第01 讲 集合及其运算
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知识解构
知识点1 集合核心概念 知识点2 集合间关系
知识点3 集合基本运算 知识点4 核心性质与思想
题型破译
题型
1 元素与集合的关系
【方法技巧】判断元素与集合关系
题型
2 元素特征
【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点
题型
3
集合间关系
【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法
【易错分析】易忽略集合为空集
题型
4 （真）子集的个数
题型
5 集合基本运算
【方法技巧】明确各个运算的几何意义
【易错分析】忘记全集范围
题型
6
Venn
图的应用
【方法技巧】德・摩根定律
【易错分析】看错阴影区域
题型
7 运算确定集合或参数
【方法技巧】求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路
【易错分析】端点没等号
题型
8 容斥原理的应用
【方法技巧】正难则反的结合
题型
9 新定义问题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
集合的概念与表示
——
——
——
集合的基本关系
——
——
全国甲卷（文） T2（5
分）
集合的基本运算
全国一卷 T3（ 5 分）
全国二卷 T2（ 5 分）
全国一卷T2（5 分）
全国二卷T3（5 分）
全国Ⅰ卷T1（5 分）
全国甲卷（理） T2（5
分）
全国甲卷（文） T2（5
分）
考情分析
高考中集合为必考基础题，题型以选择题第 1 题为主，分值固定5 分，难度
低，属于送分题。
考查方向：
1.
集合的交、并、补基本运算
2.
元素与集合、集合间的包含关系
3.
含参数集合的运算与范围求解
常结合不等式、函数定义域、一元二次方程考查，侧重数学抽象、逻辑推理。
复习目标
1、理解集合与元素含义，掌握 “∈、∉” 关系，熟练用三种语言表示集合。
2、掌握子集、真子集、相等关系，牢记空集性质，会求子集个数。
3、熟练进行交、并、补运算，会用数轴、Venn 图解题。
4、能根据集合运算结果求参数，具备分类讨论、数形结合意识。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 集合核心概念
1.
关系
属于：
；不属于：
；
2.
元素三特性
o
确定性：元素是否在集合中可判定
o
互异性：集合中元素互不相同
o
无序性：元素顺序不影响集合
3.
常用数集
自然数集
、正整数集
或
、整数集
、有理数集
、实数集
4.
表示方法
o
列举法、描述法、Venn 图法
自主检测(安徽合肥市第一中学2026 届高三最后一卷)已知集合A =¿，若2∉A，则a的取值范围是（ ）
A．(-2,2]
B．[-2,2]
C．(-2,2)
D．[-2,2)
【答案】D
【详解】若2∈A，则2-a
2+a ≤0⇔¿，解得a<-2或a≥2，
所以若2∉A，则a的取值范围为[-2,2).
知识点2 集合间关系
关系
符号
核心含义
子集
A 中所有元素都属
于 B
真子集
A⊆B 且 B 中至少
一个元素∉A
相等
A⊆B 且 B⊆A
空集
不含任何元素，是
任何集合的子集
必记结论
（1）含n 个元素的集合，子集数
，真子集数
。
（2）子集关系的传递性，即
.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
自主检测(安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026 届年高三下学期5 月学情
自测)已知集合A ={x|| x +1|≥1}，B ={x∣-2≤x<0}，则（ ）
A．A ⊆B
B．B⊆A
C．A ∩B =∅
D．A ∪B = R
【答案】D
【详解】由| x +1|≥1，得x +1≥1或x +1≤-1，解得x ≥0或x ≤-2，所以A =(-∞,-2]∪[0,+∞)，
所以A ⊆B，A 错；B⊆A，B 错；A ∩B ={-2}，C 错；A ∪B = R，D 对.
知识点3 集合基本运算
运算
文字语言
符号表示
Venn 图
交集
由属于集合A 且属于集合B 的所有元
素组成的集合
并集
由所有属于集合A 或属于集合B 的元
素组成的集合
补集
由全集U 中不属于集合A 的所有元素
组成的集合
自主检测(合肥市第五中学等校2026 届高三下学期5 月教学质量检测)已知集合
A ={x| x
2-8 x +15≤0, x∈R}，B ={x|2
x< x
2, x>0}，则A ∩B =（ ）
A．(2,5]
B．[3,4]
C．(2,5)
D．[3,4)
【答案】D
【详解】由x
2-8 x +15≤0得( x -3)( x -5)≤0，解得3≤x ≤5，故A =[3,5].
对于集合B ={x∣2
x< x
2, x>0}，根据指数函数和二次函数图象解不等式得2< x<4，
故B ={x∣2< x<4 }=(2,4).
所以A ∩B ={x∣3≤x<4 }=[3,4).
知识点4 核心性质与思想
1.
A ∩B = A ⇔A ⊆B
2.
A ∪B = A ⇔B⊆A
3.
4.
5.
自主检测若全集U ={x∈N |-1≤x<6}，集合A = {1,3,4,5}，B = {-1,0,1,2,4}，则(∁U A)∩B =
（ ）
A．{2}
B．{0,2}
C．{-1,0}
D．{-1,0,2}
【答案】B
【分析】根据全集与补集、交集的概念计算即可.
【详解】全集U ={x∈N |-1≤x<6}，集合A = {1,3,4,5}，B = {-1,0,1,2,4}，
即全集U = {0,1,2,3,4,5}，则∁U A = {0,2}，
所以(∁U A)∩B = {0,2}．
题●型●破●译
题型1 元素与集合的关系
例1-1(2026 年安徽省示范高中皖北协作区第28 届联考数学试题)已知集合A ={x ∣x
2- x -6≤0}，若a∈A，
且a+3∈A，则a 的取值范围是（ ）
A．[-2,3]
B．[-3,-1]
C．[-2,0]
D．[-3,2]
【答案】C
【详解】因式分解得(x -3)(x +2)≤0；可得-2≤x ≤3，
故集合A = {x|-2≤x ≤3}；
因为a∈A且a+3∈A，所以¿，解得-2≤a≤0.
所以a的取值范围是[-2,0].
