第01 讲 集合及其运算
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................1
题型01 元素与集合的关系.................................................................................................1
题型02 元素特征.................................................................................................................2
题型03 集合间关系.............................................................................................................3
题型04 （真）子集的个数.................................................................................................4
题型05 集合基本运算
....................................................................................................5
题型06 Venn 图的应用........................................................................................................6
题型07 运算确定集合或参数
........................................................................................7
题型08 容斥原理的应用
................................................................................................8
题型09 新定义问题
......................................................................................................10
重难·创新演练.....................................................................................................................................13
真题·实战演练.....................................................................................................................................18
模拟·基础演练
考查重点：集合间的基本关系
题型01 元素与集合的关系
1．已知集合A =¿，则集合B =¿的元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】集合B =¿，共有4 个元素，故选B.
2．已知集合A = {2,4,5,7}，集合B = {x| x +2∈A }，则A ∩B =（ ）
A．{2,4}
B．{2,4,7}
C．{2,5}
D．{2,5,7}
【答案】C
【详解】因为集合B = {x| x +2∈A }，所以集合B = {0,2,3,5}，所以A ∩B = {2,5}.
3．已知集合A ={1,m}，B ={1,3,m
2}，若A ⊆B，则实数m的值为（ ）
A．0或-1
B．0或1
C．0或3
D．1或3
【答案】C
【分析】由A ⊆B可知A中元素m必属于B，故m=3或m=m
2；分别求解后，结合集合元素的互异性排除
m=1，最终得m=0或m=3．
【详解】由A ⊆B，得m=3或m=m
2，
若m=3，则A ={1,3}，B = {1,3,9}，满足A ⊆B，
若m=m
2，则m=0或m=1，
m=0时，A ={1,0}，B = {1,3,0}，满足A ⊆B，
m=1时，A ={1,1}，不满足集合元素的互异性，
综上，m=0或m=3．
题型02 元素特征
4．(25-26 高三下·上海大同中学·模拟)若A = {1,a}，B = {2,3,4}，且A ∪B = {1,2,3,4}，则实数a取值的集
合是____________.
【答案】{2,3,4}
【分析】根据并集的定义可得a是集合{1,2,3,4}中的元素，再结合集合元素的互异性排除a=1，即可得到
实数a的取值集合.
【详解】因为A = {1,a}，B = {2,3,4}，且A ∪B = {1,2,3,4}，则A ⊆( A ∪B)，
所以a∈( A ∪B)且由互异性知a≠1，
则有a=2或a=3或a= 4，
所以实数a取值的集合是{2,3,4}.
5．(25-26 高三·上海·模拟)已知集合A ={1,2,k
2}，B = {0,4}，若A ∩B = {4}，则实数k =__________．
【答案】±2
【详解】因为A ∩B = {4}，所以4∈A.
得k
2= 4，解得，k =±2.
当k =2时，A = {1,2,4}，满足A ∩B = {4}；
当k =-2时，A = {1,2,4}，满足A ∩B = {4}；
综上所述，k =±2.
6．已知集合A ={x|-3≤x ≤2}，B ={x|x ≥a}且A ⊆B，则实数a 的取值范围是_________.
【答案】(-∞,-3]
【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可.
【详解】解：由A ⊆B，则A集合中的所有元素必须属于B集合，
所以a≤-3，即a 的取值范围为(-∞,-3].
题型03 集合间关系
7．若{-1,0,1}⊆A ⊆{0,-1,1}，则A的真子集个数为（ ）
A．3
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【分析】由集合的无序性结合集合的关系确定A ={-1,0,1}，进而可求集合A的真子集个数.
【详解】因为{-1,0,1}⊆A ⊆{0,-1,1}，所以A ={-1,0,1}，所以A的真子集个数为2
3-1=7.
8．(25-26 高三下·湖南长沙麓山国际实验学校·二模)已知集合A =¿，B =¿，则（ ）
A．A ∩B =∅
B．B⊆A
C．A ⊆B
D．A ∪B = R
【答案】C
【详解】∵ 解不等式| x +1|>6可得x +1>6或x +1<-6，
∴ 解得x>5或x<-7，即B ={x| x>5 或x<-7}，又已知A ={x| x>5}.
对选项A：∵A ∩B ={x| x>5}= A ≠∅，故A 错误.
对选项B：∵ 取x =-8∈B，但-8∉A，故B⊈A，故B 错误.
对选项C：∵ 对任意x∈A，都满足x>5，符合B中元素的取值要求，即x∈B，故A ⊆B，故C 正确.
对选项D：∵A ∪B ={x| x>5 或x<-7}，取x =0，0∉A且0∉B，故A ∪B≠R，故D 错误.
9．已知集合A ={x∈Z | 1
2 <2
x<8} ，B⫋A则符合条件的集合B 的个数为（ ）
A．2
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】利用列举法表示出集合A，再根据给定条件即可求出集合B的可能情况.
【详解】集合A =¿，x∈Z，
所以x可能的取值为0,1,2，即集合A = {0,1,2}，B是A的真子集，有2
3-1=7个，故C 正确．
题型04 （真）子集的个数
10．已知集合A = {x∈Z |-1< x ≤2}，则集合A的子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【详解】由A = {x∈Z |-1< x ≤2}= {0,1,2}，则其子集共有2
3=8个.
