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简单的三角恒等变换
3-3
1. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行
简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
3-3 简单的三角恒等变换......................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：两角和与差的正余弦与正切................................................................................................1
考点2：二倍角公式................................................................................................................................2
考点3：降次（幂）公式.......................................................................................................................2
考点4：半角公式.....................................................................................................................................2
考点5：辅助角公式................................................................................................................................2
【方法技巧与总结】...............................................................................................................................2
1．两角和与差正切公式变形.......................................................................................................2
2．降幂公式与升幂公式................................................................................................................2
3．其他常用变式..............................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 三角函数式的化简....................................................................................................................3
题型二 三角函数式的求值....................................................................................................................6
命题点1 给角求值........................................................................................................................6
命题点2 给值求值........................................................................................................................8
命题点3 给值求角........................................................................................................................9
题型三 三角恒等变换的综合应用...................................................................................................12
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................................................................................17一、主干知识
考点1：两角和与差的正余弦与正切
① ；
② ；
③ ；
考点2：二倍角公式
① ；
② ；
③ ；
考点3：降次（幂）公式
考点4：半角公式
考点5：辅助角公式
b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
asinα+bcosα= √a2 +b2 sin(α+ϕ)
（其中
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．【方法技巧与总结】
1．两角和与差正切公式变形
tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)
；
tanα+tanβ tanα−tanβ
tanα⋅tanβ=1− = −1
tan(α+β) tan(α−β)
．
2．降幂公式与升幂公式
1−cos2α 1+cos2α 1
sin 2α= ；cos 2α= ；sinαcosα= sin2α
2 2 2 ；
1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sinα+cosα) 2 ；1−sin2α=(sinα−cosα) 2
．
3．其他常用变式
2sinαcosα 2tanα cos2α−sin2α 1−tan2α α sinα 1−cosα
sin2α= = ；cos2α= = ；tan = =
sin2α+cos2α 1+tan2α sin2α+cos2α 1+tan2α 2 1+cosα sinα
．
3. 拆分角问题：① ； ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
注意 特殊的角也看成已知角，如 ．二、分类题型
题型一 三角函数式的化简
【例题精析1】 （2021•甲卷）若 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，
即 ，
， ，
则 ，解得 ，
则 ，
．
故选： ．【例题精析2】 （2021•乙卷）
A． B． C． D．
【解答】解：法一、
．
法二、
．
故选： ．
【例题精析3】 （2019•江苏）已知 ，则 的值是 ．
【解答】解：已知 ，整理得 ，
解得 ，
（1）当 时，
则 ， ，
故 ．
（2）当 时，则 ， ，
．
故答案为： ．
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．
【对点精练1】 （2020•新课标Ⅰ）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，
即 ，解得 （舍去），或 ．
， ， ，
则 ．
故选： ．
【对点精练2】 （2019•全国）已知 ，则A． B． C．3 D．5
【解答】解： ，
则 ．
故选： ．
【对点精练3】 （2019•新课标Ⅱ）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
可得： ，
， ， ，
，
，
解得： ．
故选： ．
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
【例题精析4】 （2023 春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）若 ，则
___________.【解答】
故答案为：
【例题精析5】 （2021春·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中） ______.
【解答】
故答案为：1
【对点精练1】 若 ,则 __________．
【解答】由 解得 ， 而
，故填： ．
【对点精练2】 求 ________.
【解答】故答案为： .
命题点2 给值求值
【例题精析6】 已知 ，则 ______．
【解答】由题意可得，
.
故答案为：
【例题精析7】 若 ， ，则 ________
【解答】 ，解得 ，
则 .
故答案为： .【对点精练3】 已知 ，且 ，则 _________
【解答】解法1、因为 ，
则 ，
解得 或 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
解法2、因为 ，可得 ，
所以 ，
，
所以 且 ，
解得 ， ，所以 ．
故答案为： .
【对点精练4】 设 ，若 ，则 ______.
【解答】因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .故答案为：
【对点精练5】 若 ，则 __________.
【解答】因为 ，所以
，
故答案为： .
命题点3 给值求角
【例题精析8】 已知 ， ，且 ， ，则 的值是___________.
【解答】解：因为 ， ，且 ， ，
所以 ， ，且 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
【例题精析9】 若 为锐角， ，则角 __________.
【解答】由于 为锐角，所以 ，
所以 ，所以
，
所以 .
故答案为：
【例题精析10】 已知 都是锐角， ，则 ___________.
【解答】 、 为锐角， ； ，
，
；
由于 为锐角， ；故答案为：
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的
联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
【对点精练6】 已知 ， ， ， ，则
________．
【解答】因为 ， ，则 ， ， ，所以， ， ，
所以，
，
因此， .
故答案为： .
【对点精练7】 已知 ， 均为锐角，若 ，则 值为____________．
【解答】由已知 ，
又 ， 均为锐角，所以 ，所以 ．
故答案为： ．
【对点精练8】 已知 ，且 ，则 _____________.