例1-2(重庆市2025 届学业质量调研抽测 （第二次）数学试题)已知全集U = {1,2,3,4,5}，集合M满足
∁U M = {1,2,5}，则（ ）
A．3∉M
B．2∈M
C．5∈M
D．4∈M
【答案】D
【分析】根据补集可得M = {3,4}，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断.
【详解】因为全集U = {1,2,3,4,5}，∁U M = {1,2,5}，可得M = {3,4}，
所以3∈M，2∉M，5∉M，4∈M.
故选：D.
方法技巧 判断元素与集合关系
1.
直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。
2.
推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。
3.
符号区分：∈（属于） 用于元素与集合；⊆（包含于） 用于集合与集合。
易错分析
混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把 0⊆A 写成 0∈A。
【变式训练1-1】已知集合M ={x∣|x - 4|<5}, N ={x∣0<ln x<2}，则下列命题错误的是（ ）
A．∃x0∈M , x0∉N
B．∀x∈N , x∈M
C．∃x0∈N , x0∈M
D．∀x∈M , x∉N
【答案】D
【分析】求出集合A ,B，由集合间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】M ={x∣|x - 4|<5}=¿，
对于A，∃0∈M ,0∉N，故A 正确；
对于B，因为N ⊆M，所以∀x∈N , x∈M，故B 正确；
对于C，∃2∈N ,2∈M，故C 正确；
对于D，2∈M ,2∈N，故D 不正确.
故选：D.
【变式训练1-2】已知集合A ={x| x ≥-1}，则正确的是
A．0⊆A
B． {0}∈A
C．ϕ∈A
D．{0}⊆A
【答案】D
【分析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解.
【详解】对A，0∈A,故A 错误；
对B，{0}⊆A，故B 错误；
对C，空集ϕ是任何集合的子集，即ϕ⊆A，故C 错误；
对D，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确.
故选D
【变式训练1-3】已知集合M =¿，i为虚数单位，a=|1+i|，则下列选项正确的是（ ）
A．a∈M
B．{a}∈M
C．{a}⊄M
D．a∉M
【答案】A
【分析】利用复数模的计算公式可得a= ❑√2 ，即可判断出结论．
【详解】a=
❑√1
2+1
2= ❑√2，又集合M =¿，
∴ a∈M．
故选A．
题型2 元素特征
例2-1（河南省实验中学2026 届高三下学期临门押题实战演练数学（一））已知集合
A ={x ∣x
2-14 x + 40=0}，B ={4 ,a+1,a
2+1}，若A ⊆B，则实数a的取值集合为（ ）
A．{9}
B．{-3,3}
C．{-3,9}
D．{-3,3,9}
【答案】C
【详解】令x
2-14 x + 40=0，解得x = 4或x =10，所以A = {4,10}.
因为A ⊆B，所以a+1=10或a
2+1=10，解得a=9或a=-3或a=3.
经检验：当a=3时，B = {4,4,10}与集合中元素的互异性矛盾.
所以实数a的取值集合为{-3,9}.
例2-2（福建南安市成功中学2026 届高三数学考前推送试题（一））已知集合M ={3,4 , x
2}，
N = {4 , x +2}，若M ∩N = N，则x =（ ）
A．-1或1
B．-1或2
C．1或2
D．-1或1或2
【答案】A
【详解】由M ∩N = N，得N ⊆M，又由N = {4 , x +2}，根据集合元素的互异性，得x +2≠4，即x≠2，
而集合M ={3,4 , x
2}，由N ⊆M，得x +2=3或x +2= x
2，所以x =1或x =-1.
故选A.
方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点
1.
解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。
2.
求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。
3.
无序性：集合元素顺序不影响集合本身。
易错分析
求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。
【变式训练2-1】(25-26 高三下·西藏日喀则某校·模拟)集合A = {1,a}，B ={0,a
2,-a-2}．若A ⊆B，则实
数a=（ ）
A．0
B．2
C．3
D．-1
【答案】D
【详解】由A ⊆B知A是B的子集，若a=0，则B中有重复元素0，不合题意舍去；
若¿，则无解；若¿，则a=-1，经检验符合题意.
所以a=-1
【变式训练2-2】已知集合A = {1,4 ,a+2}，B ={1,a
2}，且A ∩B = B，则a=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】D
【分析】由A ∩B = B，得B⊆A，进而得到关于a的方程，结合集合的性质求解即可.
【详解】由A ∩B = B，得B⊆A，
所以a
2=1或a
2= 4或a
2=a+2，解得a=1或a=2或a=-2或a=-1.
当a=1时，A = {1,4,3}，B = {1,1}，不符合集合元素的互异性，故舍去.
当a=2时，A = {1,4,4}，B = {1,4}，不符合集合元素的互异性，故舍去.
当a=-2时，A = {1,4,0}，B = {1,4}，符合题意.
当a=-1时，A = {1,4,1}，B = {1,1}，不符合集合元素的互异性，故舍去.
故a=-2.
【变式训练2-3】(江西宜春中学等校2026 届高三年级5 月高考大练兵数学试题)若集合A ={2,a,a
2}，
B = {2,4}，且B⊆A，则a的值为（ ）
A．4
B．2 或4
C．-2或4
D．±2或4
【答案】C
【详解】当a= 4时A = {2,4,16}，满足B⊆A；
当a
2= 4时，因为a≠2，所以a=-2，
此时A = {-2,2,4}，满足B⊆A．
题型3 集合间关系
例3-1(陕西榆林市横山中学2026 届高三下学期考前自测数学试题）设集合A = {1,2,3}，B = {2,3,4}，
C = {1,2,3,4,5,6}，则（ ）
A．A ∩B =∅
B．A ∪B =C
C．A ∪C =C
D．A ∩C = B
【答案】C
【详解】由题意A ∩B = {2,3}，故A 错误；
因A ∪B = {1,2,3,4}≠{1,2,3,4,5,6}，故B 错误；
又A ∪C = {1,2,3,4,5,6}=C，故C 正确；
因A ∩C = {1,2,3}≠{2,3,4 }，故D 错误．
例3-2(25-26 高三下·辽宁大连某校·调研)已知集合A = {x|ax =1,a∈R}，B = {-1,1}，则“a∈B”是“
A ⊆B”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，求出A ⊆B时，a∈{-1,0,1}，结合充分条件与必要条件判断即可．
【详解】a=0时，A =∅，符合A ⊆B，
a≠0时，A ={
1
a}，又A ⊆B，
∴1
a =-1或1
a =1，解得a=-1或a=1，
综上，A ⊆B时，a∈{-1,0,1}，
则“a∈B”是“A ⊆B”的充分不必要条件．
方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法
1.