11．已知直线l1: x - y =0，l2: x + y -2=0，l3:5 x -ky -15=0能构成三角形，设满足条件的k 值构成集合
A，则∁R A的子集个数为（ ）
A．8
B．16
C．2
D．1
【答案】A
【详解】因为直线l1: x - y =0，l2: x + y -2=0，l3:5 x -ky -15=0能构成三角形，
所以l3不平行于l1且l3不平行于l2且l3，l1，l2不共点，
当l3不平行于l1时，可得k ≠5，
当l3不平行于l2时，可得k ≠-5，
当l3，l1，l2不共点时，由¿，解得¿，
所以5×1-k ×1-15≠0，解得k ≠-10，
所以A =¿且k ≠-5且k ≠-10}，所以∁R A = {5,-5,-10}，
所以∁R A的子集个数为2
3=8.
12．已知全集U =¿，集合A = {1,2,5}，则∁U A的真子集个数为（ ）
A．3
B．7
C．15
D．31
【答案】B
【详解】依题意，U =¿，
故∁U A = {0,3,4}，则∁U A的真子集个数为2
3-1=7．
题型05 集合基本运算
13．已知集合A ={x|ln x>0}，B = {0,1,2,3}，则A ∩B =（ ）
A．{3}
B．{2,3}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2,3}
【答案】B
【分析】利用对数函数性质求出集合A，再求出A ∩B.
【详解】由集合A ={x|ln x>0}={x|x>1}，B = {0,1,2,3}，则A ∩B ={2,3}.
14．已知A ={z||z +1|=1, z∈C}，B ={z||z -2-i|=m, z∈C}.若集合A ∩B中有且仅有一个元素，则m
的所有取值之积为（ ）
A．4
B．❑√5-1
C．❑√10-1
D．9
【答案】D
【分析】将复数模的条件转化为复平面上的圆，根据两圆相切的充要条件求出m的所有正取值，再计算乘
积即可.
【详解】由|z +1|=1，则在复平面内，复数z对应的点到点(-1,0)的距离为1，
则集合A表示在复平面内，以(-1,0)为圆心，半径为1的圆；
由|z -2-i|=m，若m<0，B =∅，不合题意；
若m=0，则z =2+i，即B = {2+i}，
此时|2+i+1|=
❑√3
2+1
2= ❑√10≠1，即A ∩B =∅，不合题意；
故m>0，则在复平面内，复数z对应的点到点(2,1)的距离为m，
即集合B表示在复平面内，以(2,1)为圆心，半径为m的圆；
由集合A ∩B中有且仅有一个元素，则两圆相切，
若两圆相内切，则有❑√(2+1)
2+(1-0)
2=|m-1|，解得m= ❑√10+1（负值舍去）；
若两圆相外切，则有❑√(2+1)
2+(1-0)
2=m+1，解得m= ❑√10-1；
故m的所有取值之积为(❑√10+1)(❑√10-1)=10-1=9.
15．(25-26·贵州部分高中学校·期中)已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[0,1]
B．[-1,1]
C．[-1,0]
D．(0,1]
【答案】A
【详解】因为A ={x| x
2≤1}={x|-1≤x ≤1}，B ={x| y = ❑√x }={x| x ≥0}，
所以A ∩B ={x|0≤x ≤1}=[0,1].
16．(25-26 高三·北京房山区·)已知全集U = {x∈Z | x<3}，集合A = {x∈Z | x<0}，则∁U A =（ ）
A．{x|0< x<3}
B．{1,2}
C．{x|0≤x<3}
D．{0,1,2}
【答案】D
【分析】根据补集的定义计算，需注意集合中元素x的取值范围要求．
【详解】根据补集的计算法则可知：∁U A ={x∈Z|0≤x<3}= {0,1,2}.
17．已知U = {1,2,3,4,5,6,7}，A = {2,4,5}，B = {1,3,5,7}，则A ∩(∁U B)=（ ）
A．{2}
B．{2,4}
C．{2,4,6}
D．{2,4,5,6}
【答案】B
【详解】由U = {1,2,3,4,5,6,7}，B = {1,3,5,7}，得∁U B = {2,4,6}，
而A = {2,4,5}，则A ∩(∁U B)= {2,4}.
18．已知集合A ={x ∈N | x
2-2 x -8≤0}，B ={x| y =ln(π- x)}，则A ∩B =（ ）
A．{x ¿
B．{1,2}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2,3}
【答案】D
【详解】∵x
2-2 x -8≤0，解得-2≤x ≤4，x∈N，
∴集合A = {0,1,2,3,4}；
∵y =ln(π- x)，则π- x>0，解得x<π，
∴集合B = {x| x<π}；
∴A ∩B = {0,1,2,3}．
题型06 Venn 图的应用
19．如图，已知全集U及其两个非空真子集A ,B，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．A ∩B
B．A ∪B
C．A ∩(∁U B)
D．B∩(∁U A)
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解.
