第01 讲 集合及其运算
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................1
题型01 元素与集合的关系.................................................................................................1
题型02 元素特征.................................................................................................................2
题型03 集合间关系.............................................................................................................2
题型04 （真）子集的个数.................................................................................................2
题型05 集合基本运算
....................................................................................................3
题型06 Venn 图的应用........................................................................................................3
题型07 运算确定集合或参数
........................................................................................4
题型08 容斥原理的应用
................................................................................................4
题型09 新定义问题
........................................................................................................5
重难·创新演练.......................................................................................................................................6
真题·实战演练.......................................................................................................................................7
模拟·基础演练
考查重点：集合间的基本关系
题型01 元素与集合的关系
1．已知集合A =¿，则集合B =¿的元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．已知集合A = {2,4,5,7}，集合B = {x| x +2∈A }，则A ∩B =（ ）
A．{2,4}
B．{2,4,7}
C．{2,5}
D．{2,5,7}
3．已知集合A ={1,m}，B ={1,3,m
2}，若A ⊆B，则实数m的值为（ ）
A．0或-1
B．0或1
C．0或3
D．1或3
题型02 元素特征
4．(25-26 高三下·上海大同中学·模拟)若A = {1,a}，B = {2,3,4}，且A ∪B = {1,2,3,4}，则实数a取值的集
合是____________.
5．(25-26 高三·上海·模拟)已知集合A ={1,2,k
2}，B = {0,4}，若A ∩B = {4}，则实数k =__________．
6．已知集合A ={x|-3≤x ≤2}，B ={x|x ≥a}且A ⊆B，则实数a 的取值范围是_________.
题型03 集合间关系
7．若{-1,0,1}⊆A ⊆{0,-1,1}，则A的真子集个数为（ ）
A．3
B．8
C．7
D．6
8．(25-26 高三下·湖南长沙麓山国际实验学校·二模)已知集合A =¿，B =¿，则（ ）
A．A ∩B =∅
B．B⊆A
C．A ⊆B
D．A ∪B = R
9．已知集合A ={x∈Z | 1
2 <2
x<8} ，B⫋A则符合条件的集合B 的个数为（ ）
A．2
B．6
C．7
D．8
题型04 （真）子集的个数
10．已知集合A = {x∈Z |-1< x ≤2}，则集合A的子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
11．已知直线l1: x - y =0，l2: x + y -2=0，l3:5 x -ky -15=0能构成三角形，设满足条件的k 值构成集合
A，则∁R A的子集个数为（ ）
A．8
B．16
C．2
D．1
12．已知全集U =¿，集合A = {1,2,5}，则∁U A的真子集个数为（ ）
A．3
B．7
C．15
D．31
题型05 集合基本运算
13．已知集合A ={x|ln x>0}，B = {0,1,2,3}，则A ∩B =（ ）
A．{3}
B．{2,3}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2,3}
14．已知A ={z||z +1|=1, z∈C}，B ={z||z -2-i|=m, z∈C}.若集合A ∩B中有且仅有一个元素，则m
的所有取值之积为（ ）
A．4
B．❑√5-1
C．❑√10-1
D．9
15．(25-26·贵州部分高中学校·期中)已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[0,1]
B．[-1,1]
C．[-1,0]
D．(0,1]
16．(25-26 高三·北京房山区·)已知全集U = {x∈Z | x<3}，集合A = {x∈Z | x<0}，则∁U A =（ ）
A．{x|0< x<3}
B．{1,2}
C．{x|0≤x<3}
D．{0,1,2}
17．已知U = {1,2,3,4,5,6,7}，A = {2,4,5}，B = {1,3,5,7}，则A ∩(∁U B)=（ ）
A．{2}
B．{2,4}
C．{2,4,6}
D．{2,4,5,6}