【解答】因为 ， ，
所以 ，
，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
故答案为： .
题型三 三角恒等变换的综合应用
【例题精析11】 （2022•新高考Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：解法一：因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
解法二：由题意可得， ，
即 ，
所以 ，
故 ．
故选： ．
【例题精析12】 （2021•全国）函数 图像的对称轴是
A． B．
C． D．
【解答】解：
．
由 ， ，得 ， ．函数 图像的对称轴是 ．
故选： ．
【例题精析13】 （2020•新课标Ⅲ）已知 ，则
A． B． C．1 D．2
【解答】解：由 ，得 ，
即 ，
得 ，
即 ，
即 ，
则 ，
故选： ．
【例题精析14】 （2022•浙江）若 ， ，则 ， ．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
解得 ， ，
．故答案为： ； ．
【例题精析15】 （2021•浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在 ， 上的最大值．
【解答】解：函数 ，
（Ⅰ）函数
，
则最小正周期为 ；
（Ⅱ）函数
，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ．
【例题精析16】 （福建高考专题）已知函数 ．
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函数 的最小正周期及单调递增区间．
【解答】解：（1） ，且，
；
（2） 函数
，
的最小正周期为 ；
令 ， ，
解得 ， ；
的单调增区间为 ， ， ．
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式
的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与
对称性．【对点精练1】 （2020•新课标Ⅲ）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
即 ，
得 ，
即 ，
得
故选： ．
【对点精练2】 （2022•北京）若函数 的一个零点为 ，则 1 ；
．
【解答】解： 函数 的一个零点为 ， ，
，函数 ，
，
故答案为：1； ．
【对点精练3】 （2018•江苏）已知 ， 为锐角， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．【解答】解：（1）由 ，解得 ，
；
（2）由（1）得， ，则 ．
， ， ，
．
则 ．
．
【对点精练4】 （2018•北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若 在区间 ， 上的最大值为 ，求 的最小值．
【解答】解： 函数
， 的最小正周期为 ；（Ⅱ）若 在区间 ， 上的最大值为 ，
可得 ， ，即有 ，解得 ，则 的最小值为 ．
三、分层训练：课堂知识巩固1．（2022•北京）已知函数 ，则
A． 在 ， 上单调递减
B． 在 ， 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 ， 上单调递增
【解答】解： ，周期 ，
的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ， ，
对于 ， 在 ， 上单调递增，故 错误，
对于 ， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，故 错误，
对于 ， 在 上单调递减，故 正确，
对于 ， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，故 错误，
故选： ．
2．（2018•新课标Ⅲ）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
3．（2018•新课标Ⅲ）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．【解答】解：函数 的最小正周期为 ，
故选： ．
4．（2018•新课标Ⅱ）若 在 ， 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
由 ， ，
得 ， ，
取 ，得 的一个减区间为 ， ，
由 在 ， 是减函数，
得 ．
则 的最大值是 ．
故选： ．
5．（2018•新课标Ⅰ）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，
，且 ，则
A． B． C． D．1
【解答】解： 角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，
终边上有两点 ， ，且 ，
，解得 ，， ，
．
故选： ．
6．（2018•新课标Ⅱ）若 在 ， 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
由 ， ，
得 ， ，
取 ，得 的一个减区间为 ， ，
由 在 ， 是减函数，
得 ， ．
则 的最大值是 ．
故选： ．
二．填空题（共5小题）
7．（2018•新课标Ⅱ）已知 ，则 ．
【解答】解： ，
，则 ，
故答案为： ．
8．（2019•江苏）已知 ，则 的值是 ．
【解答】解：已知 ，整理得 ，
解得 ，
（1）当 时，
则 ， ，
故 ．
（2）当 时，
则 ， ，
．
故答案为： ．
9．（2017•江苏）若 ，则 ．
【解答】解：
，
解得 ，故答案为： ．
10．（2017•北京）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若
，则 ．
【解答】解：方法一： 角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，
， ，
方法二： ，
当 在第一象限时， ，
， 角的终边关于 轴对称，
在第二象限时， ， ，
，
当 在第二象限时， ，
， 角的终边关于 轴对称，
在第一象限时， ， ，
综上所述 ．
方法三： ， 角的终边关于 轴对称，， ，
．
故答案为： ．
11．（2017•新课标Ⅰ）已知 ， ，则 ．
【解答】解： ， ，
，
，
解得 ， ，
，
故答案为：
三．解答题（共5小题）