【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合A除去A ∩B的部分，
所以阴影部分表示集合为A ∩(∁U B)．
20．已知全集U =R，集合A ={x∣x<4 },B ={x∣3< x<5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．(-∞,3]∪[ 4 ,+ ∞)
B．(-∞,4 ]∪[5,+∞)
C．[5,+∞) D．(5,+∞)
【答案】C
【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解.
【详解】阴影部分表示的是∁U( A ∪B)，因为A ∪B ={x∣x<5}，所以∁U( A ∪B)={x∣x ≥5}，
即[5,+ ∞)．
21．(25-26 高三上·辽宁多校调研·调研)已知集合A、B、C是全集U的三个真子集，A、B、C的关系如
Venn 图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A ∩B∩C
B．A ∩C + B∩C
C．( A ∩C + B∩C)- A ∩B∩C
D．A ∩(∁U C ∪B)
【答案】B
【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解.
【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为( A ∩C)∪(B∩C)，
即阴影部分表示集合为A ∩C + B∩C.
故选：B.
题型07 运算确定集合或参数
22．(高三上·山西部分学校·模拟)设集合A ={x∣x<2或x ≥4},B = {x∣a≤x ≤a+1}，若(∁R A)∩B =∅，
则a的取值范围是（ ）
A．a≤1或a>4
B．a<1或a≥4
C．a<1
D．a>4
【答案】B
【分析】先求出∁R A，根据(∁R A)∩B =∅，可求得结果.
【详解】由集合A ={x∣x<2或x ≥4}，得∁R A ={x∣2≤x<4 }，又集合B = {x∣a≤x ≤a+1}且
(∁R A)∩B =∅，则a+1<2 或a≥4，即a<1或a≥4.
故选：B.
23．(高三下·湖北十堰丹江口第一中学·模拟)已知集合M =¿ N =¿，若(∁R M )∩N =∅，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．¿
B．¿
C．¿或a≥5}
D．¿或a>5}
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的求解分别可集合M , N,进而根据交运算的结果即可得不等关系，进行求解.
【详解】由M =¿ N =¿,
所以M =¿或x ≤0},
因此∁R M =¿，
由(∁R M )∩N =∅知a+1≤0或a-1≥4，即a≤-1或a≥5．
故选:C
24．已知全集U = {1,3,5,7,9}，集合A = {3,7,a-1}，若∁U A = {1,5}，则a=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】D
【详解】∵全集U = {1,3,5,7,9}，集合A = {3,7,a-1}，∁U A = {1,5}，
∴a-1=9，∴a=10，故选项D 正确.
题型08 容斥原理的应用
25．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加100 米、400 米、1500 米三个项目，其中有
8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米比赛”，有5 人参加“1500 米比赛”，“100 米和400 米”
都参加的有4 人，“100 米和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500 米”都参加的有3 人，则下列说
法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有3 人
【答案】AB
【分析】由题意先分析出3 项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可.
【详解】根据题意，设A ={x|x是参加100 米的同学}，
B ={x|x是参加400 米的同学}，C ={x|x是参加1500 米的同学}，
则card( A)=8,card(B)=7,card(C)=5,
且card( A ∩B)= 4 ,card( A ∩C)=3,card(B∩C)=3,
则card( A ∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4 +3+3)]=2，
所以三项比赛都参加的有2 人，
只参加100 米比赛的有8- 4 -3+2=3人，
只参加400 米比赛的有7 - 4 -3+2=2人，
只参加1500 米比赛的有5-3-3+2=1人.
故选：AB
26．(25-26 高三·山东淄博·)已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投
掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3 次，则3 次所得数
字之积能被10 整除的概率为__________.
【答案】15
32
【分析】根据容斥原理可求3 次投掷既有5 也有偶数的概率.
【详解】根据题意，每次投掷得到情形A：掷出5 点，情形B：掷出偶数点，情形C：掷出3 或7 点的概率
分别为1
4 , 1
2 , 1
4 ，
于是3 次投掷均没有5 的概率为27
64 ，3 次投掷均没有偶数的概率为1
8，3 次投掷既没有5 也没有偶数的概率
为1
64 ，
因此根据容斥原理，3 次投掷既有5 也有偶数的概率为1- 27
64 - 1
8 + 1
64 = 15
32.
27．card( A)表示有限集合A 中元素的个数，已知card( A ∪B)=25，card( A)=22，card(B)=20，则
card( A ∩B)=______．
【答案】17
【详解】card( A ∩B)=card( A)+card(B)-card( A ∪B)=22+20-25=17.
题型09 新定义问题
28．（多选）已知A1，A2，…，An，…均为有限实数集，记An中的最大元素为xn，∀n∈N
*，
An+1= An∪ ¿，若A1= {-2,3}，则（ ）
A．A2= {-2,1,3,6}
B．x7=384
C．A8中所有元素的平均数为191
D．A6中所有元素的和为3008
【答案】ACD
【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素xn+1=2 xn
，直接得到{xn}的等比通项；集合元素个数
|An+1|=2|An|，结合元素和的递推关系Sn+1= Sn+(Sn+ xn·|An|)，推导出Sn的通项，再逐一验证选项即可.
