第02 讲 导数与函数的单调性
目录
0
1 考情解码・命题预警...............................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视......................................................................................................................... 2
03 核心突破·靶向攻坚......................................................................................................................... 2
知能解码..............................................................................................................................................................4
知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）.....................4
知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间 ......................................................................4
知识点3 由函数
的单调性求参数的取值范围的方法 ...............................................5
知识点4 含参问题讨论单调性 ...............................................................................................5
题型破译..............................................................................................................................................................6
题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）...........................................................................6
【方法技巧】求单调区间步骤
题型2 已知函数
在区间
上单调
......................................................................6
【方法技巧】已知函数
在区间
上单调等价条件
题型3 已知函数
在区间
上存在单调区间
...........................................................7
【方法技巧】已知函数
在区间
上存在单调区间 等价条件
题型4 已知函数
在区间
上不单调
.......................................................................8
【方法技巧】已知函数
在区间
上不单调 等价条件
题型5 导函数与原函数图象的单调性
..............................................................................8
【方法技巧】导函数与原函数关系
题型6 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））........11
题型7 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式
分解型 ）
.............................................................................................................................12
题型8 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因
式分解型 ）
.........................................................................................................................13
04 真题溯源·考向感知......................................................................................................................25
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................................16
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）函数的单调区间
（2）单调性与导数的
关系
（3）含参数单调性讨
论
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷T18
（2 ）（i ）（5
分）
全国甲卷（理）T20
（1）（5 分）
北京卷T20 （1 ）（4
分）
全国乙卷（文）T20（2）
（7 分）
全国甲卷（文）T20（1）
（5 分）
全国 I 卷T19（1）（5
分）
全国 II 卷T6（5 分）
北京卷T20（2）（5 分）
考情分析：高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无
论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观
明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
（3）分类讨论求函数单调区间，讨论时不重复，不遗漏
知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件
恒有
结论
函数
在区
间
上可导
在
内单调递增
在
内单调递减
在
内是常数函数
自主检测已知函数y = f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y = f
′ (x)的图象如图所示，则该函数
的图象是（ ）
A．
B．
B．C．
D．
知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间
①求
的定义域
②求
③令
，解不等式，求单调增区间
④令
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
（或
）不跟等号.
自主检测（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数f (x)= x +2cos x (−π< x<π)的单调递减区间是 .
知识点3 由函数
的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数
在区间
上单调
①已知
在区间
上单调递增
，
恒成立.
②已知
在区间
上单调递减
，
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数
在区间
上存在单调区间
①已知
在区间
上存在单调增区间
令
，
解不等式，求单调增区间
，则
②已知
在区间
上存在单调减区间
令
，
解不等式，求单调减区间
，则
（3）已知函数
在区间
上不单调
，使得
（
是变号零点）
自主检测已知函数f (x)=ln x−ax在区间[1,3)上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≥1
B．a>1
C．a≥1
3
D．a> 1
3
知识点4 含参问题讨论单调性
第一步：求
的定义域
第二步：求
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于
进行求导得到
，对
初步处理（如通分），提出
的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为
的有效部分（如：
，则记
为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定
的正负.
第四步：确定导函数有效部分
的类型：
①
为一次型（或可化为一次型）②
为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论
的单调性
自主检测（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数f (x)=e
x+ax +a(a∈R).
(1)当a=1时，求f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性，并求最值.
题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）
例1-1 函数f ( x)= x−3ln x +1的单调递增区间为 .
例1-2 函数y = x−ln(1+ x)的递增区间是 ；递减区间 ．
方法技巧 求单调区间步骤
①求
的定义域
②求
③令
，解不等式，求单调增区间
④令
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
（或
）不跟等号.
【变式训练1-1】函数f (x)= x
2
2 +2 x−3 ln x的单调递增区间为 ．
【变式训练1-2】函数f ( x)= x +2❑√1−x的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．
【变式训练1-3】函数f (x)= x
3−3 x
2+2的单调递增区间为 .