连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。
2.
离散数集：按包含关系列方程求解。
3.
核心转化：
A∩B=A ⇔ A⊆B
A∪B=A ⇔ B⊆A
易错分析 易忽略集合为空集
忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。
【变式训练3-1】（辽宁铁岭市开原市高级中学等校2026 届高三考前模拟数学试题）已知集合A =¿，
B = {a,a+6}，B⊆A，则a 的取值范围是（ ）
A．[-1,2]
B．[-1,1]
C．(-1,2)
D．(-1,1)
【答案】D
【分析】解不等式求得集合A，根据B⊆A列不等式求得a的取值范围.
【详解】由1
2 <2
x<128，得2
-1<2
x<2
7，解得-1< x<7，所以A =(-1,7).
由于B = {a,a+6}，B⊆A，
所以¿，解得-1<a<1，
所以a的取值范围是(-1,1).
【变式训练3-2】（河南湘豫名校2026 届高三下学期5 月预测联考数学试卷）已知集合M =¿，N =¿，则
（ ）
A．N ⊆M
B．M ∩N =(0,3)
C．M ∪N =(-∞,3) D．∁R N =[3,+∞)
【答案】B
【详解】由题得M =(0,8)，N =[-1,3)，则M ∩N =(0,3)，M ∪N =[-1,8)，
∁R N =(-∞,-1)∪[3,+ ∞)，所以A，C，D 错误，B 正确．
【变式训练3-3】（江苏徐州市2026 届高三模拟预测数学试题）已知集合A = {-1,0}，
B ={x|x
2+ax +b=0}，若A = B，则a
b=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【答案】B
【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得a=1,b=0，进而可得所求值.
【详解】已知 A = B，A = {-1,0}，所以一元二次方程x
2+ax +b=0 的两个根就是 -1和0.
设一元二次方程x
2+ax +b=0的两根为x1, x2，则： x1+ x2=-a，x1 x2=b，
所以-1+0=-a,-1×0=b，即a=1,b=0，因此a
b=1
题型4 （真）子集的个数
例4-1 设全集U = {1,2,3,4,5}，集合A = {1,3,5}，则∁U A的真子集的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．7
【答案】B
【分析】利用补集的定义求出∁U A，进而求出真子集个数．
【详解】因为∁U A = {2,4}，所以∁U A的真子集的个数为2
2-1=3．
例4-2(湖南省衡阳市衡阳县2026 届高三考前学情调研数学试题）设集合A =¿，则A ∩B的子集的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】A = {-2,-1,0,1,2}，B = {1,2,3}，所以A ∩B = {1,2}，所以A ∩B的子集的个数为4.
【变式训练4-1·变载体】已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B的子集个数为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】D
【分析】构造函数f (x)= x -sin x，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得A ∩B中有且仅有
一个元素，即可得A ∩B的子集个数.
【详解】令f (x)= x -sin x，则f
' (x)=1-cos x ≥0，故f (x)在R上单调递增，
又f (0)=0-sin 0=0，故f (x)= x -sin x有且仅有一个零点，
即y =sin x图象与y = x图象有且仅有一个交点，
即A ∩B中有且仅有一个元素，故A ∩B的子集个数为2.
【变式训练4-2】(江西重点中学协作体2026 届高三第二次联考数学试题）已知集合A ={x|1≤x
2<9}，集
合B ={x∈Z|-27< x
3≤27}，则集合A ∩B的真子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．15
D．16
【答案】C
【详解】求解集合A，由1≤x
2<9得¿，即x∈(-3,-1]∪[1,3).
故A =(-3,-1]∪[1,3).
求解集合B，由-27< x
3≤27且x∈Z，得-3< x ≤3，整数解为x =-2,-1,0,1,2,3，故
B ={-2,-1,0,1,2,3}.
所以A ∩B ={-2,-1,1,2}，该集合元素个数为4.
因为n个元素的集合真子集个数2
n-1，代入得真子集个数为2
4-1=15.
【变式训练4-3】（河南省周口市扶沟县高级中学2026 届高三下学期三月质量检测数学试卷）已知集合
A = {-2,-1,0,1,2}，B ={x| x -1
x +1 ≤0} ，则集合A ∩B的真子集的个数为（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
【答案】D
【分析】求解分式不等式确定集合B，再结合交集运算和真子集计算公式即可求解.
【详解】由x -1
x +1 ≤0解得-1< x ≤1，
即B ={x| x -1
x +1 ≤0}=¿，
故A ∩B = {0,1},
则集合A ∩B的真子集的个数为2
2-1=3.
题型5 集合基本运算
例5-1（2026·四川华蓥中学·模拟）若全集U ={x∈N|x ≤7}，集合A = {1,3,4,5,6,7}，B = {-1,0,1,2,4,5}，
则B∩(∁U A)=（ ）
A．{2}
B．{-1,0}
C．{0,2}
D．{-1,0,2}
【答案】C
【详解】U ={x∈N|x ≤7}= {0,1,2,3,4,5,6,7}，A = {1,3,4,5,6,7}，所以∁U A = {0,2}，
B = {-1,0,1,2,4,5}，所以B∩(∁U A)= {0,2}.
方法技巧 明确各个运算的几何意义
1.
交：A∩B → 既在 A 又在 B
2.
并：A∪B → 在 A 或在 B
3.
补：∁ᵤA → 全集中不在 A 的元素
4.
工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。
易错分析
1.
补集运算忘记全集范围。
2.
