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一元二次方程、不等式
1-5
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.会解一元二次不等式．
1.5 一元二次方程、不等式........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.....................3
考点2：分式不等式与整式不等式...........................................3
考点3：简单的绝对值不等式...............................................3
二、分类题型................................................................5
题型一 一元二次不等式的求解..............................................5
命题点1 不含参的不等式..............................................5
命题点2 含参不等式..................................................6
题型二 一元二次不等式恒成立问题..........................................7
命题点1 在R上的恒成立问题..........................................7
命题点2 在给定区间上的恒成立问题....................................8
命题点3 给定参数范围的恒成立问题....................................9
三、课堂总结：知识图谱.....................................................10
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................11一、主干知识
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
的图象
没有实数根
的根
R
的解集
的解集
考点2：分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
考点3：简单的绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解二、分类题型题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
【例题精析1】 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【解答】解：解 得 或 ，故 或 ，
解不等式 得 ，故 ，
所以 或 .故选：C
【例题精析2】 （2023·北京海淀·统考一模）不等式 的解集为_________．
【解答】根据分式不等式解法可知 等价于 ，由一元二次不等式解法可得 或
；所以不等式 的解集为 或 .故答案为： 或
【例题精析3】 在区间 上任取一个实数．使得 的概率为______________．
【解答】由 可得 ，即满足条件的 ，由几何概型可得， .故
答案为：
【对点精练1】 已知集合 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【解答】由 得 ，解得 ，
由 得 ，即 ，解得 ，所以 ．故选:D
【对点精练2】 已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解答】集合 ,
所以 .故选：D
命题点2 含参不等式
【例题精析4】 若集合 ，集合 ，满足 的实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】由 得： ，解得： ，即 ；
由 得： ， ， ， ，解
得： .故选：D.
【例题精析5】 已知p： ，q： .若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.
【解答】本题考查充分条件与必要条件的判断.q： ，即 .
p： ，即 .
因为p是q的必要不充分条件，所以 且等号不同时成立，
解得 .故答案为：
【例题精析6】 若关于x的不等式ax＞b的解集为 ，则关于x的不等式ax2＋bx－ a＞0的解集为
____.
【解答】由已知ax＞b的解集为 ，可知a＜0，且 ＝ ，
将不等式ax2＋bx－ a＞0两边同除以a，得x2＋ x－ ＜0，即x2＋ x－ ＜0，
即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜ ，故所求解集为 .故答案为：
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【对点精练3】 （北京·高考真题）若关于x的不等式 的解集为 ，则实数a的取值范围
是____________；若关于x的不等式 的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．【解答】不等式 的解集为 ，则 ，解得 ；
不等式 的解集不是空集，即 ，故 ，解得
或 .故答案为： ；
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
【例题精析7】 不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2
【解答】不等式 （ ）恒成立，显然 不成立，
故应满足 ，解得 ，所以不等式 （ ）恒成立的充要条件是 ，
A、C选项不能推出 ，B选项是它的充要条件， 可以推出 ，但反之不成立，故 是
的充分不必要条件.故选：D
【对点精练4】 无论 取何值时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为无论 取何值时，不等式 恒成立，
所以， ，解得 ，所以， 的取值范围是 ，故选：D
【对点精练5】 （多选）已知命题 ：关于 的不等式 的解集为R，那么命题 的一个必要不
充分条件是（ ）
A． B． C． D．【解答】命题p：关于x的不等式 的解集为R，则 ，解得 ，又
， ，故选：CD．
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
【例题精析8】 设函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．
【解答】若对于任意的 ， 恒成立,即可知： 在
上恒成立,令 ，对称轴为 .当 时， 恒成立，当
时，有 开口向下且在 上单调递减，
在 上 ，得 ，故有 .