题型2 已知函数
在区间
上单调
例2-1 已知关于x 的函数y = x
3−t
2 x−t x
2+t
3在区间(−1,3)上单调递减，则t 的取值范围是 ．
例2-2（2025·江苏·一模）若f ( x)=e
x−1
e
x+1
+ax在[−1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
方法技巧 已知函数
在区间
上单调等价条件
①已知
在区间
上单调递增
，
恒成立.
②已知
在区间
上单调递减
，
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
【变式训练2-1】（2025·山西·模拟预测）若函数f (x)= x
3+a(x
2−x +1)在区间(
1
2 ,3)单调递增，则a的取
值范围是 .
【变式训练2-2】已知函数f (x)= x + 2m
e
x+1 在R上单调递增，则m的取值范围为 .
【变式训练2-3】已知函数f (x)= x
2+ax + ln x在(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
.
题型3 已知函数
在区间
上存在单调区间
例3-1 已知函数f (x)= ln x +( x −b)
2(b∈R)在[
❑√2
2 ,❑√2)上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是
（ ）
A．(−∞，5 ❑√2
4 )
B．(−∞, 5 ❑√2
4 )
C．(−∞, 5 ❑√2
2 )
D．(−∞, 5 ❑√2
2 )
例3-2（2025·山东威海·三模）已知函数f ( x)=a
x−loga( x +1)(a>1)在(0,+∞)上存在单调递减区间，则
a的取值范围是（ ）
A．(1,e]
B．(1,e)
C．[e,+∞)
D．(e,+ ∞)
方法技巧 已知函数
在区间
上存在单调区间 等价条件
①已知
在区间
上存在单调增区间
令
，解不等式，求单调增区间
，则
②已知
在区间
上存在单调减区间
令
，解不等式，求单调减区间
，则
【变式训练3-1】若函数f (x)=ln x +a x
2−2在区间(
1
4 ,1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1
2)
B．(−1
8 ,+∞)
C．(−1
2 ,+∞)
D．(−8,+∞)
【变式训练3-2】（多选）若函数f (x)=ln x +a x
2−2在区间(
1
2 ,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值
可以为（ ）
A．a=−3
B．a=−2
C．a=−1
D．a=0
【变式训练3-3】若函数ℎ( x)= ln x−1
2 a x
2−2 x在[
1
2 ,2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为
.
题型4 已知函数
在区间
上不单调
例4-1 已知函数f ( x)= 1
2 x
2+a ln x−(a+1)x在区间(1,3)上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）
A．(−∞,1]
B．(1,3)
C．[1,3]
D．(3,+ ∞)
例4-2 已知函数 f (x)= x
2e
x在[t ,t +1)上不单调，则t 的取值范围是 .
方法技巧 已知函数
在区间
上不单调 等价条件
已知函数
在区间
上不单调
，使得
（
是变号零点）
【变式训练4-1】若函数f (x)= x
2−ln x在区间(m,m+1)上不单调，则实数m 的取值范围为（ ）
A．(0,
❑√2
2 )
B．(
❑√2
2 −1,
❑√2
2 )
C．(
❑√2
2 −1,0)
D．(0,❑√2)
【变式训练4-2】若函数f (x)= x
2
2 −ln x在(0,k )上不单调，则实数k的取值范围是
【变式训练4-3】已知函数f (x)= ln x−ax +2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为 .
题型5 导函数与原函数图象的单调性
例5-1 已知下列四个图象之一是函数f ( x)在某区间的图象，且f ( x)的导函数f
′( x)在该区间的图象如图所
示，则f ( x)在该区间的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（多选）如图是函数y = f ( x)的导函数y = f
′( x)的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间(−2,1)上f ( x)单调递增
B．在区间(2,3)上f ( x)单调递减
C．在区间(4,5)上f ( x)单调递增
D．在区间(3,5)上f ( x)单调递增
方法技巧 导函数与原函数关系
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数
单调递增
导函数
（导函数
等于0，只在离散点成立，其余点满足
）；原函数单调递减
导函数
（导函数等于0，
只在离散点成立，其余点满足
）．
【变式训练5-1】设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则其导函数y = f
′ (x)的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】设f ′( x)是函数f ( x)的导函数，y = f ′( x)的图象如图所示，则y = f ( x)的图象最有可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】（多选）已知函数y = f (x)的导函数y = f
′ (x)的图象如图所示，则函数y = f (x)的图象不
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
例6-1f ( x)=ae
x−2 x−1,a∈R
(1)a=3，求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程
(2)讨论f ( x)的单调性
例6-2 已知函数f (x)=ln x−a
x +1.