端点取舍错误（如≤和<）。
例5-2（2026·海南儋州·二诊）已知集合A ={x | x
2-3 x ≤0}，B = {-2,0,4}，则(∁R A)∩B =（ ）
A．{0}
B．{-2,4}
C．{-2,0}
D．{-2,0,4}
【答案】B
【分析】先计算集合A，然后根据补集以及交集的概念即可求解.
【详解】已知集合A ={x | x
2-3 x ≤0}，解不等式x
2-3 x ≤0，得0≤x ≤3，因此A = {x|0≤x ≤3}，
所以∁R A ={x| x<0或x>3}，
又因为B = {-2,0,4}，所以(∁R A )∩B ={-2,4}，故B 正确.
【变式训练5-1】（2026·河北沧州·质量监测）已知全集U = R，集合A ={x||x|>1}，则∁U A =（ ）
A．(-∞,-1]
B．[-1,0)
C．[-1,1]
D．(1,+ ∞)
【答案】C
【详解】解不等式|x|>1，得x>1或x<-1，即A =(-∞,-1)∪(1,+∞)，
所以∁U A =[-1,1].
【变式训练5-2】（2026·天津北辰·二模）已知全集U =¿，A = {3,4,5}，B = {-2,-1,0,1,2,3}，则
(∁U A)∩B =（ ）
A．{-1,0,1,2}
B．{-2,-1,0,1,2}
C．{-3,-2,-1,0,1}
D．{-1,0,1,2,3}
【答案】B
【详解】U =¿，则∁U A = {-2,-1,0,1,2}，
又B = {-2,-1,0,1,2,3}，，则(∁U A)∩B = {-2,-1,0,1,2}.
【变式训练5-3】（2026·沧州南皮一中·考前预测）已知全集U =¿，A =¿，B = {3,4,6}，则(∁U A)∩B =
（ ）
A．{3,4}
B．{4,6}
C．{3,5}
D．{5,7}
【答案】B
【详解】因为7- x ≥0，所以x ≤7，所以U =¿，
因为x<2，所以y =2
x<2
2= 4，所以A =¿，
所以∁U A = {4,5,6,7}，又B = {3,4,6}，
所以(∁U A)∩B = {4,6}
【变式训练5-4】（2026·山东威海·二模）已知集合U ={3,5,a
2}, A = {3,a+ 4},∁U A = {1}，则a=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】A
【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解.
【详解】已知集合U ={3,5,a
2}, A = {3,a+ 4},∁U A = {1}，
由补集的定义可知U = A ∪∁U A = {1,3,a+ 4}，即{1,3,a+ 4}={3,5,a
2}，
因此必有1=a
2且a+ 4 =5，解得a=1，故A 正确.
【变式训练5-5】（25-26 高三下·铁岭高级中学&铁岭清河高级中学·学情调研）已知集合A = {1,3,6}，
B =¿，则(∁R B)∩A =（ ）
A．{3,6}
B．{1,3}
C．{1}
D．{3}
【答案】B
【分析】求解一元一次不等式，再由集合交集、补集运算即可求解.
【详解】由3 x -11>0，得x> 11
3 ，
故B =(
11
3 ,+∞)，故∁R B =(-∞, 11
3 ]，又A = {1,3,6}，
故(∁R B)∩A = {1,3}．
【变式训练5-6】（2026·广东肇庆·二模）设全集U = Z，集合
M = {x∣x = 4 k +1,k ∈Z }, N = {x∣x = 4 k +3,k ∈Z }，则∁U (M ∪N )=（ ）
A．{x∣x =2k +1,k ∈Z }
B．{x∣x =2k ,k ∈Z }
C．{x∣x = 4 k +2,k ∈Z }
D．{x∣x = 4 k ,k ∈Z }
【答案】B
【详解】因为M = {x∣x = 4 k +1,k ∈Z }= {x∣x =2⋅2k +1,k ∈Z }，其中2k为偶数，
N = {x∣x = 4 k +3,k ∈Z }={x∣x =2(2k +1)+1,k ∈Z}，其中2k +1为奇数，
则M ∪N = {x∣x =2k +1,k ∈Z }，即M ∪N为奇数集，所以∁U (M ∪N )为偶数集，
又集合{x∣x =2k +1,k ∈Z }表示奇数集合，集合{x∣x =2k ,k ∈Z }表示偶数集合，
集合{x∣x = 4 k +2,k ∈Z }表示4 的整数倍数加2 对应的数组成的集合，
集合{x∣x = 4 k ,k ∈Z }表示4 的整数倍数对应的数组成的集合.
题型6 Venn 图的应用
例6-1（2026·广东实验中学越秀学校·考前自测）已知集合A ={-1,0,1,2,4 },B ={x ∈Z∣x
3≤3 x}，则如
图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．{-1,2,4}
B．{0,1,2}
C．{-2,4}
D．{-1,0,1}
【答案】A
【详解】由x
3≤3 x，得x
3-3 x ≤0，化简得x( x + ❑√3)( x - ❑√3)≤0，
所以x ≤- ❑√3或0≤x ≤❑√3，
所以B ={x ∈Z∣x
3≤3 x}={x ∈Z¿或0≤x ≤❑√3}，
所以∁R B ={x∈Z¿或x>❑√3}，
阴影部分表示的集合为A ∩(∁R B)，而-1∈∁R B ,2∈∁R B ,4∈∁R B，
所以A ∩(∁R B)={-1,2,4}.
