文档文本内容
4.2 简单的三角恒等变换
目录
01思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、两角和与差公式................................................................................................................3
知识点二、二倍角公式........................................................................................................................3
知识点三、降幂公式............................................................................................................................3
知识点四、升幂公式............................................................................................................................3
知识点五、辅助角公式........................................................................................................................3
知识点六、和差化积公式....................................................................................................................4
方法总结1：化简小技巧.....................................................................................................................4
方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余.................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................6
题型一：和差角三角公式..................................................................................................................11
题型二：和差公式逆向运用..............................................................................................................13
题型三：辅助角公式多场景应用......................................................................................................15
题型四：由值求值问题......................................................................................................................18
题型五：由角求值问题......................................................................................................................20
题型六：由值求角问题......................................................................................................................22
题型七：正切恒等式综合运用..........................................................................................................25
题型八：三角式化简..........................................................................................................................28
题型九：三角恒等变换综合题型......................................................................................................28
05 课后拓展精练................................................................................................................................39知识点一、两角和与差公式
① ；③ ；
② ；④ ；
⑤ ；变形公式： ；
⑥ ；变形公式： ．
知识点二、二倍角公式
① ；
② ；
③
知识点三、降幂公式
① ；
② ；
③ ．
知识点四、升幂公式
① ，
② ；
③ ，
④ ．
知识点五、辅助角公式
．①其中辅助角 是由方程 ， ， ．决定
②正弦在前，余弦在后（确保系数 ， 不会弄反）
③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限.
④保证 ， ．
知识点六、和差化积公式
1、积化和公式
①
②
③
2、和化积公式
①
②
③
④
方法总结1：化简小技巧
1的代换： ；
①
② ．
方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余
①两角互组：②两角互补：
③两角互余：1．（2026·全国二卷·高考真题）已知 为第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得：
因为 是第二象限角，所以 ， ，
化简得： ，即
由于 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
所以
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为 ，则 ，则 ，
则 .
故选：D.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
故 即 ，
从而 ，故 ，
故选：A.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.8．（2026·上海·高考真题）已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】 ．
9．（2025·上海·高考真题）已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】由 可得 ，
所以 ，
故答案为：
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 _______.
【答案】
【解析】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
则 ， ，则 ，
则 ，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则故答案为： .
11．（2023·上海·高考真题）已知 ，则 =__________.
【答案】 /
【解析】已知 ，则 .
故答案为：
12．（2022·上海·高考真题）已知 ，则 _________.
【答案】
【解析】 ，
故答案为：
13．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 __________， _________．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .题型一：和差角三角公式
【典例1-1】已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 .
【典例1-2】已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知 ，
则 ，
则
【变式1-1】（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系 ．设时针长为
，若某时刻时针指向 点到 点之间，且针尖所在点的纵坐标为 ，则在经过 小时后，时针针尖所在点
的横坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为 点，且在单位圆上，
如图所示， 点的纵坐标为 ，设 轴，垂足为 ，单位圆交 轴正半轴于点 ，
设经过 小时后，时针针尖所在点的坐标为 ，则 ，
在直角三角形 中， ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以点 在第一象限内，设 ，则点 坐标为 ，
设点 ，由 ，解得 或 舍去，
设 ，则 ，
所以 ．
【变式1-2】若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ，得 ，
所以 .
【变式1-3】（2026·山东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】A【解析】由 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 .
【变式1-4】（2026·高三·浙江·开学考试）若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ．
题型二：和差公式逆向运用
【典例2-1】 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 .
【典例2-2】已知 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
由 ，
则 ，
故 ，
显然 ，即 ．【变式2-1】已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以
，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ．
【变式2-2】若 且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，由两角和的正切公式可得 ，
整理可得 ，
所以
.
【变式2-3】 （ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
故.
【变式2-4】（2026·高三·河南南阳·期中）tan （ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由 ，
，
所以，原式 ．
故选：B．
题型三：辅助角公式多场景应用
【典例3-1】已知函数 ，其中 是常数.