12．（2017•江苏）已知向量 ， ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）记 ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
当 时， ，不合题意，
当 时， ，
， ，，
（2） ，
， ，
， ，
，
当 时， 有最大值，最大值3，
当 时， 有最小值，最小值 ．
13．（2023•和平区校级一模）已知 ， ．
（1）求 的大小；
（2）设函数 ， ， ，求 的单调区间及值域．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
则 ，因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
即 ，又 ，所以 ，则 ．
（2）函数 ， ， ，
令 ，解得 ，所以函数 在区间 上单调递增；
令 ，解得 ，
所以函数 在区间 上单调递减；
因为 ， ， ，
当 时，即 ， 取最大值1；
当 时，即 ， 取最小值 ，所以 值域为 ．
14．（2023•香坊区校级二模）已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，依次成等比数列，
．
（1）求角 ，并判断三角形的形状．
（2） 在区间 是单调增函数，求 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，
则 ，
整理得 ，又因为 、 ， 依次成等比数列，
则 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，
整理得 ，即 或 （舍去），且 ，
则 ，可得 ，且 ， ，
则 ，可得 ，即 ，
所以 为等边三角形；（2）由（1）可得：则
，
则 ，
原题等价于 在 上恒成立，
注意到 ，则 ，
令 ，则 ，当 时恒成立，
可得 ，解得 ，所以 的取值范围为 ．
15．（2023•河北模拟）在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
（1）求 ；
（2）求 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ，
整理得 ，注意到 ，则 ，可得 ，即 ，
所以 ．（2）因为 ，则 ，
且 为锐角三角形，则 ，解得 ，
又因为 ，
当 时，则 ，则 ， ，
所以 ；
当 时，则 ，则 ，
所以 ；
当 时，则 ，则 ， ，
所以 ， ；
综上所述： 的取值范围为 ， ．
16．（2023•浉河区校级模拟）已知函数 的最大值为1，且
图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ．
（1）求 和 的值；
（2）当 ，求函数 的单调递增区间和值域．【解答】解：（1） ，
函数 的最大值为 ，解得 ，
图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，
的周期为 ，
，解得 ，
故 ；
（2） ，
令 ， ，解得 ， ，
故函数 的单调递增区间为 ， ，
当 时，函数的单调递增区间为 ，
， ，
则 ，
故 ， ，即函数的值域为 ， ．
1．（2023•铁岭模拟）已知定义在 上的偶函数 对任意
都有 ，当 取最小值时， 的值为A．1 B． C． D．
【解答】解：函数
，
又 为偶函数，所以 ， ；
解得 ， ；
又 ，所以 ；
所以 ；
又对任意 都有 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ， ；
解得 ， ；
又 ，所以 的最小值是2，
此时 ．
故选： ．
2．（2023•乌鲁木齐模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ；；
．
故选： ．
3．（2023•江西模拟）若 ， 是第三象限的角，则
A．2 B． C． D．
【解答】解：由 ， 是第三象限的角，
可得 ，
故选： ．
4．（2022•聊城三模）已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
5．（2022•二模拟）已知函数 ，则下列结论中正确的是A．函数 的最小正周期为 B． 时 取得最小值
C． 关于 对称 D． 时 取得最大值
【解答】解：易知 ，
故 ，故 错误；
，故 错误，且 也不是原函数的对称轴，故 错误；
，取得了最大值，故 正确．
故选： ．
6．（2022•安徽模拟）已知函数 在区间 不存在极值点，则 的取值范围
是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
因为函数 在区间 不存在极值点，
所以 ，对任意的 都成立，
整理得 ，
分别令 和0，解得 ，或 ．
故选 ．
7．（2022•泸县校级模拟）若 ，则A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
即
得 ， ，
则 ，
故选： ．
8．（2021•江苏二模）计算 所得的结果为
A．1 B． C． D．2
【解答】解： ，
故选： ．
9．（2023•温州模拟）若 ， ，则 1 ， ．
【解答】解：若 ，
则 ，
，
当 时， ， ；
当 时， ；
对 两边平方，
得 ，化简得 ，
即 ；
由 ，
得 ，
即 ，
整理得 ，
解得 ．
故答案为：1，1．
10．（2022•苍南县校级模拟）设函数 ．
（Ⅰ）求函数 的对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）函数 在 ， 上满足 ，求 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
，
令 ， ，
则 ， ，
故函数 的对称中心为 ， ；
令 ， ；
解得 ， ；
故函数 的单调增区间为 ， ；（Ⅱ） ， ，
， ，
， ，
， ，
， ， ， ，
恒成立，
．
1．（2015•吉林校级四模）已知 为第二象限角，且 ，则 ．
【解答】解： ，两边平方得： ，
，①
，
为第二象限角，
， ，
，②
．故答案为： ．
2．（2013•四川）设 ， ， ，则 的值是 ．
【解答】解： ， ， ，
， ，
，
则 ．
故答案为：
3．（2013•姜堰市模拟）已知 ， ， ，则 的最大
值为 ．
【解答】解：由于 、 、 ， ，设 ， ， ，则 ， ， ，
．
不妨设 ，令 ．
再采用固定变量法：
对于固定的 ， ， 随 的增大而增大，所以当原式取最大值时， 一定取1，
对于固定的 ， ， 随 的减小而增大，所以当原式取最大值时， 一定取 ．
此时，原式 ．
令 （b） ， （b） ，
当 时， （b）最大，故 （b）的最大值为2．综上可得，要使原式取得最大值，必须有 ， ， ，
故原式的最大值为 ，
故答案为： ．