例6-2(安徽合肥市肥东一中大数据联考2026 届高三毕业班考前质量检测)为了丰富学生的课余生活，促进
学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高三某班学生共有32人报名
参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，
同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5 人，只参加AI技
术培训的人数为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为x、只参加劳动实践
和AI培训的人数为y，根据总人数列方程化简得y =1，再结合AI培训的总人数，算出只参加AI培训的人
数．
【详解】设3类课程全参加的有x人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有y人，
列出韦恩图，则(6- y)+(4 - x)+ x + y +(9+ x)+(5- x)+(9- y)=32，
可得y =1，则只参加AI技术培训的人数为9- y =8人．
方法技巧 德・摩根定律
阴影部分：先看是交 / 并 / 补哪种组合，再对应计算。
德・摩根定律：∁ᵤ(A∪B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB；∁ᵤ(A∩B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB。
易错分析 看错阴影区域
看错阴影区域，把A∩∁ ᵣ B 看成∁ ᵣ A∩B。
【变式训练6-1】（2026·福建泉州·模拟）设集合A = {1,2,3,4}，B ={x |2
x<8}，则Venn图中阴影部分表
示的集合是（ ）
A．{4}
B．{1,2}
C．{3,4}
D．{2,3,4}
【答案】C
【详解】由2
x<8，得2
x<2
3，因为指数函数y =2
x单调递增，所以x<3，即B ={x| x<3}.
已知A ={1,2,3,4}，所以A ∩B ={1,2}.
分析Venn 图：阴影部分表示集合A中去掉A ∩B的部分.
因此阴影部分表示集合{3,4 }.
【变式训练6-2】（2026·河北唐山·一模）已知全集U 及其两个非空真子集M，N，则∁U( M ∪N )=
（ ）
A．∅
B．M ∩N
C．(∁U M )∩(∁U N )D．(∁U M )∪(∁U N )
【答案】C
【详解】如图：∁U( M ∪N )=(∁U M )∩(∁U N ).
题型7 运算确定集合或参数
例7-1（2025·新疆喀什巴楚一中·二模）已知集合A = {x| x ≤2}，B =¿，C =¿且A ∪(∁R B)∪C =R，则
实数a的取值范围为（ ）
A．(-1,+∞)
B．(-∞,3)
C．(-∞,-1]
D．(-∞,3]
【答案】B
【分析】先求解集合B，再得到∁R B，然后根据A ∪(∁R B)∪C =R，即可求解实数a的取值范围.
【详解】因为B =¿，所以B =¿或x ≥3}，
所以∁R B =¿，
所以A ∪(∁R B)=¿，
因为A ∪(∁R B)∪C =R，所以a<3，
所以实数a的取值范围为(-∞,3).
故选：B.
例7-2 已知函数f ( x)= x e
- x,g( x)= 1
2 x
2- ln x +a，若∃x1, x2∈[1,2]，使得f (x1)= g(x2)，则实数a的
取值范围是（ ）
A．(
2
e
2 + ln 2-2, 1
e - 1
2)
B．[
2
e
2 + ln 2-2, 1
e - 1
2]
C．(
1
2 - 1
e , 2
e
2 - ln 2+2)
D．[
1
2 - 1
e , 2
e
2 - ln2+2]
【答案】B
【分析】利用导数求值域，根据值域交集非空即可得解.
【详解】因为函数f ( x)= x⋅e
- x,g( x)= 1
2 x
2- ln x +a，
∴f
' (x)=e
- x(1- x)<0，f ( x)在区间[1,2]上是单调减函数，
所以f ( x)∈[
2
e
2 , 1
e]，
又g
' (x)= x - 1
x = x
2-1
x
>0 ,g( x)在区间[1,2]上是单调增函数，
所以g( x)∈[
1
2 +a,2- ln2+a]，
由于∃x1, x2∈[1,2]使得f (x1)= g(x2)，
所以{ y ∣y = f ( x)}∩{ y ∣y = g( x)}≠∅
当{ y ∣y = f ( x)}∩{ y ∣y = g( x)}=∅时，2- ln2+a< 2
e
2或1
e < 1
2 +a，
解得a< 2
e
2 + ln2-2或a> 1
e - 1
2．
所以当f ( x)∩g( x)≠∅时，
得a∈[
2
e
2 + ln2-2, 1
e - 1
2]．
故选：B．
方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路
1.
先化简集合，再把运算关系转成包含关系。
2.
数轴法：画数轴定范围，列不等式组。
3.
分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。
易错分析 端点没等号
1.
列不等式时端点没等号，范围扩大 / 缩小。
2.
忽略参数使集合为空集的情况。
【变式训练7-1】（2024·陕西洛南中学·冲刺预测）已知全集
U = R , A ={x ∣x
2+ 4 x +3=0},B ={x ∣x
2+(m+1) x +m=0}，若(∁U A)∩B =∅，则实数m的值为
（ ）
A．1
B．3
C．-1 或-3
D．1 或3
【答案】D
【分析】求出A 中方程的解确定A，再由A 的补集与B 的交集为空集，确定A 与B 的包含关系进行分类讨
论，即可确定m 的值.
【详解】因为方程x
2+(m+1) x +m=0的判别式Δ=(m+1)
2- 4 m=(m-1)
2≥0，
所以B≠∅，
根据题意得到集合A =¿，B ={x∣(x +m)(x +1)=0}，
即A = {-1,-3}，B = {-1,-m}，
因为(∁U A)∩B =∅，所以B⊆A，
所以B = {-1}或B = {-1,-3}，
若B = {-1}，则¿，解得m=1，
若B = {-1,-3}，则¿，解得m=3，
所以m=1或m=3.
故选：D.
【变式训练7-2】已知集合A ={x∈Z|-1< x<3}，B ={x|3 x -a<0}，且A ∩(∁R B)= {1,2}，则a的取
值范围为（ ）
A．(0,4)
B．(0,4]
C．(0,3]
D．(0,3)
【答案】C
【分析】先求得A ={0,1,2},B ={x| x< a
3 }，得到∁R B ={x| x ≥a
3 }，结合题意得到不等式0< a
3 ≤1，即
可求解.
【详解】由集合A ={x∈Z|-1< x<3}={0,1,2}，B ={x|3 x -a<0}={x| x< a
3 }，
可得∁R B ={x| x ≥a
3 }，
因为A ∩(∁R B)= {1,2}，所以0< a
3 ≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0,3].
故选：C.
题型8 容斥原理的应用
例8-1【新情景】（2026·内蒙古赤峰·模拟）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充
足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物
为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优
良性状的植株的占比约为（ ）
A．20%
B．30%
C．40%
D．50%
【答案】A
【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒
伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解.