①若 ，则 的最大值是___________；
②若 且 的最大值是 ，则 的一个取值为___________.
【答案】 （答案不唯一)
【解析】①当 时， ，
令 ，因为 ，所以 ，函数转化为二次函数 ，
该二次函数开口向下，对称轴为 ，
故当 时取得最大值： .
②当 时，
，
由题知 的最大值为 ，所以
化简： ，
解得 ，即 ，取 得 为其中一个符合要求的取值.
【典例3-2】函数 ， 的值域为_________．【答案】
【解析】令 ，由辅助角公式得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
代入 的表达式得 ，
所以原函数可化为 ， ，
因为 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
所以 时， ；
时， ．
综上所述，函数的值域为 ．
【变式3-1】已知 ，则 的值为______．
【答案】 或 ，
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 或 ， ，
解得 或 ， ．
【变式3-2】（2026·北京大兴·三模）函数 的最大值是_____________， 取最大值
时， ____________．
【答案】 /
【解析】由 ， ， ，又 ，所以函数 的最大值是 ，
此时 ，则 ， ，
即 ， ，
所以 取最大值时， ．
【变式3-3】函数 的最大值为_____.
【答案】1
【解析】
，
设 ，即 ，
因此当 ，即 时, .
【变式3-4】（2026·河北雄安·三模）函数 的最大值为________．
【答案】 /
【解析】由 ，则 ，即 ，
即 ，则 ，即 ，
解得 ，故函数 的最大值为 .
【变式3-5】已知函数 ，若 ，则 的值为___________．
【答案】3
【解析】 ，其中 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
题型四：由值求值问题
【典例4-1】（2026·海南三亚·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，整理得 .
所以 ，
.
所以
.
【典例4-2】（2026·河南周口·模拟预测）已知 ， 均为锐角，且满足 ，
，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】已知 ，由辅助角公式得：
，
其中 ， ，
已知等式左边等于 ，因此 ，得 ，
即 ，因此 ，
所以 ，又 ，
所以 .
【变式4-1】已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
又 ，所以 ．
【变式4-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
则 .
【变式4-3】（2026·甘肃·模拟预测）已知 ， ， ， 都是锐角，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由 ， ，
得 ， ，
两式相加得， ，
则 ，即 ，则 ，
因为 ， 都是锐角，所以 ，
则 ，即 .
【变式4-4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ．
题型五：由角求值问题
【典例5-1】（2026·高三·江苏淮安·期中） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
.
【典例5-2】 （ ）
A． B． C． D．2【答案】A
【解析】
.
故选：A.
【变式5-1】 =（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】B
【解析】由
故选：B
【变式5-2】 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A
【变式5-3】（2026·高三·甘肃·阶段检测）计算 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D【解析】因为
.
故选：D.
【变式5-4】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）求值： （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
，
故选：D.
题型六：由值求角问题
【典例6-1】已知 ，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
化简得 ，所以 .
又由于 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 .
【典例6-2】在 中，已知 ， 是关于 的方程 的两个实根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， 是关于 的方程 的两个实根，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故选：D
【变式6-1】已知 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
则 ，而 ，解得 ，
因此 ，由 ， ，
得 或 ，则 ，
所以 .
故选：C
【变式6-2】已知 均为钝角， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
即 ，得 ，由 ，且 均为钝角，所以 ，
，
，
由 ，所以 ，所以 .
故选：C
【变式6-3】已知角 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】角 ，由 得 ，
则 ，又因为 在 上单调递增，则 ，
而 ，
同理有 ，
所以 ，
且 ，得 .
故选：A.
【变式6-4】已知 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，则 ，
可知 ， ，则 ，
又因为 ，
可得 ，
所以 .
故选：D.
【变式6-5】（2026·高三·福建莆田·阶段检测）设 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
题型七：正切恒等式综合运用
【典例7-1】 _____.
【答案】
【解析】 ，
，，
所以 ，
所以
.
【典例7-2】求值： ______.