18．已知集合A ={x ∈N | x
2-2 x -8≤0}，B ={x| y =ln(π- x)}，则A ∩B =（ ）
A．{x ¿
B．{1,2}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2,3}
题型06 Venn 图的应用
19．如图，已知全集U及其两个非空真子集A ,B，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．A ∩B
B．A ∪B
C．A ∩(∁U B)
D．B∩(∁U A)
20．已知全集U =R，集合A ={x∣x<4 },B ={x∣3< x<5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．(-∞,3]∪[ 4 ,+ ∞)
B．(-∞,4 ]∪[5,+∞)
C．[5,+∞) D．(5,+∞)
21．(25-26 高三上·辽宁多校调研·调研)已知集合A、B、C是全集U的三个真子集，A、B、C的关系如
Venn 图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A ∩B∩C
B．A ∩C + B∩C
C．( A ∩C + B∩C)- A ∩B∩C
D．A ∩(∁U C ∪B)
题型07 运算确定集合或参数
22．(高三上·山西部分学校·模拟)设集合A ={x∣x<2或x ≥4},B = {x∣a≤x ≤a+1}，若(∁R A)∩B =∅，
则a的取值范围是（ ）
A．a≤1或a>4
B．a<1或a≥4
C．a<1
D．a>4
23．(高三下·湖北十堰丹江口第一中学·模拟)已知集合M =¿ N =¿，若(∁R M )∩N =∅，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．¿
B．¿
C．¿或a≥5}
D．¿或a>5}
24．已知全集U = {1,3,5,7,9}，集合A = {3,7,a-1}，若∁U A = {1,5}，则a=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
题型08 容斥原理的应用
25．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加100 米、400 米、1500 米三个项目，其中有
8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米比赛”，有5 人参加“1500 米比赛”，“100 米和400 米”
都参加的有4 人，“100 米和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500 米”都参加的有3 人，则下列说
法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有3 人
26．(25-26 高三·山东淄博·)已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投
掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3 次，则3 次所得数
字之积能被10 整除的概率为__________.
27．card( A)表示有限集合A 中元素的个数，已知card( A ∪B)=25，card( A)=22，card(B)=20，则
card( A ∩B)=______．
题型09 新定义问题
28．（多选）已知A1，A2，…，An，…均为有限实数集，记An中的最大元素为xn，∀n∈N
*，
An+1= An∪ ¿，若A1= {-2,3}，则（ ）
A．A2= {-2,1,3,6}
B．x7=384
C．A8中所有元素的平均数为191
D．A6中所有元素的和为3008
29．设点集P ={( x , y)∣x , y ∈Z ,1≤x ≤4,1≤y ≤4 }，若P中的点Ai(xi, yi), A j(x j, y j)满足
|xi- x j|+|yi- y j|=2,i, j∈N
*，则称Ai
与A j
互为邻点. 点集P中与点(2,2)互为邻点的点的个数为
__________. 在P中定义邻点列S: A1, A2,⋯, An
，其中Ai(xi, yi)与Ai+1(xi+1, yi+1)互为邻点，且
xi yi+1≤yi xi+1，若A1(1,4)，则n的最大值为__________.
30．对于集合S，定义S + S = {a+b|a,b∈S}，若S∩(S+ S)=∅ ，则称S为理想集．例如，{1,2}不是理
想集，而{1,3}是理想集．
(1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由；
①{1,4}；②{1,4,10,13}；③{4,5,6,7,8}．
(2)若存在n个非空理想集S1，S2，…，Sn，且Si∩S j=∅(1≤i< j≤n)，使得S1∪S2∪⋯∪Sn=
{1,2,⋯,k }(k ≥n)，则称k是n可分的，记an= max{k |k 是n可分的}．
（i）证明：a3≥13；
（ii）证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 11
8 ．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．(25-26 高三·浙江杭州·二模)设f (x)=(a+b)cos
2 x +(a-b)sin
2 x，若¿，则（ ）
A．a=1且b=1
B．a=2且b=0
C．a=0且b=2
D．a=1且b=-1
2．对于数集A，B，定义A + B =¿，A ÷ B =¿，若集合A = {1,2}，则集合( A + A)÷ A中所有元素之和为（
）
A．5
B．15
2
C．21
2
D．23
2
二、多选题
【新思维】3．将一些向量构成的集合称为线性空间，设f 是线性空间V 到自身的一个变换，将V 中所有能
被f 变换为零向量的向量组成的集合称为变换f 在V 上的核，记作ker
V f ．已知线性空间
F ={(x,sinπ x)|0≤x ≤20}，对任意⃗a=(u,v)∈F，ker
F φ中的元素个数不少于4，则（ ）
A．φ(⃗a)=(cosπu
2 +1,
v
u-2)
B．φ(⃗a)=(cosπu
5 +1,
v
u-5)
C．φ(⃗a)=(sinπu
5 , v
u)
D．φ(⃗a)=(sinπu
7
,
v
u-2)
三、填空题
4．已知集合A = {1,2,⋯,10}共有k个三元子集.任意一个三元子集T i={x , y , z∣x< y < z },i∈{1,2,⋯k }，
定义m(T i)= y.则∑
i=1
k
❑m(T i)=__________.