【详解】设高茎作物占比为P( A )，抗倒伏作物占比为P(B)，
既不高茎也不抗倒伏的占比为P( A ∩B)，两种性状兼备的占比为P( AB)= x，
由题意得P( B|A)= P( AB)
P( A) =
x
P( A) =0.5，则P( A )=2 x，
P( A|B)= P( AB)
P(B) =
x
P(B) =0.4，则P(B)= 5 x
2 ，
P( A ∩B)=0.3，则P( A ∪B)=1-0.3=0.7，
则P( A ∪B)= P( A)+ P(B)- P( AB)=2 x + 5 x
2 - x =0.7，解得x =0.2，
即两种性状兼备的占比为20 %.
例8-2 某班有45 名学生，其中20 人喜欢篮球，25 人喜欢乒乓球，10 人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢
篮球和乒乓球的人数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意，列方程即可解出答案.
【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为x，
则只喜欢篮球的有20- x，只喜欢乒乓球的有25- x，
所以10+(20- x)+(25- x)+ x = 45，解得x =10，
所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10，
故选：B.
方法技巧 在排列组合中的应用
（1）容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则
反的思想解决问题。
（2）运用公式：
易错分析
重复计数，多算 / 少算交集部分。
【变式训练8-1】向50 名学生调查对A ､B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，
其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3 人，其余的不赞成；另外，对A ,B都不赞成的学生数比对A ,B都
赞成的学生数的三分之一多1 人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成A的不赞成B的有9 人
B．赞成B的不赞成A的有11 人
C．对A ,B都赞成的有21 人
D．对A ,B都不赞成的有8 人
【答案】B
【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可.
【详解】赞成A 的人数为50× 3
5 =30，赞成B 的人数为30+3=33.记50 名学生组成的集合为U，赞成事件
A 的学生全体为集合A，赞成事件B 的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B 都赞成的学生人数为x，
则对A，B 都不赞成的学生人数为x
3 +1.赞成A 而不赞成B 的人数为30- x，
赞成B 而不赞成A的人数为33- x.依题意(30- x)+(33- x)+ x +(
x
3 +1)=50，解得x =21.
所以赞成A 的不赞成B 的有9 人，赞成B 的不赞成A 的有12 人，对A，B 都赞成的有21 人，对A，B 都
不赞成的有8 人.
故选：B
【变式训练8-2】已知集合A和集合B满足：A ∩B有2 个元素，A ∪B有6 个元素，且集合A的元素个数
比集合B的元素个数多2 个，则集合A的所有子集个数比集合B的所有子集个数多（ ）
A．22
B．23
C．24
D．25
【答案】C
【分析】设集合A和集合B的元素个数分别为x , y，根据条件列方程求出x , y，然后根据集合子集个数的
公式求出集合A和集合B的所有子集个数，然后做差即可.
【详解】设集合A和集合B的元素个数分别为x , y，
则由A ∩B有2 个元素，A ∪B有6 个元素可知，( x -2)+( y -2)+2=6．
即x + y =8①．
又因为集合A的元素个数比集合B的元素个数多2 个，
所以x - y =2②．
联立①②可得x =5，y =3，即集合A和集合B的元素个数分别为5 和3，
所以集合A的所有子集个数和集合B的所有子集个数分别为2
5，2
3，
所以2
5-2
3=24，
故选：C．
题型9 新定义问题
例9-1(25-26 高三下·辽宁多校联考·三模)定义集合运算：A ⊗B =¿，设集合A = {0,1}，B = {2,3}，则集合
A ⊗B的所有元素之和为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【分析】根据定义先求A ⊗B，进而求解.
【详解】由题意得：A ⊗B = {0,2,3}，所以0+2+3=5.
例9-2（2026·河南开封·二模）定义集合A - B =¿且x∉B}，已知集合A = {1,a}，B = {2,b}，若A - B = {1}，
则下列一定成立的是（ ）
A．a=2
B．b≠1
C．A ∩B = {2}
D．B - A = {2}
【答案】B
【详解】因为集合A - B =¿，集合A = {1,a}，集合B = {2,b}，A - B = {1}，
所以1∈A 且1∉B，a∈B，b≠1,b≠2，
选项A：因为a∈B，所以a=2或者a=b（且满足集合元素的互异性）；
选项B：因为1∉B且B = {2,b}，所以b≠1一定成立；
选项C：当a=b=3时，集合A = {1,3}，集合B = {2,3}，A ∩B = {3}，C 错误；
选项D：当a=2，b=3时，集合A = {1,2}，集合B = {2,3}，B - A = {3}，D 错误.
方法技巧
1.
严格按题目定义运算，不套用旧公式。
2.
分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。
3.
新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。
易错分析
曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。
【变式训练9-1】(25-26 高三·上海徐汇区·)设m∈R. 定义点P(m, 1
2 m-1)的t -相伴集合为A P -t =¿且
|y -(
1
2 m-1)|≤t}，其中t为正实数. 给出以下两个命题：
①若m=0，则其1-相伴集合A P -1所对应平面图形的面积为2；
②设t0>0，若对任意实数m及任意t ≤t0，集合A P-t所对应平面图形与抛物线x
2=2 y均无公共点，则
t0< 7
12.
则正确的选项是（ ）
A．①是真命题，②是真命题
B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
【答案】D
【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限
制得出正方形的点应满足y < 1
2 x
2，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到t的范围，进而得到t0的
范围.