【详解】选项A，已知A1= {-2,3}，最大元素x1=3，
根据定义A2={a+ x1a∈A1}= {-2+3,3+3}= {1,6}，
则A2= A1∪{1,6}= {-2,1,3,6}，A 正确；
选项B，由An+1的构造，An的最大元素是xn，则{a+ xn}的最大元素是xn+ xn=2 xn，
因此xn+1=2 xn，即{xn}是首项为x1=3，公比为2 的等比数列：xn=3·2
n-1.
当n=7时，x7=3·2
7-1=192≠384 ，B 错误；
设Sn为An所有元素之和，则S1=-2+3=1 ，因为A2= A1∪{a+ x1}，
所以S2= S1+(S1+2 x1)=1+(1+2×3)=8 .一般地，Sn+1= Sn+(Sn+ xn·|An|)，其中|An|是An的元素个数.
由构造可知，|An+1|=2|An|(即每次新增元素与原集合无重复)，因为|A1|=2 ，故|An|=2
n.
结合xn=3·2
n-1，递推得：Sn+1=2Sn+3·2
n-1·2
n=2Sn+3·2
2n-1，
等式两边同除以2
n+1得Sn+1
2
n+1 = Sn
2
n +3·2
n-2.令 bn= Sn
2
n ，则bn+1-bn=3·2
n-2，b1= S1
2
1 = 1
2，
累加法求bn=b1+∑
k =1
n-1
(bk +1-bk)= 1
2 +∑
k =1
n-1
3·2
k -2= 1
2 + 3
2∑
k =1
n-1
2
k -1=3·2
n-2-1，
则Sn=bn·2
n=3·4
n-1-2
n.
选项C，当n=8时，均值为
S8
|A8|
= 3·4
8-1-2
8
2
8
=191 ，C 正确；
选项D，当n=6时，S6=3·4
6-1-2
6=3008 ，D 正确.
29．设点集P ={( x , y)∣x , y ∈Z ,1≤x ≤4,1≤y ≤4 }，若P中的点Ai(xi, yi), A j(x j, y j)满足
|xi- x j|+|yi- y j|=2,i, j∈N
*，则称Ai
与A j
互为邻点. 点集P中与点(2,2)互为邻点的点的个数为
__________. 在P中定义邻点列S: A1, A2,⋯, An
，其中Ai(xi, yi)与Ai+1(xi+1, yi+1)互为邻点，且
xi yi+1≤yi xi+1，若A1(1,4)，则n的最大值为__________.
【答案】 6 8
【分析】第一空直接按定义分类讨论即可；第二空需分析出邻点需满足的约束条件，结合不等关系的要求
得到邻点列可能的排列，最后构造出符合条件的邻点列.
【详解】（1）设与(2,2)互为邻点的点为( x , y)，则| x -2|+| y -2|=2且x , y ∈{1,2,3,4}，
若| x -2|=0，则| y -2|=2，解得x =2，y =0（舍去）或y = 4，点为(2,4)；
若| x -2|=1，则| y -2|=1，解得x =1或3，y =1或3，点为(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)；
若| x -2|=2，则| y -2|=0，解得x =0（舍去）或x = 4，y =2，点为(4,2)，
综上，满足条件的点共有1+ 4 +1=6个；
（2）根据xi yi+1≤yi xi+1，以及点集坐标范围可得yi+1
xi+1
≤yi
xi
，记ki= yi
xi
，
则该邻点列各点的ki依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件，
因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以(xi- x j)+( yi- y j)和|xi- x j|+|yi- y j|
一样也是偶数，即(xi+ yi)-(x j+ y j)为偶数，所以(xi+ yi)和(x j+ y j)的奇偶性相同，
即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知A1(1,4)，其横纵坐标之和为奇数，
点集P中满足x + y为奇数的点共有8个，依次为(1,4),(1,2),(2,3),(3,4),(4,3),(3,2),(2,1),(4,1)，
对应的k值依次为4,2, 3
2 , 4
3 , 3
4 , 2
3 , 1
2 , 1
4 （依次递减），满足要求的邻点列S只能从这8个点中选择
且按k值递减的顺序排列，假设8个点均可以存在，即有邻点列A1(1,4), A2(1,2), A3(2,3), A4(3,4),
A5(4,3), A6(3,2), A7(2,1), A8(4,1)，可验证相邻点确实均为邻点，所以n的最大值为8.
30．对于集合S，定义S + S = {a+b|a,b∈S}，若S∩(S+ S)=∅ ，则称S为理想集．例如，{1,2}不是理
想集，而{1,3}是理想集．
(1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由；
①{1,4}；②{1,4,10,13}；③{4,5,6,7,8}．
(2)若存在n个非空理想集S1，S2，…，Sn，且Si∩S j=∅(1≤i< j≤n)，使得S1∪S2∪⋯∪Sn=
{1,2,⋯,k }(k ≥n)，则称k是n可分的，记an= max {k |k 是n可分的}．
（i）证明：a3≥13；
（ii）证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 11
8 ．
【答案】(1)集合①②是理想集，③不是理想集
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据理想集定义，计算每个集合对应的S + S，再判断S与S + S是否无公共元素即可；
（2）（i）：构造出3 个两两不交的非空理想集，使得它们的并集为{1,2,…,13}即可；
（ii）：结合题意推导an的取值规律，得到1
an
的放缩方式，再结合裂项相消原理求和证明不等式.