当 时，有 开口向上且在 上单调递增 在 上 ，∴
综上，实数 的取值范围为 ，故选：A.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【例题精析9】 当 时， 恒成立，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 时， 恒成立，令 ，因为 时， ，所以 ，故选：C
【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
【对点精练6】 若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】因为不等式 对于一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，所以 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，故选：C.
【对点精练7】 若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是____________．
【解答】由不等式 对 恒成立，可转化为 对 恒成立，即
，而 ，当 时， 有最大值 ，所
以 ，故答案为： ．
【对点精练8】 已知命题p：“ ， ”为真命题，则实数a的最大值是___．
【解答】解：由题意， ， 恒成立，因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，即a的最大值是 ．故答案为： .
【对点精练9】 已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围
为______．
【解答】函数 的对称轴： ，且恒过原点.
当 ，即 时， 在 上单调递增，要想 对任意的 恒成立，只需
，解得： ，与 矛盾，舍去
当 ，即 时， 在 上单调递减，要想 对任意的 恒成立，只需
，解得： ，与 矛盾，舍去
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，要想
对任意的 恒成立，只需 ，解得： ，因为 ，
所以数 的取值范围为 .故答案为：
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
【例题精析10】 若不等式 对任意 成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【解答】由题得不等式 对任意 成立，
所以 ，即 ，解之得 或 .故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“ ”看作自变量，把“ ”看作参数，
问题迎刃而解.
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，
求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
【对点精练10】 已知函数 .若对任意的 ，存在 ，使得 成立，
则实数 的取值范围是___．
【解答】∵ 的对称轴为x=a，且 ，
∴函数f（x）= 在[0， ]上是减函数，
在[ ，2]上是增函数；
∴函数f（x）= 在 的最小值为f（a）=﹣ ∈ ，
①当2≤a＜3时，
函数f（x）= （x∈ ）在x=0时取得最大值，
且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；2a﹣1
∴
②0＜a＜2时，
函数f（x）= （x∈ ）在x=4时取得最大值，
且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；
，
∴
综上， ∴ ；
即t的取值范围是： ．
【对点精练11】 对任意 ，函数 的值恒大于零，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【解答】对任意 ，函数 的值恒大于零
设 ，即 在 上恒成立. 在 上是关于 的一次函数或
常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在 轴上方，即 ，解得
或 ，故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数
，将问题转化为 在 上恒成立，从而得到 ，属于中
档题.三、课堂总结：知识图谱
四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•青羊区校级模拟）不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：不等式 可化为 ，
即 ，
解得 ，
所以不等式的解集为 ．故选： ．
2．（2021•丰台区模拟）已知不等式 的解集为 ，则 的取值范围是
A． ， B．
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：不等式 的解集为 ，
所以△ ，
解得 ；
所以 的取值范围是 ， ．
故选： ．
3．（2021•上饶一模）在区间 上，不等式 有解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 不 等 式 即 为 不 等 式 ， 因 为 在 上 ， 所 以