【详解】根据定义点P的t -相伴集合即为以P为中心的边长为2t的正方形，
若m=0，则其1-相伴集合A P-1对应平面图形的面积为2
2= 4，①是假命题；
集合A P-t对应一系列正方形，它们与抛物线x
2=2 y即y = 1
2 x
2均无公共点，
则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足y < 1
2 x
2，对每一个正方形内的点，
有ymax = 1
2 m-1+t，则需满足∀x∈[m-t ,m+t ]，有1
2 x
2> 1
2 m-1+t，
设f ( x)= 1
2 x
2，f ( x)在[m-t ,m+t ]上的最小值记为h(m)，
当m>t时，h(m)= f (m-t )= 1
2
(m-t )
2，此时应有1
2
(m-t )
2> 1
2 m-1+t，
设u=m-t，则u>0，不等式变为1
2 u
2> 1
2 (u+t )-1+t即1
2 u
2- 1
2 u+1- 3
2 t >0，
令g(u)= 1
2 u
2- 1
2 u+1- 3
2 t，则g(u)min= g(
1
2)= 1
8 - 1
4 +1- 3
2 t = 7
8 - 3
2 t >0，所以t < 7
12；
当-t <m≤t时，h(m)= f (0)=0，此时应有0> 1
2 m-1+t，以m为变量，
1
2 m-1+t的最大值为1
2 t -1+t = 3
2 t -1<0，所以t < 2
3；
当m≤-t时，h(m)= f (m+t )= 1
2
(m+t )
2，此时应有1
2
(m+t )
2> 1
2 m-1+t，
设v =m+t，则v ≤0，不等式变为1
2 v
2> 1
2 (v -t )-1+t即1
2 v
2- 1
2 v +1- 1
2 t >0，
令p(v)= 1
2 v
2- 1
2 v +1- 1
2 t，则p(v)min= p(0)=1- 1
2 t >0，所以t <2，
综上所述t < 7
12，要使对任意实数m及任意t ≤t0均满足无交点条件，则t0< 7
12，②是真命题.
【变式训练9-2】已知集合An={x ∈N ∣2
n< x <2
n+1,n∈N
*}，B ={x ∣x =3m,m∈N
*}，记
Cn= An∩B，则（ ）
A．An中有2
n-1个元素
B．C10中的最大元素为2046
C．当n为偶数时，Cn中有2
n-1
3
个元素
D．当n为奇数时，Cn中的元素之和为2
2n-1+2
n-1
【答案】BCD
【详解】对于A：An的元素在区间(2
n,2
n+1)内的正整数，所以元素个数为(2
n+1-1)-(2
n+1)+1=2
n-1，
故A 错误；
对于B：当n=10时，A10=(2
10,2
11)=(1024,2048)，所以C10= A10∩B表示在区间(1024,2048)为3 的倍数，
最大元素为小于2048的最大的3 的倍数，所以最大元素为3×682=2046，故B 正确；
对于C：当n为偶数时，令2
n=3t +1,t ∈Z，则2
n+1=6t +2，
所以Cn中3的倍数的个数为[
2
n+1-1
3 ]-[
2
n
3 ]=2t -t =t = 2
n-1
3
，故C 正确；
对于D：当n为奇数时，令2
n=3t +2,t ∈Z，Cn中元素的首项为2
n+1，末项为3(2t +1)的等差数列，项
数为2
n+1
3
，
所以Cn中的元素之和为S = (2
n+1+6t +3)
2
× 2
n+1
3
=2
2n-1+2
n-1，故D 正确.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合A ={- 4,0,1,2,8},B ={x∣x
3= x},则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2}
B．{1,2,8}
C．{2,8}
D．{0,1}
【答案】D
【分析】求出集合B后结合交集的定义可求A ∩B.
【详解】B ={x| x
3= x}= {0,-1,1}，故A ∩B = {0,1}，
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合U ={x ¿，A ={1,3,5}，则∁U A中元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为U = {1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A = {2,4,6,7,8}， ∁U A中的元素个数为5，
故选：C．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合A ={x∣-5< x
3<5},B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =（ ）
A．{-1,0}
B．{2,3}
C．{-3,-1,0}
D．{-1,0,2}
【答案】A
【分析】化简集合A，由交集的概念即可得解.
【详解】因为A ={x|-
3√5< x<
3√5},B = {-3,-1,0,2,3}，且注意到1<
3√5<2，
从而A ∩B = {-1,0}.
故选：A.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合A = {1,2,3,4,5,9},B =¿，则∁A ( A ∩B)=（ ）
A．{1,4,9}
B．{3,4,9}
C．{1,2,3}
D．{2,3,5}
【答案】D
【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为A = {1,2,3,4,5,9},B =¿，所以B = {1,4,9,16,25,81}，
则A ∩B = {1,4,9}，∁A ( A ∩B)= {2,3,5}
故选：D
5．（2024·天津·高考真题）集合A = {1,2,3,4}，B = {2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3,4}
B．{2,3,4}
C．{2,4}
D．{1}
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合A = {1,2,3,4}，B = {2,3,4,5}，
所以A ∩B = {2,3,4}，
故选：B
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
一、解答题
1．（高一上·单元）用列举法表示下列集合：
（1）A ={x | x
2=9}；
（2）B = {x∈N |1≤x ≤2} ；
（3）C ={x| x
2-3 x +2=0}.
【答案】(1){-3,3} ；(2) {1,2}；(3){1,2}.
【分析】(1)解方程x
2=9即可；
(2)根据x∈N求解；.
(3)接方程x
2-3 x +2=0即可；
【详解】(1)由x
2=9得x =±3，,因此A ={x | x
2=9}= {-3,3}.
(2)由x∈N，且1≤x ≤2,，,得x =1,2，因此B = {x∈N |1≤x ≤2}= {1,2}.
(3)由x
2-3 x +2=0得x =1,2，.因此C ={x| x
2-3 x +2=0}= {1,2}.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法以及一元二次方程的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．（高一上·人教A 版·单元小结）集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的，当时，康托尔在解决
涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念，关于集合论，希尔伯
特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为
“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认
识.
【答案】见解析
【解析】集合论是现代数学的基础，已渗透到数学的所有领域.
【详解】集合论，是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合.
集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域.
按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者
是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）.从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基
础.
【点睛】本题考查了对于集合论的一些认识，意在考查学生的理解应用能力.
3．（高一上·人教A 版·单元小结）用适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数y = x
2- 4的函数值组成的集合；
（2）反比例函数y = 2
x 的自变量组成的集合；
（3）不等式3 x ≥4 -2 x的解集
【答案】（1）{ y | y ≥- 4 }
（2）{x| x≠0}
（3）{x| x ≥4
5}
【解析】（1）求二次函数的值域得到答案.
（2）求反比例函数的定义域得到答案.