【详解】（1）根据理想集定义：S为理想集当且仅当S∩(S+ S)=∅ ，其中S+ S = {a+b∣a,b∈S}，
① 集合{1,4 }：计算得S + S = {1+1,1+ 4,4 + 4}= {2,5,8}，S∩(S + S)= {1,4}∩{2,5,8}=∅ ，
因此{1,4}是理想集，
②集合{1,4,10,13}：计算得：S+ S = {2,5,8,11,14,17,20,23,26}，
S∩(S + S)= {1,4 ,10,13}∩{2,5,8,11,14,17,20,23,26}=∅ ，
因此{1,4,10,13}是理想集.
③ 集合{4,5,6,7,8}：因为4 + 4 =8，故8∈S且8∈S+ S，S∩(S+ S)⊇{8}≠∅ ，
因此{4,5,6,7,8}不是理想集.
所以集合①②是理想集，③不是理想集．
（2）（i）构造集合S1= {1,4 ,10,13}，S2= {2,3,11,12}，S3= {5,6,7,8,9}，
S1+ S1={2,5,8,11,14,17,20,23,26}，无公共元素，是理想集；
S2+ S2={4,5,6,13,14,15,22,23,24 }，无公共元素，是理想集；
S3中最小两元素和为5+5=10>9=max S3，故S3∩(S3+ S3)=∅，是理想集，
且Si∩S j=∅(1≤i< j≤3)，S1∪S2∪S3= {1,2,⋯,13}，
所以13是3可分的，故a3≥13．
（ii）若存在n个非空理想集S1，S2，…，Sn，且Si∩S j=∅(1≤i< j≤n)，使得
S1∪S2∪⋯∪Sn= {1,2,⋯,k }(k ≥n)，则对于1≤i≤n，取T i= Si∪(Si+ {2k +1})，
其中Si+ {2k +1}表示将集合Si中每个数都加上2k +1后所得的新集合．
取T n+1= {k +1,k +2,⋯,2k +1}，此时存在n+1个非空理想集T 1，T 2，…，T n+1，
且T i∩T j=∅(1≤i< j≤n+1)，使得T 1∪T 2∪⋯∪T n+1= {1,2,⋯,3k +1}．
设an=k，则有an+1≥3k +1=3an+1 ，
则an+1+ 1
2 ≥3(an+ 1
2)，又a1=1，
于是当n≥2时，an+ 1
2 ≥3(an-1+ 1
2)≥3
2(an-2+ 1
2)≥⋯≥3
n-1(a1+ 1
2)= 3
n
2 ，
故an≥3
n-1
2
，当n=1时，a1≥3
1-1
2
依然成立，所以an≥3
n-1
2
，
于是1
an
≤
2
3
n-1
=
2(3
n+1-1)
(3
n-1)(3
n+1-1)
<
2⋅3
n+1
(3
n-1)(3
n+1-1)
=3(
1
3
n-1
-
1
3
n+1-1)，
当n=1时，1
a1
=1< 11
8 成立；
当n≥2时，1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
<1+∑
k =2
n
3(
1
3
k -1
-
1
3
k +1-1)=1+ 3
8 -
3
3
n+1-1
< 11
8 ．
综上所述，1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 11
8 ．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．(25-26 高三·浙江杭州·二模)设f (x)=(a+b)cos
2 x +(a-b)sin
2 x，若¿，则（ ）
A．a=1且b=1
B．a=2且b=0
C．a=0且b=2
D．a=1且b=-1
【答案】B
【详解】函数f ( x)=(a+b)cos
2 x +(a-b)sin
2 x =a(cos
2 x +sin
2 x)+b(cos
2 x -sin
2 x)=a+bcos2 x，
由题意可知，∀x∈R，f ( x)=2恒成立，则a=2且b=0.
2．对于数集A，B，定义A + B =¿，A ÷ B =¿，若集合A = {1,2}，则集合( A + A)÷ A中所有元素之和为（
）
A．5
B．15
2
C．21
2
D．23
2
【答案】D
【分析】根据集合的新定义求出 A + A 和 ( A + A)÷ A，即可求出元素之和.
【详解】根据新定义，集合A = {1,2}，则A + A = {2,3,4}，
则( A + A)÷ A ={1,2,3,4 , 3
2} ，则可知所有元素之和为23
2 .
故选：D
二、多选题
【新思维】3．将一些向量构成的集合称为线性空间，设f 是线性空间V 到自身的一个变换，将V 中所有能
被f 变换为零向量的向量组成的集合称为变换f 在V 上的核，记作ker
V f ．已知线性空间
F ={(x,sinπ x)|0≤x ≤20}，对任意⃗a=(u,v)∈F，ker
F φ中的元素个数不少于4，则（ ）
A．φ(⃗a)=(cosπu
2 +1,
v
u-2)
B．φ(⃗a)=(cosπu
5 +1,
v
u-5)
C．φ(⃗a)=(sinπu
5 , v
u)
D．φ(⃗a)=(sinπu
7
,
v
u-2)
【答案】AC
【分析】根据给定条件，求出各选项的φ( F )，再求出φ( F )中零向量个数即可判断.