令
则 在 上单调递增，所以 （1）， ，（2） ， ，
不等式 有解，只需
故选： ．
4．（2021•4月份模拟）对于任意 ， ，函数 的值恒大于零，那么 的取
值范围是
A． B． ， ，
C． D．【解答】解：原问题可转化为关于 的一次函数 在 ， 上恒成立，
只需 ，
，
或 ．
故选： ．
5．（2020•一卷模拟）已知关于 的不等式 在 ， 上有解，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ， 时，不等式可化为 ；
当 时，不等式为 ，满足题意；
当 时，不等式化为 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ；
当 时， 恒成立；
综上知，实数 的取值范围是 ．
故选： ．
6．（2019•青岛三模）若不等式 的解集为实数集 ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： 时，不等式 化为 ，解集为实数集 ；时，应满足 ，
所以 ，
解得 ；
综上，实数 的取值范围是 ．
故选： ．
7．（2019•天津）设 ，使不等式 成立的 的取值范围为 ．
【解答】解： ，将 分解因式即有：
； ；
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”
可得： ；
即： ；或 ；
故答案为： ；
8．（2023•弥勒市校级模拟）不等式 的解集是 或 ．
【解答】解： 不等式 可化为：
，
即 ；
解得 或 ，
该不等式的解集是 或 ．
故答案为： 或 ．9．（2020•连云港模拟）若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是 ，
， ．
【解答】解：若 ，则原不等式等价为 ，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即 ．
若 ，要使不等式 的解集不是空集，则
① 时，有△ ，解得 ．
②若 ，则满足条件．
综上满足条件的 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
1．（2021•安庆模拟）存在 ， ，使得 ，则 的最大值为
A．1 B． C． D．
【解答】解：构造函数 ，记 在 ， 上的值域为 ，
由已知，值域 内存在非负数． 的最大值应为非负数；
又 的对称轴为 ；
①当 时， ， 在 ， 上是增函数， 的最大值 为 （1），
由 （1） ，得 ，解得 ；
此时 的值不存在；
②当 时， ， 在 ， 上先减后增，最大值 为 （1），
由 （1） ，得 ，解得 ，此时 ；
③当 时， ， 在 ， 上先减后增，最大值 为 ，
由 ，得 ，解得 ，
此时 ；
④当 时， ， 在 ， 上是减函数，最大值 为 ，
由 ，得 ，解得 ，
此时 ；
综上， 的取值范围是 ，即 的最大值是 ．
故选： ．
2．（2019•浙江模拟）设 ， 为常数，若关于 的不等式 的解集中的整数解恰有
3个，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：关于 的不等式 ，
等价于 ，
转化为 ，
不等式的解集中的整数恰有3个， ，
又 ，
不等式的解集为 ，
解集里的整数是 ， ，0 三个，
，，即 ；
又 ，
，
解得 ，
综上， 的取值范围是 ．
故选： ．
3．（2017•本溪模拟）对于任意 ， ，函数 的值总大于0，则 的取值范
围是
A． B． 或 C． D． 或
【解答】解：原题可转化为关于 的一次函数 在 ， 上恒成立，
只需 或 ．
故选： ．
4．（2018•江苏模拟）存在 ， ，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解：命题：存在 ，使 的否定为：
任意 ， 恒成立；
求对任意 时， 恒成立的 的取值范围：
①当 时，不等式化为 ，解得 ，不合题意；
②当 时，有 ，解得 ，
由①②得 的范围是： ；
所以存在 ，使 时 的取值范围是： ．故答案为： ．
5．（2017•昆明模拟）若关于 的不等式 的解集恰好为 ， ，那么 4 ．
【解答】解：令 ，则 的对称轴为 ，
画出函数 的图象，
可得 （2） ，
由题意可知 ，且 （a） （b） ， ，
由 （b） 得到 ，解得 （舍去）或 ，
可得 ，
由抛物线的对称轴为 得到 ，
所以 ．
故答案为：4．
1．（2022•青浦区二模）设函数 ，定义集合 ， ，集合
， ．
（1）若 ，写出相应的集合 和 ；
（2）若集合 ，求出所有满足条件的 ， ；
（3）若集合 只含有一个元素，求证： ， ．
【解答】解： ， ，由 解得 或 ，
由 解得 ，所以 ， ， ．
（2）由，
得 或 ，
△ ，
△ △ ，
而方程 只有一个实数解0，
所以△ ，△ ，即只需 有唯一实数解0，所以 ， ．
（3）由条件， 有唯一解，所以 有解，
①若 有唯一解 ，则 ，且 有唯一解，
结合 图像可知 ，所以 ，所以 ．
②若 有两个解 ， ，则 ，且两个方程 ， 总共只
有一个解，结合 图像可知 有唯一解，所以 ， ，
则 ，且两个方程 ， 总共只有一个解，
结合 图像可知 有唯一解，所以 ， ，所以 ，且 的对称轴
，
所以 ，所以 ， ．
综上， ， ．
