】解：若 ，则点 在以 ， 为直径的圆上（点 不能是 、 ，
以 ， 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，则圆 的方程为 ，
即直线 与圆 有公共点（公共点不能是 、 ，
当直线 与圆 有公共点时， ，解得 ；
当直线 与圆 的公共点为 或 时， ，不符合题意；
综上，实数 的取值范围为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
【对点精练19】 已知点 在直线 上的射影为点 ，则点 到点
距离的最大值为
A． B．5 C． D．
【分析】先判断直线 恒过点 ，根据题意知点 在以线段 为直径的圆上，再利用圆的几何性质求解即可．
【解答】解：将直线 整理得到 ，
于是 ，解得 ，所以直线 恒过点 ，
因为点 在直线 上的射影为点 ，
所以 ，则点 在以线段 为直径的圆上，该圆的圆心坐标为 ，
半径大小为 ，
又 ，
所以点 到点 距离的最大值为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查点到直线的距离以及直线的一般式和垂直关系等相关知识，属于简单题．
【对点精练20】 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】对 ， 的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据 的几何意义
利用点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：依题意，当 ， 时，方程为 ，是双曲线 在第一象限的部分；
当 ， 时，方程为 ，不能表示任何曲线；
当 ， 时，方程为 ，是双曲线 在第三象限的部分；
当 ， ，方程为 ，是椭圆 在第四象限的部分；
其图象大致如图所示：的几何意义是曲线上的点到直线 的距离的两倍，
双曲线的渐近线 与 平行，
所以曲线在第一、三象限上的点到 的距离 ，
由图象可知直线与椭圆 在第四象限的部分相切时，距离取得最小值，设切线为：
且 ，
由 ，可得 ，
由△ ，解得 或 （舍去），
所以曲线在第四象限上的点到 的距离 ，
所以 的取值范围是： ．
故选： ．
【点睛】本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法，解决这类问题的关键是利
用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、分层训练：课堂知识巩固
1．点 到直线 距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．
【解答】解：方法一：因为点 到直线 距离 ；
要求距离的最大值，故需 ；
，当且仅当 时等号成立，
可得 ，当 时等号成立．方法二：由 可知，直线 过定点 ，
记 ，则点 到直线 距离 ．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．
2．在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离．当 、 变化时， 的最大
值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【 分 析 】 由 题 意 ， 当 时 ，
．由此能求出 的最大值．
【解答】解：由题意 ，
当 时，
．
的最大值为3．
故选： ．
【点睛】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
3．若关于 ， 的方程组 有无穷多解，则实数 的值为 4 ．
【分析】根据题意，分析可得直线 和 平行，由此求出 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于 ， 的方程组 有无穷多解，
则直线 和 重合，则有 ，即 ，解可得 ，
当 时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，
当 时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，
故 ．
故答案为：4
【点睛】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．
4．直线 与直线 的夹角为 ．
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解答】解： 直线 的斜率不存在，倾斜角为 ，
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
故直线 与直线 的夹角为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
5．已知直线 ， ，若 ，则 与 的距离为 ．
【分析】由 求得 的值，再根据两平行线间的距离计算即可．
【解答】解：直线 ， ，
当 时， ，解得 ；
当 时 与 重合，不满足题意；
当 时 ，此时 ， ；则 与 的距离为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．
6．坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ．
【分析】设坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ，利用中点坐标公式、直线与直线垂直
的性质列出方程组，能求出结果．
【解答】解：设坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ，
则 ，
解得 ， ，
坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查点关于直线对称的点的坐标的求法，考查中点坐标公式、直线与直线垂直的性质等基础
知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．已知平行直线 ， ，则 ， 的距离 ．
【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：平行直线 ， ，则 ， 的距离： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
8．直线 与直线 的夹角为 ．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．
【解答】解： 直线 的斜率为1，故倾斜角为 ，
又 直线 的倾斜角为0，
故直线 与直线 的夹角为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线的夹角，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．
9．设 ， ．若关于 ， 的方程组 无解，则 的取值范围是 ．
【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出 ， 的关系，再使用基本不等式得出答案．
【解答】解： 关于 ， 的方程组 无解，
直线 与直线 平行，
，且 ．
即 且 ．
， ． ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．
10．设 ， ，若关于 ， 的方程组 无解，则 的取值范围为 ．
【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立 ， 的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性
质进行求解即可．
【解答】解： 关于 ， 的方程组 无解，直线 与 平行，
， ，
，
即 ， ，且 ，则 ，
由基本不等式有：
，当且仅当 时取等，而 的范围为 且 ，不满足取等条件，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用，考查学生的计算能力．