【详解】对于A，对任意⃗a=(u,v)∈F，φ(⃗a)=(cosπu
2 +1,
v
u-2)，且F ={( x ,sinπ x)|0≤x ≤20}，
则φ( F )=¿，
令cosπ x
2 +1=0，得cosπ x
2 =-1，
则π x
2 =π+2k π,k ∈Z，得x = 4 k +2,k ∈Z，
又0≤x ≤20，则x∈{2,6,10,14,18}，
令sinπ x
x -2
=0，得¿，则π x =k π,k ∈Z，且x≠2，即x =k ,k ∈Z且x≠2，
又0≤x ≤20，因此x∈{0,1,3,4,5,⋅⋅⋅,20}，
于是变换φ将F中的元素变换为零向量的x∈{6,10,14,18}，
所以ker
F φ中的元素个数为4，满足题意；
对于B，对任意⃗a=(u,v)∈F，φ(⃗a)=(cosπu
5 +1,
v
u-5)，且F ={( x ,sinπ x)|0≤x ≤20}，
则φ( F )=¿，
令cosπ x
5 +1=0，得cosπ x
5 =-1，
则π x
5 =π+2k π,k ∈Z，得x =10k +5,k ∈Z，
又0≤x ≤20，则x∈{5,15}，
令sinπ x
x -5
=0，得¿，则π x =k π,k ∈Z，且x≠5，即x =k ,k ∈Z且x≠5，
又0≤x ≤20，因此x∈{0,1,2,3,4,6,7,8,⋅⋅⋅,20}，
于是变换φ将F中的元素变换为零向量的x∈{15}，
所以ker
F φ中的元素个数为1，不满足题意；
对于C，对任意⃗a=(u,v)∈F，φ(⃗a)=(sinπu
5 , v
u)，且F ={( x ,sinπ x)|0≤x ≤20}，
则φ( F )=¿，
令sinπ x
5
=0，则π x
5 =k π,k ∈Z，得x =5k ,k ∈Z，
又0≤x ≤20，则x∈{0,5,10,15,20}，
令sinπ x
x
=0，得¿，则π x =k π,k ∈Z，且x≠0，即x =k ,k ∈Z且x≠0，
又0≤x ≤20，因此x∈{1,2,3,4 ,⋅⋅⋅,20}，
于是变换φ将F中的元素变换为零向量的x∈{5,10,15,20}，
所以ker
F φ中的元素个数为4，满足题意；
对于D，对任意⃗a=(u,v)∈F，φ(⃗a)=(sinπu
7
,
v
u-2)，且F ={( x ,sinπ x)|0≤x ≤20}，
则φ( F )=¿，
令sinπ x
7
=0，则π x
7
=k π,k ∈Z，得x =7 k ,k ∈Z，
又0≤x ≤20，则x∈{0,7,14}，
令sinπ x
x -2
=0，得¿，则π x =k π,k ∈Z，且x≠2，即x =k ,k ∈Z且x≠2，
又0≤x ≤20，因此x∈{0,1,3,4,5,⋅⋅⋅,20}，
于是变换φ将F中的元素变换为零向量的x∈{0,7,14}，
所以ker
F φ中的元素个数为3，不满足题意；
故选：AC
三、填空题
4．已知集合A = {1,2,⋯,10}共有k个三元子集.任意一个三元子集T i={x , y , z∣x< y < z },i∈{1,2,⋯k }，
定义m(T i)= y.则∑
i=1
k
❑m(T i)=__________.
【答案】660
【分析】结合分步乘法计数原理分析可得在三元子集中，y出现的次数为( y -1)(10- y)，进而求解即可.
【详解】对于集合A中的元素y (2≤y ≤9)，要使y在三元子集{x , y , z∣x< y < z }中，
则x可以从1 到y -1这y -1个元素中任选1 个，
z可以从y +1到10 这10- y个元素中任选1 个，
根据分步乘法计数原理，
y作为三元子集{x , y , z∣x< y < z }的中间数出现的次数为( y -1)(10- y)
则∑
i=1
k
❑m(T i)=∑
y =2
9
[ y ( y -1)(10- y)]=16+ 42+72+100+120+126+112+72=660.
5．若∃m∈Z，使得集合A =(a
m,a
m+3)中包含且仅包含两个整数m+1和m+2，则正实数a的取值范围是
___________．
【答案】3
1
4 <a≤❑√2
【分析】题设条件可转化为ln m
m ≤ln a< ln (m+1)
m
且ln (m+2)
m+3
<ln a≤ln (m+3)
m+3
，利用导数判断
f (x)= ln x
x , x ≥1的单调性后可得正实数a的取值范围.