【答案】
【解析】由 ，
得 ，
所以 ．
【变式7-1】（2026·湖南长沙·模拟预测） ___________．
【答案】 /
【解析】 ，
又 ，
所以 ，
所以 ．
【变式7-2】使得 成立的 的一个值为______________ ．
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】∵ ，
∴
，
∴ .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）.
【变式7-3】已知 满足 ，则 ______．
【答案】【解析】由 ，
可得： ，
即 ，
所以 ，
故答案为：
【变式7-4】在△ABC中，内角 所对的边分别为 且满足
，若 ，则 的取值范围是____.
【答案】
【解析】根据题意， ，
，
且 ，得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
又 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【变式7-5】设a，b是非零实数，且满足 ，则 ______.
【答案】 /
【解析】由题意可得， ，令 ，则 ，
即 ，
所以 ，即
故 .
故答案为：
【变式7-6】计算： ________．
【答案】
【解析】因为 ，
整理得 ，
则 ，
所以
，
即 .
故答案为：
【变式7-7】在 ABC中，若 ，则 _____________．
△
【答案】
【解析】因为 ，
所以设 ，
则
解得 ，即 ，
由题意可知 ，所以 ，
则 .
故答案为：题型八：三角式化简
【典例8-1】在 中， ．
(1)当 时，求 的值；
(2)求C；
(3)若 ， ，求 的外接圆半径．
附： ； ．
【解析】（1）当 时，
由已知得 ，
可得 ．
（2）由参考公式及已知条件，可得 ①，
因为 ，所以 ，
代入①得 ，
整理 ，
利用 ，
得 ，
所以 ，
若 ，则 ，所以 ，即 ，
若 ，则 或 ，构不成三角形，舍去，
故 ．
（3）由 ，
可得 ，又由 ，得 ，
可得 ， ，
于是 ，
记 的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ．
【典例8-2】已知向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求函数 的最小值.
【解析】（1）若 ，则有 ，
由于 ， ，所以 ，所以 .
（2）
，
因为 ，所以 ，
根据正弦函数的性质，当 即 时， 取得最小值 ，
此时 .
【变式8-1】设 为实数，已知函数 的最小值为 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ， ， 均为锐角，求 ．
【解析】（1），
因为 ，所以 的最小值为 ，
故函数 的最小值为 ．
又因为 的最小值为 ，
所以
解得 ．
（2）因为 ，
所以 ，从而 ．
又因为α为锐角，
所以 ，
故 ，
．
又α，β均为锐角，所以 ，
从而 ．
【变式8-2】 ，其最小正周期为 ．
(1)求 的值及函数 的单调减区间；
(2)已知 ，求 ．
【解析】（1） 化简函数：．
由最小正周期 ，得 ， ．
由 ，解得 ， ，
故单调减区间为 ．
（2） ，即 ．
由 ，得 ，又 ，故 ，
则 ．
所以 ．
【变式8-3】已知函数 ．
(1)求 的值及 的最小正周期；
(2)求 的单调递减区间．
【解析】（1）由题意，
所以 ．
该函数的最小正周期为
（2）由(1)知 ．
由 ，得 ．
所以 的单调递减区间为 ．【变式8-4】已知函数 .
(1)求 的最小正周期：
(2)求 在区间 上的最小值.
【解析】（1）
，
所以 的最小正周期 .
（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时，
取得最小值为 .
【变式8-5】已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，且 ，求 的值．
【解析】（1） ，
因为最小正周期为 ，所以 ，解得 ，则 .
（2）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
则【变式8-6】（2026·宁夏·模拟预测）已知函数 的图象的相邻两
个对称中心之间的距离为 ．
(1)求 的值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】（1）
根据题意 ，解得 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
．
（2）据题意 ， ， ，
当 ，即 时， ，所以 的最大值为 ．
当 ，即 时， ，所以 的最小值为 .
题型九：三角恒等变换综合题型
【典例9-1】（2026·上海·模拟预测）已知 .
(1)求函数 的最小正周期和最大值；
(2)在 中，若 ， ，求 .
【解析】（1） ，故函数 的最小正周期为 ，最大值为 .