(1)讨论f (x)的单调性；
【变式训练6-1】已知 f (x)= ln x +ax .
(1)若 a=2，求f (x)在(e,f (e))处的切线的斜率;
(2)讨论f (x)的单调性;
【变式训练6-2·变载体】设函数f (x)=e
x−ax−1.
(1) 求f ( x)的单调区间;
题型7 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
）
例7-1（已知函数f (x)= x
2−(2a+1) x +aln x (a∈R)
(1)若a=−1，求f (x)的最小值
(2)讨论f (x)的单调性；
例7-2（2025·新疆·模拟预测）已知函数f ( x)=ae
x+e
−x−(a−1)x +1．
(1)若函数f ( x)的图象在(1,f (1))处的切线与直线x−1=0垂直，求实数a 的值；
(2)讨论函数f ( x)的单调性；
【变式训练7-1】已知函数f ( x)= x
3+a x
2−a
2 x−1．
(1)设a=1，求曲线f ( x)在点A(0,−1)处的切线方程；
(2)讨论f ( x)的单调性；
【变式训练7-2】（2025·河南·二模）已知函数f (x)= 1
2 x
2+aln x−(a+1) x (a∈R).
(1)讨论f (x)的单调性.
【变式训练7-3·变载体】（2025·江西·二模）已知函数f (x)= 1
2 e
2 x−(2a+1)e
x+2ax + 3
2.
(1)当a=−1
2时，求函数y = f (x)的图象在x =0处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性；
题型8 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解
型 ）
例8-1 已知函数f (x)=−x
2+ x−mln x．
(1)当m=1时，求f (x)≥0的解集；
(2)当m∈R时，求f (x)的单调区间．
例8-2 已知函数f (x)=−e
2 x+6e
x−ax．讨论f (x)的单调性.
【变式训练8-1】（2025·贵州黔东南·三模）设函数f ( x)= ln x + x −a x
2,a∈R．
(1)若a=1，试求函数f ( x)的极值；
(2)设g( x)= f(
1
x)，讨论g( x)的单调性．
【变式训练8-2·变载体】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数f (x)=−e
2 x+6e
x−ax．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)设f (x)的两个极值点为x1, x2．当a>1且x2−x1>ln2时，求f (x1)+ f (x2)的取值范围.
【变式训练8-3】已知函数f ( x)= x−a ln x−1
2 x ，定义域为(0,+ ∞)．
(1) 讨论f (x)的单调性．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设a∈(0,1)，若函数f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+∞)上单调递增，则a 的取
值范围是 .
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=a(x−1)−ln x +1．
(1)求f (x)的单调区间；
3．（2023·北京·高考真题）设函数f ( x)= x −x
3e
ax +b，曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为
y =−x +1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数g( x)= f
′( x)，求g( x)的单调区间；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f (x)=(
1
x +a)ln(1+ x)．
(1)当a=−1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程．
(2)若函数f (x)在(0,+ ∞)单调递增，求a的取值范围．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=ax−sin x
cos
2 x
, x∈(0,π
2 )．
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
1.(人教A 版选择性必修第二册P89练习T 1)判断下列函数的单调性，并求出单调区间
（1）
（2）
2.(人教A 版选择性必修第二册P89练习T 2)证明函数
在区间
内单调递减。
3(人教A 版选择性必修第二册P89 例4)设
，
，
两个函数的图象如图所示.
判断
,
的 图 象 与
,
之间的对应关系 .
4.(人教A 版选择性必修第二册P94 练习第2 题)证明不等式：
，
。
5.(人教A 版选择性必修第二册P97 练习第1 题)利用函数的单调性，证明不等式：
，