【详解】由题设有m≤a
m<m+1<m+2<a
m+3≤m+3，
因为a>0，故a
m>0，故m+1>0，而m∈Z，故m≥0，
若m=0，则a
0=1<0+1，矛盾，故m≥1，故a
m≥1，
若0<a<1，则a
m<1，矛盾；若a=1，则a
m=a
m+3，
这与a
m<a
m+3矛盾，故a>1，
故ln m
m ≤ln a< ln (m+1)
m
且ln (m+2)
m+3
<ln a≤ln (m+3)
m+3
①，
设f (x)= ln x
x , x ≥1，则f
' (x)= 1- ln x
x
2
, x ≥1，
当1≤x<e时，f
' (x)>0；当x>e时，f
' (x)<0，
故f (x)在[1,e)上为增函数，在(e,+ ∞)上为减函数，
故当m≥3时，ln (m+3)
m+3
< ln m
m ，此时①无解；
故1≤m<3即m=1或m=2，
若m=1，则0≤ln a<ln 2且ln3
4 <ln a≤ln 4
4 = ln2
2 ，故3
1
4 <a≤❑√2；
若m=2，则ln2
2 ≤ln a< ln3
2 且ln 4
5 <ln a≤ln5
5 ，
但ln2
2 = ln 4
4 > ln5
5 ，故此时a不存在，
综上3
1
4 <a≤❑√2，
故答案为：3
1
4 <a≤❑√2.
6．集合U =¿，集合M ⊆U，对任意x , y ∈M，有x + y ∉M，则集合M 中元素个数的最大值是_____.
【答案】51
【分析】由题意，要使M中元素的个数最大，则101∈M，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素
与集合M的关系，确定M的元素个数及集合M的可能情况，即可得.
【详解】要使M中元素的个数最大，且∀x , y ∈M，有x + y ∉M，必有101∈M，
此时其余元素分组为(1,100)、(2,99)、⋯、(50,51)，共有50 组，
注意每组的两个元素必不能同时出现在集合M（因为它们的和为101），
所以，要使M中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50 组中共取50 个元素，
由抽屉原理知，不可能从50 组中取51 个元素，否则必有两个元素的和为101，不满足x + y ∉M，
综上，M中元素的个数最大为51 个，
如M = {51,52,53,⋅⋅⋅,101}、M = {1,3,5,7,⋅⋅⋅,101}均符合，元素个数为101-51+1= 101-1
2
+1=51.
故答案为：51
【新考法】7．(25-26 高三上·广东深圳建文外国语学校两学部·月考)已知集合
{x1, x2, x3, x4, x5, x6}= {1,2,3,4,5,6}，将xi与x j（其中i∈{1,2,3}，j∈{4,5,6}）的乘积xi x j放入如图的
3×3方格中，则方格中全部数之和的最大值为______.
x1 x4
x1 x5
x1 x6
x2 x4
x2 x5
x2 x6
x3 x4
x3 x5
x3 x6
【答案】110
【分析】先求方格中全部数之和的表达式，设t = x1+ x2+ x3，换元并利用二次函数性质求其最大值.
【详解】解：由表格数据可得所有数之和为：
S = x1 x4+ x1 x5+ x1 x6+ x2 x4+ x2 x5+ x2 x6+ x3 x4+ x3 x5+ x3 x6，
∴S =(x1+ x2+ x3)(x4+ x5+ x6)，
∵集合{x1, x2, x3, x4, x5, x6}= {1,2,3,4,5,6}，
∴x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6=1+2+3+ 4+5+6=21，
设t = x1+ x2+ x3，则6≤t ≤15，t ∈N
*，S =t (21-t )=-(t - 21
2 )
2
+ 441
4 ，
当t =10或t =11时，S =t (21-t )取最大值，最大值为110，
此时{x1, x2, x3}= {1,4,5}，t =10，∴可取最大值110.
故答案为：110.
【新情景】8．(24-25 高三·山东平度·模拟)斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：
1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,⋯,在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定
a0=1,a1=1,an=an-1+an-2(n≥2,n∈N
*),已知A ={a1,a2,⋯,a2025},B⊆A且B≠Ø，则B中所有元素之
和为奇数的概率为__________.
【答案】2
2024
2
2025-1
【分析】记A 中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C 的子集为E，集合D 中含有
奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成，然后可解.
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合A ={a1,a2,⋯,a2025}中的元素有675 个偶数，1350 个奇数，记A
中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C 的子集为E，集合D 中含有奇数个元素的
子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B，可看成E∪F，显然集合E 共有个2
675，集合F 共有
C1350
1
+C1350
3
+C1350
5
+⋯+C1350
1349=2
1349个，
所以所有元素之和为奇数的集合B 共有2
675×2
1349=2
2024个，
又集合A 的非空子集共有2
2025-1个，
所以B 中所有元素之和为奇数的概率为2
2024
2
2025-1
.
故答案为：2
2024
2
2025-1
.
真题·实战演练
高频考点：集合的基本运算
一、单选题
1．（2025·天津·高考）已知集合U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3},B = {2,3,5}，则∁U ( A ∪B)=（ ）
A．{1,2,3,4}
B．{2,3,4}
C．{2,4}
D．{4}
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由A = {1,3},B = {2,3,5}，则A ∪B = {1,2,3,5}，
集合U = {1,2,3,4,5}，
故∁U ( A ∪B)= {4}
故选：D.