（3）解不等式得到答案.
【详解】（1）二次函数y = x
2- 4的函数值为y，
∴二次函数y = x
2- 4的函数值y 组成的集合为{y | y = x
2- 4 , x∈R}={ y | y ≥- 4}.
（2）反比例函数y = 2
x 的自变量为x
∴反比例函数y = 2
x 的自变量组成的集合为{x| x≠0}.
（3）由3 x ≥4 -2 x，得x ≥4
5 ，∴不等式3 x ≥4 -2 x的解集为{x| x ≥4
5}.
【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.
4．（高一上·人教A 版·单元小结）把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）{2,4,6,8,10}；
（2）由1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
（3）{x∈N |3< x<7}；
（4）中国古代四大发明
【答案】（1）{x∈N | x =2k ,k ∈Z且1< x<11}
（2）{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}
（3）{4,5,6}
（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}
【解析】（1）用描述法写出集合得到答案.
（2）用列举法写出集合得到答案.
（3）用列举法写出集合得到答案.
（4）用列举法写出集合得到答案.
【详解】（1）{2,4,6,8,10}={x∈N | x =2k ,k ∈Z且1< x<11}.
（2）由1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数：
{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.
（3）{x∈N |3< x<7}={4,5,6}.
（4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}
【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握.
5．（高一上·单元）设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
(1){P| PA = PB}(A,B 是两个不同定点)；
(2){P| PO =3cm}(O 是定点)
【答案】(1)线段AB 的垂直平分线；(2)以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆.
【解析】(1)PA = PB指平面内到A ,B距离相等的点的集合；
(2)PO =3cm指平面内到定点O的距离为3cm的点的集合．
【详解】(1) PA = PB指平面内到A ,B距离相等的点的集合，这样的点在线段AB的垂直平分线上，即集合
的点组成的图形是线段AB的垂直平分线；
(2) PO =3cm指平面内到定点O的距离为3cm的点的集合，这样的点在以O为圆心，以3cm为半径的圆上，
即集合的点组成的图形是以点O为圆心,3cm长为半径的圆．
【点睛】本题考查描述法表示集合，是基础题．
6．（高一上·人教A 版·单元小结）在平面直角坐标系中，集合C ={( x , y)| y = x }表示直线y = x，从这个
角度看，集合D =¿表示什么？集合C，D 之间有什么关系？
【答案】DC
【解析】集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.
【详解】集合D =¿表示直线2 x - y =1与直线x + 4 y =5交点的集合，
即D ={(1,1)}. DC
【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.
7．（高一上·人教A 版·单元小结）举出下列各集合的一个子集：
（1）A={x| x是立德中学的学生}；
（2）B={x| x是三角形}；
（3）C ={0}；
（4）D ={x∈Z |3< x<30}.
【答案】（1）{x| x是立德中学的女生}
（2）{x| x是直角三角形}
（3）{0}
（4）{4,5,6}
【解析】根据子集的定义写出一个子集即可.
【详解】（1）{x| x是立德中学的女生}
（2）{x| x是直角三角形}
（3）{0}
（4）{4,5,6}
【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题.
8．（高一上·人教A 版·单元测试）判断下列两个集合之间的关系：（1）A ={x| x<0}，B ={x| x<1}；
（2）A ={x| x =3k ,k ∈N }，B ={x| x =6 z , z∈N }；
（3）A ={x∈N ,| x是4 与10 的公倍数}，B ={x| x =20m,m∈N +}.
【答案】（1）AB；（2）AB；（3）A = B.
【解析】(1)根据数轴上的范围判断即可.
(2)根据集合A ,B表示的数分析即可.
(3)根据集合A ,B表示的数分析即可.
【详解】(1)根据数轴可知, A ={x| x<0}表示x =0左边的数的集合, B ={x| x<1}表示x =1左边的数的集
合,故AB.
(2) A ={x| x =3k ,k ∈N }表示3 的整数倍...-6,-3,0,3,6... ,
B ={x| x =6 z , z∈N }表示6 的整数倍...-12,-6,0,6,12....故AB.
(3) A ={x∈N ,| x是4 与10 的公倍数}即 20 的正整数倍, B ={x| x =20m,m∈N +}也表示20 的正整
数倍.故A = B
9．（高一上·人教A 版·单元小结）指出下列各集合之间的关系，并用Venn 图表示：
A={x| x是四边形}，B={x| x是平行四边形}，C={x| x是矩形}，D={x| x是正方形}.
【答案】DCBA，Venn 图见解析.
【分析】根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案.
【详解】各集合之间的关系为DCBA 用Venn 图表示如图所示：
10．（高一上·单元）已知集合
A ={( x , y)|2 x - y =0},B ={( x , y)|3 x + y =0},C ={( x , y)|2 x - y =3|,求A ∩B , A ∩C,并解释它们
的几何意义.
【答案】A ∩B ={(0,0)},几何意义是直线2 x - y =0与3 x + y =0相交于点(0,0);A ∩C =∅,几何意义是直
线2 x - y =0与2 x - y =3平行,无交点.
【解析】将集合A ,B ,C中的方程按照问题联立，解方程组可得结果.
【详解】解:A ∩B ={( x , y)|2 x - y =0}∩{( x , y)|3 x + y =0}
=¿.
A ∩C ={( x , y)|2 x - y =0}∩{( x , y)|2 x - y =3} =¿.
A ∩B的几何意义是直线2 x - y =0与3 x + y =0相交于点(0,0);
A ∩C的几何意义是直线2 x - y =0与2 x - y =3平行,无交点.
11．（高一上·单元）已知集合A ={1,3,a
2},B ={1,a+2},是否存在实数a,使得A ∪B = A?若存在,试求出
实数a 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,a=2
【解析】A ∪B = A ⇔B⊆A，分a+2=3，a+2=a
2讨论，并满足互异性，列式求解.
【详解】解:A ∪B = A ⇔B⊆A ∴{1,a+2}⊆{1,3,a
2}，
∴¿或¿，
∴a=2，
∴存在实数a=2，使得A ∪B = A.