5．若∃m∈Z，使得集合A =(a
m,a
m+3)中包含且仅包含两个整数m+1和m+2，则正实数a的取值范围是
___________．
6．集合U =¿，集合M ⊆U，对任意x , y ∈M，有x + y ∉M，则集合M 中元素个数的最大值是_____.
【新考法】7．(25-26 高三上·广东深圳建文外国语学校两学部·月考)已知集合
{x1, x2, x3, x4, x5, x6}= {1,2,3,4,5,6}，将xi
与x j
（其中i∈{1,2,3}，j∈{4,5,6}）的乘积xi x j
放入如图的
3×3方格中，则方格中全部数之和的最大值为______.
x1 x4
x1 x5
x1 x6
x2 x4
x2 x5
x2 x6
x3 x4
x3 x5
x3 x6
【新情景】8．(24-25 高三·山东平度·模拟)斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：
1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,⋯,在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定
a0=1,a1=1,an=an-1+an-2(n≥2,n∈N
*),已知A ={a1,a2,⋯,a2025},B⊆A且B≠Ø，则B中所有元素之
和为奇数的概率为__________.
真题·实战演练
高频考点：集合的基本运算
一、单选题
1．（2025·天津·高考）已知集合U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3},B = {2,3,5}，则∁U ( A ∪B)=（ ）
A．{1,2,3,4}
B．{2,3,4}
C．{2,4}
D．{4}
2．（2024·全国甲卷·高考）若集合A = {1,2,3,4,5,9}，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3}
B．{3,4,9}
C．{1,2,3,4}
D．{2,3,4,5}
3．（2023·全国乙卷·高考）设全集U = {0,1,2,4,6,8}，集合M = {0,4,6}, N = {0,1,6}，则M ∪∁U N =
（ ）
A．{0,2,4,6,8}
B．{0,1,4,6,8}
C．{1,2,4,6,8}
D．U
4．（2023·全国甲卷·高考）设全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,4}, N = {2,5}，则N ∪∁U M =（ ）
A．{2,3,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5}
D．{2,3,4,5}
5．（2023·全国甲卷·高考）设全集U =Z,集合M ={x∣x =3k +1,k ∈Z }, N ={x∣x =3k +2,k ∈Z }，
∁U( M ∪N )=（ ）
A．{x| x =3k ,k ∈Z }
B．{x∣x =3k -1,k ∈Z }
C．{x∣x =3k -2,k ∈Z }
D．∅
6．（2023·全国乙卷·高考）已知等差数列{an}的公差为2π
3
，集合S ={cosan|n∈N
*}，若S = {a,b}，则
ab=（ ）
A．－1
B．- 1
2
C．0
D．1
2
7．（2023·全国乙卷·高考）设集合U = R，集合M ={x|x<1}，N ={x|-1< x<2}，则{x|x ≥2}=（ ）
A．∁U (M ∪N )
B．N ∪∁U M
C．∁U (M ∩N )
D．M ∪∁U N
8．（2023·新课标全国Ⅰ卷·高考）已知集合M = {-2,-1,0,1,2}，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．{-2,-1,0,1}
B．{0,1,2}
C．{-2}
D．{2}
9．（2023·新课标全国Ⅱ卷·高考）设集合A = {0,-a}，B = {1,a-2,2a-2}，若A ⊆B，则a=（ ）
A．2
B．1
C．2
3
D．-1