2．（2024·全国甲卷·高考）若集合A = {1,2,3,4,5,9}，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3}
B．{3,4,9}
C．{1,2,3,4}
D．{2,3,4,5}
【答案】C
【分析】根据集合B的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合B中的元素x，满足x +1=1,2,3,4,5,9，
则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B ={0,1,2,3,4,8}，
于是A ∩B ={1,2,3,4}.
故选：C
3．（2023·全国乙卷·高考）设全集U = {0,1,2,4,6,8}，集合M = {0,4,6}, N = {0,1,6}，则M ∪∁U N =
（ ）
A．{0,2,4,6,8}
B．{0,1,4,6,8}
C．{1,2,4,6,8}
D．U
【答案】A
【分析】由题意可得∁U N的值，然后计算M ∪∁U N即可.
【详解】由题意可得∁U N = {2,4,8}，则M ∪∁U N = {0,2,4,6,8}.
故选：A.
4．（2023·全国甲卷·高考）设全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,4}, N = {2,5}，则N ∪∁U M =（ ）
A．{2,3,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5}
D．{2,3,4,5}
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,4 }，所以∁U M = {2,3,5}，
又N ={2,5}，所以N ∪∁U M ={2,3,5}，
故选：A.
5．（2023·全国甲卷·高考）设全集U =Z,集合M ={x∣x =3k +1,k ∈Z }, N ={x∣x =3k +2,k ∈Z }，
∁U( M ∪N )=（ ）
A．{x| x =3k ,k ∈Z }
B．{x∣x =3k -1,k ∈Z }
C．{x∣x =3k -2,k ∈Z }
D．∅
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集Z = {x| x =3k ,k ∈Z }∪{x| x =3k +1,k ∈Z }∪{x| x =3k +2,k ∈Z }，U = Z，
所以，∁U (M ∪N )= {x| x =3k ,k ∈Z }．
故选：A．
6．（2023·全国乙卷·高考）已知等差数列{an}的公差为2π
3
，集合S ={cosan|n∈N
*}，若S = {a,b}，则
ab=（ ）
A．－1
B．- 1
2
C．0
D．1
2
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列{an}中，an=a1+(n-1)⋅2π
3 = 2π
3 n+(a1- 2π
3 )，
显然函数y =cos[ 2π
3 n+(a1- 2π
3 )]的周期为3，而n∈N
*，即cosan最多3 个不同取值，又
{cosan|n∈N
*}={a,b}，
则在cosa1,cosa2,cosa3中，cosa1=cosa2≠cosa3或cosa1≠cosa2=cosa3或cosa1=cosa3≠cosa2
于是有cosθ =cos(θ+ 2π
3 )或cosθ =cos(θ+4π
3 )，
即有θ+(θ+ 2π
3 )=2k π,k ∈Z，解得θ =k π-π
3 ,k ∈Z；
或者θ+(θ+4π
3 )=2k π,k ∈Z，解得θ =k π-2π
3 ,k ∈Z；
所以k ∈Z，
ab=cos(k π-π
3 )cos[(k π-π
3 )+ 4π
3
]=-cos(k π-π
3 )cosk π=-cos
2k πcosπ
3 =- 1
2或
ab=cos(k π-2π
3 )cosk π=- 1
2.
故选：B
7．（2023·全国乙卷·高考）设集合U = R，集合M ={x|x<1}，N ={x|-1< x<2}，则{x|x ≥2}=（ ）
A．∁U (M ∪N )
B．N ∪∁U M
C．∁U (M ∩N )
D．M ∪∁U N
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x| x ≥2}即可.
【详解】由题意可得M ∪N = {x| x<2}，则∁U (M ∪N )= {x| x ≥2}，选项A 正确；
∁U M = {x| x ≥1}，则N ∪∁U M = {x| x>-1}，选项B 错误；
M ∩N = {x|-1< x<1}，则∁U (M ∩N )=¿或x ≥1}，选项C 错误；
∁U N =¿或x ≥2}，则M ∪∁U N = ¿或x ≥2}，选项D 错误；
故选：A.
8．（2023·新课标全国Ⅰ卷·高考）已知集合M = {-2,-1,0,1,2}，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．{-2,-1,0,1}
B．{0,1,2}
C．{-2}
D．{2}
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为N =¿，而M = {-2,-1,0,1,2}，
所以M ∩N = {-2}．
故选：C．
方法二：因为M = {-2,-1,0,1,2}，将-2,-1,0,1,2代入不等式x
2- x -6≥0，只有-2使不等式成立，所以
M ∩N = {-2}．
故选：C．
9．（2023·新课标全国Ⅱ卷·高考）设集合A = {0,-a}，B = {1,a-2,2a-2}，若A ⊆B，则a=（ ）．
A．2
B．1
C．2
3
D．-1
【答案】B
【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为A ⊆B，则有：
若a-2=0，解得a=2，此时A = {0,-2}，B = {1,0,2}，不符合题意；
若2a-2=0，解得a=1，此时A = {0,-1}，B = {1,-1,0}，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