（2）由 ，解得 .
又 ，从而 ，
因为 ，所以 为锐角， .
.
【典例9-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 ，若 ，
在 上有最大值，且无最小值.
(1)求 的值及 的取值范围；
(2)若 ，求函数 图象的对称中心.
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
由于 ，则 ，即 .
由 可得 ，
又因 在 上有最大值，且无最小值，
根据正弦函数的图象可知 ，
解得 ，故 的取值范围为 .
（2）由 结合（1）可知 ，则 ，
所以
.令 ， ，解得 ， ，
则函数 图象的对称中心为 ， .
【变式9-1】已知角 且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值.
【解析】（1） ，
又
.
（2）∵ ，
∴ ，则
故
∵ ， ，
∴ ，故
∴
.【变式9-2】已知 .若锐角 满足 ，求 的
值.
【解析】由题意得
.
，
依题意， ，
且 ， ，
所以 不是锐角，故 ，
所以 ，
所以
.
【变式9-3】（2026·高三·福建莆田·期中）已知函数
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.【解析】（1）由题意可知： ，
所以 .
（2）因为 ，即 ，
且 ，则 ，可得 ，
所以
.
【变式9-4】（2026·高三·山东临沂·阶段检测）（1）化简： ；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ， ，求 的值．
【解析】（1）
．
（2）由 ，得 ，
解得 ，则 ．
（3）因为 ①，所以 ，
即 ，所以 .
故 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ,所以 ②，
由①②解得 ，
所以 ， ，
故 ．1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】
.
， .
2．（2026·广西·模拟预测）角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，则 （ ）．
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【解析】因为角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，可得 ，
则 .
3．（2026·山东聊城·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
因为 ，则 ，且 ，
可得 ，则 ，解得 .
且 ，则 ，所以 .
4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 .
5．已知 为第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得：
因为 是第二象限角，所以 ， ，
化简得： ，即
由于 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
所以
6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.7．（2026·云南玉溪·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 .
又 ， ， ，所以 与 同正或同负.
当 与 同负时， 为第二象限角， ，与 矛盾，舍去.
当 与 同正时， 为第一象限角，满足条件，所以 ，则 .
因为 ，
，
所以 .
由 ， ，得 .
若 ，则 （舍去，因为 ）.
若 ，则 .
因为 ，所以 .
9．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）下列各式中，值为 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【解析】A. ，所以
，A正确.
B. ，B错误.
C. ，C正确.
D. .
因为 ，
所以原式 ，D错误.
10．（多选题）（2026·辽宁·模拟预测）下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，由三角函数的诱导公式得 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，显然
不恒成立，故D错误.
11．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【解析】选项A：设 ,则 ,代入 得 ,整理得 ,解得 ,
有两个可能取值,故A错误.
选项B： ,故B正确.
选项C： ,代入得 ,故C正确.
选项D： ,代入得 ,故D错误.
12．已知 ，若 ， ，则 _____．
【答案】
【解析】 ， ，
， ，
， ，
，
又 ，
.
13．（2026·河北秦皇岛·一模）已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】已知 ，展开得 ，即 ，
则 ，由于 ，所以 ，所以 ，即 ，由二倍角的正切公式，可得 .
14． ，则 _________．
【答案】
【解析】
.
15．（2026·山西忻州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ， ，
.
(1)求a，c；
(2)求 ；
(3)求 .
【解析】（1）由 ，设 .由 ，可得
，得 ， . 所以 .
（2）由 ，得 .
由正弦定理 ，得 .
（3） ， ，.
再由 ， .
.
16．已知 ．
(1)求最小正周期；
(2)若 ，求 的最大值和最小值；
(3)若 ， ，求 ．
【解析】（1） ；
（2）若 ，则 ，
由正弦函数性质可知，当 ，即 时，函数 有最小值，即 ，
当 ，即 时，函数 有最大值，即 .
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）若 ， ，所以 ，
则 ， ，
则 .
17．已知 ， ，求 的值．
【解析】由题意， ①
②
①+②得所以 ．
